備考2024屆高考數(shù)學一輪復習講義第九章統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析第2講用樣本估計總體

第2講用樣本估計總體課標要求命題點五年考情命題分析預測1.能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.2.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標準差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.3.能用樣本估計總體的取值規(guī)律.4.能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.百分位數(shù)的估計本講是高考命題的熱點，主要考查百分位數(shù)，樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，統(tǒng)計圖中的數(shù)字特征，總體趨勢估計等.預計2025年高考主要以生產(chǎn)生活實踐情境為載體考查樣本的數(shù)字特征及對總體的估計.樣本的數(shù)字特征2023新高考卷ⅠT9；2022全國卷乙T19；2022全國卷甲T2；2021新高考卷ⅠT9；2021新高考卷ⅡT9；2021全國卷甲T2；2021全國卷乙T17；2020全國卷ⅢT3；2019全國卷ⅡT5；2019全國卷ⅡT13；2019全國ⅢT17總體數(shù)字特征的估計2023全國卷乙T17；2022新高考卷ⅡT19；2022全國卷乙T19；2021全國卷乙T17；2020全國卷ⅡT18；2020全國卷ⅢT18；2019全國卷ⅡT19；2019全國卷ⅢT17分層隨機抽樣的均值與方差1.百分位數(shù)（1）定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有①p％的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有②（100－p）％的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.（2）四分位數(shù)：第25百分位數(shù)、中位數(shù)（第50百分位數(shù)）、第75百分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，這三個分位數(shù)統(tǒng)稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.2.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)數(shù)字特征概念特征平均數(shù)x＝③1nx與每一個樣本數(shù)據(jù)有關，樣本中任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，對樣本中的極端值更加敏感.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列后，處在最④中間的一個數(shù)據(jù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)據(jù)的⑤平均數(shù)（當數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)時）.只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個或兩個值，有的樣本數(shù)據(jù)的改變不一定引起中位數(shù)的改變.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)⑥最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對應的樣本數(shù)據(jù)）.體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，對極端值不敏感，一組數(shù)據(jù)可能有n個眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù).3.方差和標準差名稱定義樣本的方差和標準差假設一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，那么這n個數(shù)的方差s2＝⑦1n[標準差s＝⑧1n[(總體的方差和標準差一般式如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為Y，則總體方差S2＝⑨1N∑加權式如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i＝1，2，…，k），則總體方差為S2＝⑩1N∑總體標準差：S＝S24.分層隨機抽樣的樣本均值與方差以兩層隨機抽樣的情況為例.假設第一層有m個數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為x，方差為s2，第二層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為y，方差為t2，則x＝1m∑i=1mxi，s2＝1m∑i=1m（xi－x）2，y＝1n∑j=1nyj，t2＝1n∑j=1n（yj－y）2.若記樣本均值為a，樣本方差為b2常用結論1.平均數(shù)的性質(zhì)（1）若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為ax＋b.（2）若兩組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均數(shù)分別為x和y，則x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均數(shù)為x＋y.2.方差的性質(zhì)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其方差為s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2，ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.特別地，當a＝1時，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上一個相同的常數(shù)，方差是不變的，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變.1.下列說法正確的是（D）A.對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近B.一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)唯一C.方差與標準差具有相同的單位D.如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變解析平均數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的中間水平，它們之間沒有必然聯(lián)系，故A錯誤；一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)可以不唯一，故B錯誤；方差是標準差的平方，故它們的單位不一樣，故C錯誤.2.[全國卷Ⅲ]設一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（C）A.0.01 B.0.1 C.1 D.10解析因為數(shù)據(jù)axi＋b（i＝1，2，…，n）的方差是數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，…，n）的方差的a2倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為102×0.01＝1.3.[多選/2021新高考卷Ⅱ]下列統(tǒng)計量中可用于度量樣本x1，x2，…，xn離散程度的有（AC）A.x1，x2，…，xn的標準差 B.x1，x2，…，xn的中位數(shù)C.x1，x2，…，xn的極差 D.x1，x2，…，xn的平均數(shù)解析平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均刻畫了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)和中位數(shù)，對分類型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).方差、標準差和極差均是度量樣本數(shù)據(jù)離散程度的數(shù)字特征.故選AC.4.[江蘇高考]已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是53解析數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10的平均數(shù)是6+7+8+8+9+106＝8，則方差是4+1+0+0+1+46＝5.[2023湖南省六校聯(lián)考]數(shù)據(jù)：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位數(shù)為m，第60百分位數(shù)為a，則m＋a＝10.解析共有10個數(shù)據(jù)，且為從小到大排列，所以中位數(shù)為第5個數(shù)和第6個數(shù)的平均數(shù)，所以m＝4+52＝4.5，因為10×60％＝6，所以第60百分位數(shù)為第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，所以a＝5+62＝5.5，所以m＋a研透高考明確方向命題點1百分位數(shù)的估計例1（1）一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為14.5，第86百分位數(shù)為17.解析∵75％×20＝15，∴第75百分位數(shù)為14+152＝14.5.∵86％×20＝17.2，∴第86百分位數(shù)為第18個數(shù)據(jù)，即（2）[2023重慶二調(diào)]如圖是根據(jù)某班學生在一次體能素質(zhì)測試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的80％分位數(shù)為78.5.解析∵（0.016＋0.030）×10＝0.46＜0.8，（0.016＋0.030＋0.040）×10＝0.86＞0.8，∴80％分位數(shù)位于[70，80）中，令其為x，則x－7010解得x＝78.5.方法技巧1.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟（1）按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；（2）計算i＝n×p％；（3）若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第i+12.頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的求解步驟（1）確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b）；（2）確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa％，fb％，則第p百分位數(shù)為a＋p％－fa％fb％－訓練1（1）已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是（C）A.這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)解析因為100×75％＝75，為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項均不正確，故選C.（2）[2023河北名校聯(lián)考]為科普航天知識，某校組織學生參與航天知識競答活動，某班8位同學成績?nèi)缦拢?，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m（1≤m≤10）的值可以是7（8，9，10也可）.（寫出一個滿足條件的m的值即可）解析原數(shù)據(jù)去掉m后，剩余數(shù)據(jù)從小到大依次為6，7，7，8，8，9，10，因為7×0.25＝1.75，所以這7個數(shù)的第25百分位數(shù)為7，所以數(shù)據(jù)7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位數(shù)為7，又8×0.25＝2，所以7為這8個數(shù)據(jù)從小到大排序后的第2個數(shù)與第3個數(shù)的平均數(shù)，所以m（1≤m≤10）的值可以是7或8或9或10.命題點2樣本的數(shù)字特征角度1離散型數(shù)據(jù)的數(shù)字特征例2（1）已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x，方差為s2，則（A）A.x＝4，s2＜2 B.x＝4，s2＝2C.x＞4，s2＜2 D.x＞4，s2＞2解析設7個數(shù)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，則x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x77＝4,17x1-42+x2-42+x3-42+x4-42+x5-42+x6-42+x7-42=2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7（2）[多選/2023新高考卷Ⅰ]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（BD）A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.x2，x3，x4，x5的標準差不小于x1，x2，…，x6的標準差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差解析取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，則x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于2，標準差為0，x1，x2，…，x6的平均數(shù)等于3，標準差為223＝663，故A，C均不正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1，x2，…，x6按從小到大的順序進行排列，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的算術平均數(shù)，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位數(shù)是將x2，x3，x4，x5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術平均數(shù)，與x1，x2，…，x6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差，故D綜上，選BD.角度2統(tǒng)計圖中的數(shù)字特征例3[多選/2023重慶市三檢]某學校共有2000名男生，為了了解這部分學生的身體發(fā)育情況，學校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論正確的是（ABD）A.樣本的眾數(shù)為671B.樣本的中位數(shù)為662C.樣本的平均值為66D.該校男生體重超過70kg的學生大約為600人解析對于A，由頻率分布直方圖知樣本的眾數(shù)為65+702＝6712，故A正確；對于B，設樣本的中位數(shù)為x，因為前兩個矩形面積和為5×0.03＋5×0.05＝0.4，前三個矩形面積和為5×0.03＋5×0.05＋5×0.06＝0.7，所以中位數(shù)位于（65，70]之間，則有5×0.03+5×0.05+x-65×0.06=0.5，解得x＝6623，故B正確；對于C，樣本的平均值為57.5×0.15＋62.5×0.25＋67.5×0.3＋72.5×0.2＋77.5×0.1＝66.75，故C不正確；對于D，2000名男生中體重超過70kg方法技巧頻率分布直方圖中的數(shù)字特征（1）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，一般用最高小長方形的底邊中點的橫坐標近似代替；（2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；（3）平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中近似等于各組區(qū)間的中點值與對應頻率之積的和.訓練2（1）[2022全國卷甲]某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則（B）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70％B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85％C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差解析對于A，講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)是70％+75％2＝72.5％，所以A錯誤；對于B，講座后問卷答題的正確率分別是80％，85％，85％，85％，85％，90％，90％，95％，100％，100％，其平均數(shù)顯然大于85％，所以B正確；對于C，由題圖可知，講座前問卷答題的正確率波動較大，講座后問卷答題的正確率波動較小，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后問卷答題的正確率的標準差，所以C錯誤；對于D，講座前問卷答題的正確率的極差是95％－60％＝35％，講座后問卷答題的正確率的極差是100％－80％＝20％，所以講座前問卷答題的正確率的極差大于講座后問卷答題的正確率的極差，所以D（2）[多選/2021新高考卷Ⅰ]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c為非零常數(shù)，則（CD）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同解析設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別為x－，m，σ，t，依題意得，新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差分別為x－+c,m+c,σ命題點3總體數(shù)字特征的估計角度1總體集中趨勢的估計例4統(tǒng)計局就某地居民的月收入（單位：元）情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖（如圖），每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示月收入在[2500，3000）內(nèi).（1）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000人中用分層隨機抽樣的方法抽出100人進行下一步分析，則月收入在[4000，4500）內(nèi)的應抽取多少人？（2）估計該地居民的月收入的中位數(shù).（3）假設同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估計該地居民月收入的平均數(shù).解析（1）因為（0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001）×500＝0.5，所以a=又0.0005×500＝0.25，所以月收入在[4000，4500）內(nèi)的頻率為0.25，所以月收入在4000，4500內(nèi)的應抽取的人數(shù)為0.25×100（2）因為0.0002×500＝0.1，0.0004×500＝0.2，0.0005×500＝0.25，0.1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3500＋0.5因此估計該地居民月收入的中位數(shù)是3900元.（3）樣本平均數(shù)為2750×0.0002+3250方法技巧平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).角度2總體離散程度的估計例5[2023全國卷乙]某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi（i＝1，2，…，10），試驗結果如下：試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為s2.（1）求z，s2.（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果z≥2s210解析（1）由題意，求出zi的值如表所示，試驗序號i12345678910zi968－8151119182012則z＝110×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11s2＝110×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝（2）因為2s210＝26.1＝24.4，z＝所以可認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.方法技巧總體離散程度的估計標準差（方差）刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.訓練3[全國卷Ⅱ]某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[－0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40％的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（精確到0.01）附：74≈8.602.解析（1）由題意可知，隨機調(diào)查的100個企業(yè)中增長率不低于40％的企業(yè)有14＋7＝21（個），產(chǎn)值負增長的企業(yè)有2個，所以這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40％的企業(yè)比例約為21100，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例約為2100＝（2