微積分 第七版 課件 3.5 函數(shù)的最值

第五節(jié)

函數(shù)的最值本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練計(jì)算可導(dǎo)函數(shù)的最值掌握可導(dǎo)函數(shù)極值的另一種判斷方法掌握可導(dǎo)函數(shù)最值的判斷方法03一、求可導(dǎo)函數(shù)極值另一種方法1.定理3.5已知點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),且二階導(dǎo)數(shù)f″(x)在駐點(diǎn)x0處及其左右連續(xù),那么:(1)如果二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)<0,則駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)(2)如果二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)>0,則駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)3證:考慮駐點(diǎn)x0處及其左右很小范圍內(nèi)任意點(diǎn)x,由于二階導(dǎo)數(shù)f″(x)連續(xù),若二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)≠0,根據(jù)§1.7連續(xù)函數(shù)性質(zhì)3,則二階導(dǎo)數(shù)f″(x)與二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)同號.(1)由于二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)<0,從而二階導(dǎo)數(shù)f″(x)<0,說明一階導(dǎo)數(shù)f'(x)單調(diào)減少.這意味著當(dāng)點(diǎn)x從駐點(diǎn)x0的左方變化到右方時,一階導(dǎo)數(shù)f'(x)逐漸減小,注意到可導(dǎo)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0,因而這時一階導(dǎo)數(shù)f'(x)變號,且從正號變化到負(fù)號,根據(jù)§3.3定理3.2,所以駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn);4(2)由于二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)>0,從而二階導(dǎo)數(shù)f″(x)>0,說明一階導(dǎo)數(shù)f'(x)單調(diào)增加這意味著當(dāng)點(diǎn)x從駐點(diǎn)x0的左方變化到右方時,一階導(dǎo)數(shù)f'(x)逐漸增大,注意到可導(dǎo)函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的一階導(dǎo)數(shù)值f'(x0)=0,因而這時一階導(dǎo)數(shù)f'(x)變號,且從負(fù)號變化到正號,根據(jù)§3.3定理3.2,所以駐點(diǎn)x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).5例1求函數(shù)f(x)=x2e-x的極值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x6令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,注意到指數(shù)函數(shù)e-x恒大于零,得到駐點(diǎn)x=0與x=2.再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=(2-2x)e-x+(2x-x2)e-x(-x)'=(2-2x)e-x-(2x-x2)e-x=(2-4x+x2)e-x得到在駐點(diǎn)x=0處的二階導(dǎo)數(shù)值f″(0)=2>07根據(jù)定理3.5,于是駐點(diǎn)x=0為極小值點(diǎn);又得到在駐點(diǎn)x=2處的二階導(dǎo)數(shù)值f″(2)=-2e-2<0根據(jù)定理3.5,于是駐點(diǎn)x=2為極大值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)=x2e-x的極小值為f(0)=0,極大值為f(2)=4e-2.這個結(jié)果與§3.4例5得到的結(jié)果是相同的.82.函數(shù)的最值點(diǎn)與極值點(diǎn)函數(shù)的最值點(diǎn)與極值點(diǎn)是不同的概念,不可混淆.極值點(diǎn)只能是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn),不能是給定區(qū)間的端點(diǎn);而最值點(diǎn)可以是給定區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn),也可以是給定區(qū)間的端點(diǎn).一般情況下,最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),極值點(diǎn)也不一定是最值點(diǎn),但在一定條件下,它們又有著緊密的聯(lián)系.9可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點(diǎn)x0,且為極大值點(diǎn),這時函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,f(x0))左右很小范圍內(nèi)的曲線段當(dāng)然向下延伸,又由于可導(dǎo)函數(shù)f(x)沒有極小值,從而函數(shù)曲線y=f(x)不可能再向上延伸,只能繼續(xù)向下延伸,因而唯一極大值f(x0)也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的最大值,即唯一極大值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的最大值點(diǎn).10可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點(diǎn)x0,且為極小值點(diǎn),這時函數(shù)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,f(x0))左右很小范圍內(nèi)的曲線段當(dāng)然向上延伸,又由于可導(dǎo)函數(shù)f(x)沒有極大值,從而函數(shù)曲線y=f(x)不可能再向下延伸,只能繼續(xù)向上延伸。因而唯一極小值f(x0)也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的最小值,即唯一極小值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的最小值點(diǎn).11二、函數(shù)的最值點(diǎn)判定綜合上面的討論,得到下面的定理.1.定理3.6已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間I(可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間或半開區(qū)間)內(nèi)只有一個極值點(diǎn)x0,那么:(1)如果點(diǎn)x0為極大值點(diǎn),則唯一極大值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值點(diǎn)(2)如果點(diǎn)x0為極小值點(diǎn),則唯一極小值點(diǎn)x0也為可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值點(diǎn)122.求函數(shù)的最值點(diǎn)步驟開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定存在最大值或最小值,但若滿足定理3.4的條件,則開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)存在最大值或最小值.在這種情況下,求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的最值的步驟如下:步驟1確定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域D;步驟2計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x);13步驟3令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到唯一駐點(diǎn)x0;步驟4計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f″(x),判斷二階導(dǎo)數(shù)值f″(x0)的正負(fù)號,確定唯一駐點(diǎn)x0為唯一極大值點(diǎn)還是唯一極小值點(diǎn),進(jìn)而得到它為最大值點(diǎn)還是最小值點(diǎn),計(jì)算最值點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)即為最值.14例2求函數(shù)f(x)=x2-8x+7在定義域內(nèi)的最值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-8令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到唯一駐點(diǎn)x=4.再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=2它是常數(shù).15當(dāng)然,在唯一駐點(diǎn)x=4處也不例外,有二階導(dǎo)數(shù)值f″(4)=2>0根據(jù)定理3.5,于是唯一駐點(diǎn)x=4為唯一極小值點(diǎn),再根據(jù)定理3.6,這個唯一極小值點(diǎn)x=4也為最小值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)=x2-8x+7在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)有最小值,最小值為f(4)=-9.16例3求函數(shù)f(x)=(1-x)ex在定義域內(nèi)的最值.解:函數(shù)定義域D=(-∞,+∞),計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,注意到指數(shù)函數(shù)ex恒大于零,得到唯一駐點(diǎn)x=0.17再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)f″(x)=-(ex+xex)=-(1+x)ex得到在唯一駐點(diǎn)x=0處的二階導(dǎo)數(shù)值f″(0)=-1<0于是唯一駐點(diǎn)x=0為唯一極大值點(diǎn),也為最大值點(diǎn).所以函數(shù)f(x)=(1-x)ex在定義域D=(-∞,+∞)內(nèi)有最大值,最大值為f(0)=1.18閉區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)當(dāng)然連續(xù),根據(jù)§1.7連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1,它一定存在最大值與最小值.如何求出這個最大值與最小值?由于這個最大值與最小值一定在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)或兩個端點(diǎn)處取得,又可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定在駐點(diǎn)中產(chǎn)生,因而所求最大值與最小值一定在相應(yīng)開區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn)或兩個端點(diǎn)處取得.19三、可導(dǎo)函數(shù)的最大值與最小值綜合上面的討論,求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:步驟1計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x),并令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,求出可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的所有駐點(diǎn);步驟2計(jì)算可導(dǎo)函數(shù)f(x)在這些駐點(diǎn)處的函數(shù)值,同時計(jì)算可導(dǎo)函數(shù)f(x)在兩個端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b);20特別地,若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào),則可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值分別在兩個端點(diǎn)處取得.步驟3比較上述計(jì)算得到的函數(shù)值大小,其中最大者為所求最大值,最小者為所求最小值.21例4求函數(shù)f(x)=x4-8x2+3在閉區(qū)間[-1,3]上的最大值與最小值.解:計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=4x3-16x=4x(x2-4)令一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=0,得到駐點(diǎn)x=-2,x=0及x=2,容易看出駐點(diǎn)x=0與x=2在開區(qū)間(-1,3)內(nèi),而駐點(diǎn)x=-2不在開區(qū)間(-1,3)內(nèi)22再計(jì)算函數(shù)f