北京市房山區(qū)房山中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)

效.5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

y2

1已知橢圓c：_+_=1的短軸長(zhǎng)為2,焦距為消F、F分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C上的任意一點(diǎn),

a2b212

11

則冏+度]的取值范圍為()

A.[1,2]B.["伺C.[72,4]D.[1,4]

2設(shè)。，瓦F分別為AABC的三邊8CCAAB的中點(diǎn)，則方+%=()

1___1_

42ADB.ADC.BCD.~BC

3某歌手大賽進(jìn)行電視直播，比賽現(xiàn)場(chǎng)有6名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位

參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表，場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬(wàn)名觀眾參與了評(píng)分，組織方將觀眾評(píng)

分按照[70,80),180,90),190,10。]分組，繪成頻率分布直方圖如下：

嘉賓ABCDEF

評(píng)分969596899798

嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為x,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為x,所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為二，則下列選項(xiàng)

12

正確的是()

-X+X_X+X_X+X————-x+x

A.X=—1--2-B.X>—1---2-C.X<—1--2-D,X>X>X>—1---i

222122

4將函數(shù)/(乂);產(chǎn)m2乂一(：052乂向左平移1個(gè)單位，得到g(x)的圖象，則g(x)滿(mǎn)足(

,在區(qū)間卜),兀、上為增函數(shù)

A.圖象關(guān)于點(diǎn)%,0)對(duì)稱(chēng)

函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

冗f71K

C.圖象關(guān)于直線(xiàn)X=_對(duì)稱(chēng)，在上的最小值為1

石L12?

D.最小正周期為兀，96)=1在「?！浮褂袃蓚€(gè)根

則A=()

A.2020B.4038C.4039

4c(CB)=

6.已知實(shí)數(shù)集R,集合4={xllvx<3},集合B=()

R

A.{xll<x<2}B.{xll<x<3}c.{xl2<x<3}D.{xll<x<2}

7.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，將所求解的問(wèn)題同一定的概率模型相聯(lián)系；用

均勻投點(diǎn)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬和抽樣，以獲得問(wèn)題的近似解，故又稱(chēng)統(tǒng)計(jì)模擬法或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法.現(xiàn)向一邊長(zhǎng)為2a的正方形模型

內(nèi)均勻投點(diǎn)，落入陰影部分的概率為P,則圓周率兀。()

A.4P+2B.4p+l

C.6—4PD.4p+3

8.設(shè)P={yly=—X2+1,xeR},Q={yly=2x,xGR),則

A.P=0B.Q

c.C尸￡QD.Q^cP

RR

9.已知口+4=2,無(wú)4,0]，則刊的取值范圍是（）

A.[0,1]BT1C.[1,2]D.[0,2]

.忸h

10.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.月收入的極差為60B.7月份的利潤(rùn)最大

C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30D.這一年的總利潤(rùn)超過(guò)400萬(wàn)元

11.橢圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓現(xiàn)有

一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略

不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過(guò)程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）

A.0B.惇1）

C.

2曹函?。?-12乂若函磬/（J的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)有2對(duì)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

數(shù)I

A.（-℃,0）B.（0,1）c.（0,+?）

I刃

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

在疫情防控過(guò)程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護(hù)人員的精心治療下，第15天開(kāi)始有患者治愈出院，并且恰

有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開(kāi)始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，那么第19天治愈出院患

者的人數(shù)為,第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

i已知等比數(shù)列仁二）的前二項(xiàng)和為二匚，若二;二5=2二匚夕二j=-62,則二j的值是.

5某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：。C）依次為8,-4,-1,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.

6《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉膈，如圖，在鱉膈P-/BC中，D4_L平面力BC,AB

-LBC,且/P=4C=4,過(guò)力點(diǎn)分別作NE_LPB于點(diǎn)E,力尸_1。。于點(diǎn)正，連接EF,則三棱錐P-/EF的體積

的最大值為.

IJ.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)復(fù)數(shù)之滿(mǎn)足敢2+。=1-2,（i為虛數(shù)單位），則:的模為.

18.（12分）如圖，在四棱錐P—/BCDP-ABCD中，△D4B是等邊三角形，BC±AR,BC=CD=2召,

AB=AD=2.

（1）若PB=3BE,求證：9〃平面PCD；

（2）若PC=4,求二面角力一PC-B的正弦值.

19.（12分）已知〃，。均為正數(shù)，且〃〃=1.證明:

（2）+

ab

20.（12分）設(shè)函數(shù)/G）=|x-2|+|2x-〃|.

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，求不等式3的解集；

（2）當(dāng)/（》）=卜一〃+2|時(shí)，求實(shí)數(shù)*的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù)./'(x)=Rg'2,(〃+l)x+lnx,〃e

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(2,/(2))的切線(xiàn)方程；

(2)討論函數(shù)/⑴的單調(diào)性.

22.(10分)如圖，四邊形ABCQ為菱形，G為AC與8。的交點(diǎn)，平面ABCD.

(1)證明：平面AEC_L平面BEO；

(2)若NBA。=60。，AELEC,三棱錐E-AC。的體積為里，求菱形A8CO的邊長(zhǎng).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、

D

【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到j(luò)=4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求1?.尸從而可得

11

~p.p..PP的取值范圍.

I1lI2I

【詳解】

由題設(shè)有人=1,C=/,故4=2,故橢圓C：；_+y2=19

因?yàn)辄c(diǎn)P為C上的任意一點(diǎn)，故+

又一白=J』

nn巧析mrr

lT<\

因?yàn)?--牛勺仔2+產(chǎn)故1"Pq(4—產(chǎn)/

W4,

1+1

<4

所以Rin

故選：D.

【點(diǎn)睛】

布題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓。：柒+=1（。＞沙＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是尸、點(diǎn)

F,為C上的

12

。2。2

任意一點(diǎn)，則有PF〕+PF=2a,我們常用這個(gè)性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

根據(jù)題意,畫(huà)出幾何圖形，根據(jù)向量加法的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:

加一；(BC+BA),FC=-+CA)

一一2.

EB+FC=-《BC+BA)-。6+G4)

,一，_2__2

1.1

AB+AC=AD

22

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法的線(xiàn)性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

計(jì)算出X、x,進(jìn)而可得出結(jié)論.

2

【詳解】

由表格中的數(shù)據(jù)可知，-6"95.17,

由頻率分布直方圖可知，文=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,則

2I2

x+x

由于場(chǎng)外有數(shù)萬(wàn)名觀眾，所以，F(xiàn)<x<1?<77

1

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

由輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得g（x）的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即

可判斷各選項(xiàng).

【詳解】

函數(shù)/(X)=j3sin2x-cos2x,

則/(x)=2sin

（冗、

將/（X）=2sin2x-向左平移71個(gè)單位,

I6）6

可得g(x)=2sin-"=2sin，2x+"J,

.司'可

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，g（x）的對(duì)稱(chēng)中心滿(mǎn)足2乂+：=4兀keZ解得x=-二+￡keZ,所以A、B選項(xiàng)中

6122

的對(duì)稱(chēng)中心錯(cuò)誤；兀兀兀

g（x）2xIkit,keZx=+kn,kwZx二冗

對(duì)于C,的對(duì)稱(chēng)軸滿(mǎn)足+:=大+，解得-，所以圖象關(guān)于直線(xiàn)”對(duì)稱(chēng)；當(dāng)

6266

「兀71~|71「兀5兀］（兀、［1「兀兀］

X￡—一1時(shí),q_,一由正弦函數(shù)性質(zhì)可知2sin|2x+|1,2,所以在——卜的曷》、佰為,

96L36JI6Jes'3」上的最小值為L(zhǎng)

_123J

所以c正確；

2?！富ǎ葚！肛?兀］「兀、

對(duì)于D,最小正周期為亍=兀，當(dāng)xqO,彳匕2x+-e由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，2sin（2x+石）=1

時(shí)僅有一個(gè)解為x=0,所以D錯(cuò)誤;

綜上可知，正確的為C,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.5、

D

【解析】

計(jì)算a+a=a,代入等式，根據(jù)化簡(jiǎn)得到答案.

134

【詳解】

a=1,a=2,a=3,故a+a-a,

134134

2020

二a=Q+Q+…+a=Q+Q+。+…+a=Q+Q+…+Q...=Q

2n-li3403945740396740394040

n=l

故k=4040.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

6、A

【解析】

"7-7>0可得集合B,求出補(bǔ)集CB,再求出AnfcB)即可.

RR

【詳解】

由J717>0,得X>2,即B=(2,+8),

所以CB=(—8,2],

R

所以4c(C/)=(12.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

計(jì)算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.

【詳解】

S兀。2—2(7271-2

由p=_H,=------------=-------,.?.無(wú)=4p+2.

S4a24

正

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了面積型幾何概型的概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

解：因?yàn)镻={y|y=-x2+l,xGR}={y|y<1),Q=(y|y=2x,x￡R}={y|y>0},因此選C

9、D

【解析】

設(shè)m=2a+b,可得a-b=a-m-2a2e構(gòu)造(?！猰)<2+1m2,結(jié)合m=2,可得p-】mw

一-一------_-2_-i-i

41611

根據(jù)向量減法的模長(zhǎng)不等式可得解.

【詳解】

設(shè)fh=2o+b,貝H=2,

￡=而一2d,e[-4,0],

1111

?(n—m)2=02-_am+_m2<2+_m2

421616

m21

m-|2=ffl2=4,所以可得：_=_,

82

配方可得l=lm2<2(cr-J_m)2<4+J_ni2=￡

2882

n3]

所以。一m

-4~

111

Xl|a|-|-m||<a--m<||o|+|-m||

444

則"|qo,2j.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的運(yùn)算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

10、D

【解析】

直接根據(jù)折線(xiàn)圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】

由圖可知月收入的極差為90-30=60,故選項(xiàng)A正確；

1至12月份的利潤(rùn)分別為20,30,20,10,30,30,6(),40,30,30,50,30,7月份的利潤(rùn)最高，故選項(xiàng)B正確；

易求得總利潤(rùn)為380萬(wàn)元，眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折線(xiàn)圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

11、C

【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此

時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.

此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為J122+62=6有，短軸長(zhǎng)為6,

(2^5

所以6€(0,子.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了桶圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

考慮當(dāng)x〉0時(shí)，kx-1=Inx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令力(x)=lnx-kx+l,則力(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和

零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?(X)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)有2對(duì)，

所以x>0時(shí)，kx-1=Inx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

令人(x)=Inx-kx+1,貝ij力(x)在(0,+?)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

又『a,

X

當(dāng)k<0時(shí)，/1,G）>0,故人（x）在（0,+8）上為增函數(shù),

Mx）在（0,+8）上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍.

當(dāng)k>0時(shí)，

若xw[o,1],則/i'（x）>0,Mx）肉'o,?上為增函數(shù)；

[可〔可

若xw,1,+oo],則“（x）<0,Mx）隼C,巧'上為減函數(shù);

IT）[k）

故人（X）=6[1]=In1,

max~k

因?yàn)榱Γ▁）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以ln“O,解得（）<k<l.

k,、

又當(dāng)0<k<l時(shí)，1且//1、=一4<0,故人（x）在、上存在一個(gè)零點(diǎn).

eklei7Ik\

Q

+l=2+21nt-et,其中t=>1.

~k~k

令g（t）=2+21nt-et,則

t

當(dāng)t>l時(shí)，g'（t）<0,故gG）為（1,+s）減函數(shù),

所以g（t）<g（i）=2—e<o即<0.

因?yàn)楣?gt;L>也存在一個(gè)零點(diǎn).

kiki

綜上，當(dāng)0<k<l時(shí)，力（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明

零點(diǎn)的存在性，本題屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、161

【解析】

由題意可知出院人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，由此可求結(jié)果.

【詳解】

某醫(yī)院一次性收治患者127人.

第15天開(kāi)始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出

院.且從第16天開(kāi)始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2

倍，

，從第15天開(kāi)始，每天出院人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則第19天治愈出院患者的人數(shù)為a=1x24=16,

----5

S=1X9)=127,

"1-2

解得〃=7,

???第7+15T=21天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出

院.故答案為：16,1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔

題.

14、-2

【解析】

試題分析:

考點(diǎn)：等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式

15、4

【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出這組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

【詳解】

解：某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位：°C)依次為8,-4,-1,0,2,

平均數(shù)為：1(8-4—1+0+2)=1,

5

???該組數(shù)據(jù)的方差為：

S2=；［(8-1)2+(-4-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(2-1)21=16,

,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法，考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、

4^/2

【解扃-

由已知可得AAERAPE尸均為直角三角形，且Af=2。，由基本不等式可得當(dāng)4后=后尸=2時(shí)，A4E尸的面積最

大，然后由棱錐體積公式可求得體積最大值.

【詳解】

由PAJL平面ABC,得PALBC,

又ABA.BC,且PAC\AB=A,.,.8C_L平面PAB,貝（］BCLAE,

又PB1.AE,貝ljAE_L平面PBC,

于是AELEF,且AE1PC,結(jié)合條件AFJLPC,得PCJL平面AEF,

.,.△AEF、△PEF均為直角三角形，由已知得AF=2J7,

111

而SAAE.=,x/EXEF44（AE2+E尸2）=-AF2=2,

當(dāng)且僅當(dāng)AE=EF=2時(shí)，取“=”，此時(shí)AAEF的面積最大，

三棱錐P-AEF的體積的最大值為：

lxPFxS1.rr

匕,=---------X2。2=曳￡.

P-AEb33,3

故答案為4f

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線(xiàn)與平面垂直的判定，基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬于

中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、1

【解析】

整理已知利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算方式計(jì)算，再由求模公式得答案.

【詳解】

因?yàn)閃2+，）=]_2/,即蕓=1_2—5Z+2Z2—_Z-

2+i4-/2-

所以《的模為1

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求模，屬于基礎(chǔ)題.

18、（1）詳見(jiàn)解析（2）3

5

【解析】

（1）如圖，作E尸〃PC,交BC于廣，連接/F.

因?yàn)镻B=3BE，所以E是PB的三等分點(diǎn)，可得BF=史.

3

因?yàn)?B=/D=2,BC=CD=2—AC=AC,所以△/BC之△/DC,

因?yàn)樗砸?BC=90°,

因?yàn)閠anN"CB=j，所以41CB==30°,所以NBCD=60°，

AB2

tan44FB===B,..

因?yàn)樨式，所以乙1FB=6O。，所以/LF〃CD，

因?yàn)?尸（2平面PCD,CDu平面PC。，所以/F”平面PCD.

又EF〃PC,EFg平面PCD,PCu平面PC。，所以EFu平面PCD

因?yàn)榱Α缚谑?尸，AF、EFu平面NEF,所以平面4EF〃平面PC。，所以XE〃平面PCD

（2）因?yàn)椤鱌/B是等邊三角形，/B=2,所以PB=2.

又因?yàn)镻C=4,BC=2jT，所以PC2=PB2+BC2,所以BCLPB.

又A8,PBu平面P4B,48CPB=B,所以BCJ_平面PAB.

因?yàn)锽Cu平面ABCD,所以平面R4B_L平面4BCD,在平面PAB內(nèi)作Bz_L平面ABCD.

以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為北乂z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-q/z,

則C(2/,0,0),40,2,0),P(0,l,JT),

所以就=(2/0,0),訴=(0,1，技，AC=(2/-2,0),M=(0,-1,①.

,一―l.mBC=0即!26=。

設(shè)m=(x,y,z)為平面BPC的法向量，貝!J《

111[m-BP=0[y+事z=o

11

令z=-l,可得m=(0,"-l).

1

院"=。即120一2》=0

設(shè)n=(x，幾z)為平面APC的法向量,_，即彳"22

222[n-AP=0I-y+耳z=0

22

令Z=1,可得”

2

所以cos(m,〃卜；木=岑,則sin”〃尸

所以二面角4—PC-B的正弦值為羋.

19、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

(11V

(1)由。2+b222ab進(jìn)行變換，得到2@+亞)卻一+一,兩邊開(kāi)方并化簡(jiǎn)，證得不等式成立.

[ba)

_(b+l)2(a+1)2化為(as+加)+2(02+b2)+(a+b),

然后利用基本不等式，證得不等式成立.

(2)將+7

ab

【詳解】

(1)a2+b2>2ab,兩邊力口上(72+加得2((12+匕2)2(。+匕)2,即2(a2+b2)z1+1],當(dāng)且僅當(dāng)

{ab)一[5a)

a=b=1時(shí)取等號(hào)，

?*,J(72+b2之^^(1+1)-

2ab

(2)

(b+l)2(a+1)2bi2b1a22alai+biba11(,)

---------------=；—+—+—+—d--,=——H(土A\Q3+bi/+

abaaabbbababab

2x72+b2)+(a+b)>2^a'/J3+4ab+2^b=8.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào).

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

20、⑴(―8,。］。［2,+8)⑶當(dāng)aW4時(shí)，x的取值范圍為0^x42；當(dāng)a>4時(shí)，x的取值范圍為2Wx<"

22

【解析】

(1)當(dāng)a=I時(shí)，分類(lèi)討論把不等式/(X)?3化為等價(jià)不等式組，即可求解.

(2)由絕對(duì)值的三角不等式，可得/(x)N伙-a—(x—2)|=|x-a+2］,當(dāng)且僅當(dāng)(2x-a)(x—2)W0時(shí)，取

分類(lèi)討論，即可求解.

【詳解】

「3x+3,x〈1

(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=，x+l,_<x<2,

2

3x-3,x>2

/、3x+3N3(X+123CQ

不等式/(x)N3可化為;1或，1或4,

U<x<2［x>2

解得不等式的解集為(-8,。］』2,+8).

(2油絕對(duì)值的三角不等式，可得/(x)=卜2卜？x-a會(huì)伙-a—(x-2)|=卜一。+2|,

當(dāng)且僅當(dāng)(2x-a)(x-2)W0時(shí)，取“=”，

所以當(dāng)a?4時(shí)，x的取值范圍為_(kāi)"wx《2；當(dāng)a〉4時(shí)，x的取值范圍為2Wxm".

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的求解，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記含絕對(duì)值不等式的解法，

以及合理應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21、(1)x+2y+2-21n2=0；(2)當(dāng)a4)時(shí),/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+s)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<l時(shí),f(x)

在(0,1)和"，+8、上單調(diào)遞增，在「1,「上單調(diào)遞減；當(dāng)。=1時(shí),/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>l時(shí),/(x)在

匕J

'0J'和(1,+℃)上單調(diào)遞增，在C,J上單調(diào)遞減.

[JL>

【解析】

⑴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

(ax-l)(x-l)

⑵易得函數(shù)定義域是(0,+°°),且/'(X)=-----------.故分a@,0<a<l和a=l與a>l四種情況，分別分析得極值

x

點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】

(1)當(dāng)a=0時(shí),/(x)=-X+Inx,f'(x)=-1+1,則切線(xiàn)的斜率為尸⑵=T+,=一1.

x22

又/⑵=-2+ln2,則曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(2,/(2))的切線(xiàn)方程是少―(―2+ln2)==1(x-2),

2

即x+2y+2—21n2=0.