長春市11中2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二學(xué)程考試卷附答案解析

長春市11中2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二學(xué)程考試卷

第I卷(共60分)

一、單項選擇題：本題共小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求

的.

1.直線y=x+l與圓f+y2=l的位置關(guān)系是

A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離

4

2.己知橢圓。的短軸長為6,離心率為二，耳，尸2為橢圓C的左右焦點，P為橢圓。上的動點，則

面積的最大值為

A.9B.12C.15D.20

3.已知a=(4+1,0,2),=(6,2//-1,22),若ahb,則，與4的值可以是

A.2,—B.—,—C.—3,2D.2,2

232

4.設(shè)aeR,則“a=l"是''直線人依+2丁-1=0與直線右：x+(a+l)y+4=0平行”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.如圖是拋物線形拱橋，現(xiàn)拱頂離水面5m,水面寬A3=30m.若水面下降5m,則水面寬是

A.1072B.15^/2

C.20V2D.30V2

6.如圖所示，在平行六面體ABC?！狝4GR中,M為4G與8Q的交點.若而=a,AD^b,

A<=c,則下列向量中與兩相等的向量是

A.---ci—>+cB.

22

C.—u—b+cD.

22

、%2y2

7.設(shè)1,F)是橢圓E：—-+=1(6?>/?>0),右焦點，P為直線》=號上一點，△片P鳥是

a~b

底角為30。的等腰三角形，則E的離心率為

4

ABCD.

-I-II5

8.光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，

被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出.如圖①，一個光學(xué)裝置由有公共焦點月、入的橢圓

G和雙曲線G構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點耳發(fā)出，依次經(jīng)G與反射，又回到了點耳，歷時4秒；若將

裝置中的G去掉，如圖②，此光線從點耳發(fā)出，經(jīng)G兩次反射后又回到了點G，歷時L秒.若f2=8f「

則C,與C,的離心率之比為

A.3:4B.2:3C.1:2

D.1:72

9.已知點4—2,0)、5(3,0).動點P(x,y)滿足麗?麗=/,則點p的軌跡為

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

10.拋物線丁=2'(p>0)的焦點為尸，已知點A,8為拋物線上的兩個動點，且滿足NAFB=120°.

\MN\

過弦AB的中點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N,則T的最大值為

|A同

出25/3

A.---B.1C.----D.2

33

二、多項選擇題：本題共小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，可以有多個選項是符合題目要

求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

11.某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心戶為焦點的橢圓(地球看作是球體)，測得近地點/距離地面0km,

遠(yuǎn)地點6距離地面"km,地球半徑為"km,關(guān)于這個橢圓有下列說法，正確的有

A.長軸長為m+"+2RB.焦距為"一團

C.短軸長為JO+R)(〃+R)D.離心率e="R

12.已知b為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點，下列結(jié)論正確的是

A.拋物線y=^2的焦點到其準(zhǔn)線的距離為二_.

2a

B.已知拋物線C與直線/：4x-3y-2P=0在第一、四象限分別交于48兩點，若|而|=如而|,則

Z=4.

C.過尸作兩條互相垂直的直線4，4,直線4與，交于46兩點，直線4與C交于〃￡兩點，則四

邊形面積的最小值為8P2.

D.若過焦點廠的直線/與拋物線。相交于機N兩點，過點M,/V分別作拋物線C的切線4，12,切線乙

與4相交于點R則點尸在定直線上.

第n卷(共90分)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.?C

13.點P(x,y)是圓一+丁=12上的動點，則x+y的最大值是./^E\

14.如圖，等腰梯形ABC。中，AB=2DC,3AE=2EC.一雙曲線經(jīng)過C,D,E三點，且以A,B為焦

點，則該雙曲線離心率是.

2

Q

15.若向量。=(1,4,2),6=(2,-1,2),且Q與匕的夾角的余弦值為則2=.

22

16.過雙曲線rX"-*V=15>6>0)的左焦點廠作某一漸近線的垂線，分別與兩漸近線相交于A,B兩

a~b"

點，若即則雙曲線的離心率為__________.

|B用2

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

已知圓C：x2+y2-2x+4.v-4=o.問在圓C上是否存在兩點A、8關(guān)于直線了=依一1對稱，且

以A5為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線A3的方程；若不存在，說明理由.

18.(12分)

某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米.要求通行車輛限高4.5

米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀(如圖).

(1)若最大拱高人為6米，則隧道設(shè)計的拱寬/是多少米？

(2)若最大拱高人不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高人和拱寬/,才能使半個橢圓形隧道的土方工程量

22

最小，并求出最小土方量？(已知：橢圓*?+方=l(a>b>0)的面積公式為5=向由，本題結(jié)果拱高川和

拱寬/精確到0.01米，土方量精確到1米'，0a1.414，/=2.646)

19.(12分)

22

過雙曲線^--二=1的右焦點工，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A,B兩點,。為坐標(biāo)原點，F(xiàn),

36

為左焦點.

(1)求|A8|；(2)求AAOB的面積.

20.（12分）

如圖，在四棱錐P—A8CO中，底面ABC。為正方形，PA1底面ABC。，4)=A尸，E為棱PD

中點.

(1)求證：P￡>_L平面ABE；

(2)若尸為A3中點，PM=APC(O<2<1),試確定X的值，使

二面角P—RW—5的余弦值為一」.

3

3

21.（12分）

己知點尸(0,1),直線/：y=-l,P為平面上的動點，過點尸作直線/的垂線，垂足為。，且

QPQF=~FP~FQ.

(1)求動點P的軌跡。的方程；

(2)已知圓M過定點力(0,2),圓心M在軌跡。上運動，且圓M與x軸交于A、

B兩點，設(shè)|D4|=//|。8|=/,,求4+￥的最大值.

-4L

22.(12分)

2,.21

橢圓，r+方=1(。>6>0)的左右焦點分別為6,耳，且離心率為］，點P為橢圓上一動點，ARPF?

內(nèi)切圓面積的最大值為￡.

3

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)橢圓的左頂點為A，過右焦點尸2的直線/與橢圓相交于A8兩點，連結(jié)AA、AB并延長交

直線尤=4分別于P,Q兩點，以PQ為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明

理由.

4

參考答案

LB2.B3.A4.A5.D6.A7.CS.A9.D10.A

11.ABD12.BCD

13.2遍14.y/115.-2或2/

17.解［SC的方程可化為(x-1尸+5+2尸-9,圓心為C(l,-2).

假設(shè)在圓C上存在兩點A.B,則圓心C(l,-2)在直線y-kx-1上，即k--L

于是可知,kAB?L

設(shè)LM?：y-x+b,代入ISC的方程、

整理得2x?+2(b+l)x+b2+4b-4?0,

A-4(b+1『-8(b2+4b-4)X).b-+6b-9<0,

解得-3-3正<6<-3+371

設(shè)A(xi，y>B(X2,y2),

:

則X|+X?--b-1,X|X2-^b+2b-2.

由OA_LOB,知\|X2?yiy2,0,

也就是X|X2?(x】?bMx2*b)-0,

2

二2xix2+b(X|?x2)*b-0.

:.b2?4b-4-b2-b+b2-0,化簡得b??3b-4?0,

解得b--4或b?l,均滿足A>0.

即直線AB的方程為x-y-4■0,或x-y+l?0.(10分)

18.(I)如圖建立直角坐標(biāo)系,則點氣1L4.5),橢圓方程為4+5=1.

hhr

將b=；,=6與點尸坐標(biāo)代入橢圓方程，得&=竽，此時/=2“=竽=3326

因此隧道的拱寬約為33.26米：(4分)

(2)由橢圓方程￡+*=1,根據(jù)題意.將(14.5)代入方程可得$+筆■=1.

1124.5*-2x11x4.5八口，、,.<?*霍

因m為u一r+F-2-------——，n即n且/=2a,h=b,所以21.

anab22r

當(dāng)s取最小值時.有￡=號=:,得a=lS，b=坐.

此時/=2a=22>/I=3Ll】，h=b=636

故當(dāng)拱高約為6.36米、拱寬約為31.11米時,土方工程量最小.

最小土方量為子99萬/2500=389立方米.(12分)

5

19.(1)解由雙曲線的方程得a?5，b??^6.c-y]a2b2-3,￡(-3.0),B(3.0).

直線48的方程為乎(x-3).

r變,

y■jx-3

設(shè)j（xi，yi）,6（必，＞2），由v得5/?6x-27?0.

/F

136L

627

-t|+4-X1X2--亍

-??H的.V1+昨?一同

-4+惇)

7X1*X2--4X|X2

36108

—?------'----M-（6分）

2555-

（2）解直線.48的方程變形為小x-3,-3小?0.

原點O到直線AB的距離為

LS3

7V1-3「2。

x

-?.SMOB-夕4比4-1-1'5^.（12分）

20.(I)?.?尸/J_平面ABCD..48u平面ABCD,/.PA±AB,

?.?平面48CD為矩形，AB±AD,?.?404。=/,..45_1平面尸,4。，

?.?尸￡>匚平面4￡).：.ABA.PD,\PA=AD,￡為尸。中點

PD±AE,'：AE[\AB=A：.PD±平面ADE(6分)

(II)以4為原點.以工反布,?為xj,z軸正方向.

建立空間直角坐標(biāo)系4-8OP,令|/8|=2,

9H^(0,0,0).5(2,0,0).P(0,0,2).C(2,2.0).￡(0,1,1).尸(1,0*0).

PF=(1,0.-2),PA/=(2/1,22,-22),M(2A,2A,2-2A)

—m?PF=0

設(shè)平面尸產(chǎn)A/的法向量切=(工],乂，4)?____?

m-PM=0

—x+2N=0

B|hw=(2,-1J)

2Ax+2Ay-22z=0

〃,8尸=0

設(shè)平面8戶A/的法向量G=（巧，必.Z2）?_7

n?FM=0

,、、，〃=(0,7—1,4)

(22-l).r+2Aj+(z2-22)z=07

m-n1T+273解得義=!.

ICOS<"[,〃>1=（12分）

3

l?l面&"+(/_])2

6

21.(1)設(shè)尸則0(工一1),

---QP^QF='FP^FQ.

二(0,y+1)?(-r,2)=(x,,v-1)?(x,-2).

即2(y+l)=x2-2(y-l).即x?=4y,

所以動點尸的軌跡C的方程Y=4y.(4分)

(2)解：設(shè)圓A/的圓心坐標(biāo)為A/(a,6).則1=4/,.?

圓」W的半徑為\ME\=芯+(°_2)2.

圓A1的方程為(x-af+(y-b)2=a2+(h-2)2.

令y=0,貝-a)-+〃，=a?+(匕-2)一.

整理得.x2-2ax+4b-4=0.0

由①、O解得，x=a±2.

不妨設(shè)/(。-2,0),5(a+2,0),

/,=J(a-21+4./2=J(a+2「+4.

/,/,/.2+/22a2+16

:,———!____±2-—,---

(24“2Ja,+64

k+8fI16a2

=^764_______③

當(dāng)axO時，由6得.人+4=21+—7TW2jl+-^-=2^.

…d/+擠V2x8

當(dāng)且僅當(dāng)。=±2jl時.等號成立.

當(dāng)［=0時，由O得，乙+"=2.

4A

故當(dāng)a=±2&時,人+人的最大值為2五.(12分)

AA

22.解：(1)已知橢圓的離心率為不妨設(shè)右=，,a=2t,即6=其中，＞0,

又△FtPF2內(nèi)切圓面枳取最大值。時,半徑取最大值為廣=坐,由SM.,=g%

由C".tr"y為定值.因?r此ajS*.?也取得最大值,即點P為短軸端點，因此

g?2c?b=3?(2a+2c),—,2/?,(4/+2/).解得1=1