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2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
冶金工程學(xué)院
金屬材料加工研究所
壓力加工數(shù)模與優(yōu)化1加工數(shù)模與優(yōu)化
TheMathematicalModelandOptimalityPrincipleinPlasticWorkingofMetals
材料加工過(guò)程中最優(yōu)化原理與方法材料加工過(guò)程中數(shù)學(xué)模型2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化2課程簡(jiǎn)介學(xué)時(shí)安排:
計(jì)劃學(xué)時(shí)數(shù):40學(xué)時(shí),授課學(xué)時(shí)數(shù):32學(xué)時(shí),上機(jī)學(xué)時(shí)數(shù):8學(xué)時(shí)課程性質(zhì):
本課程是一門限定性選修專業(yè)基礎(chǔ)課程,是幫助學(xué)生掌握解決現(xiàn)場(chǎng)問(wèn)題的一個(gè)工具,最優(yōu)化方法可以幫助工程技術(shù)人員對(duì)現(xiàn)有工藝進(jìn)行改造,以期達(dá)到降耗、節(jié)能、高效的目的,數(shù)學(xué)模型則是計(jì)算機(jī)控制中必不可少的部分,是企業(yè)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化控制的基礎(chǔ)。目的及任務(wù):通過(guò)本課程的學(xué)習(xí),要求學(xué)生掌握最基本的現(xiàn)代最優(yōu)化方法和一般的數(shù)學(xué)建模方法,使學(xué)生能將現(xiàn)代最優(yōu)化原理及數(shù)學(xué)建模用在本專業(yè)。本課程教學(xué)的任務(wù)是從應(yīng)用的角度出發(fā),使學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與本專業(yè)很好地結(jié)合,從而開(kāi)拓其思路,增加其基本技能。對(duì)優(yōu)化技術(shù)入門,能編制簡(jiǎn)單的優(yōu)化程序,最好能在畢業(yè)設(shè)計(jì)和論文中加以應(yīng)用。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化3教材及參考書教材:
最優(yōu)化方法,施光燕,董加禮編,高等教育出版社,1999主要參考書目:最優(yōu)化方法,解可新,韓立興,林友聯(lián),天津大學(xué)出版社,1998最優(yōu)化原理與方法,薛嘉慶,冶金工業(yè)出版社,1986最優(yōu)化計(jì)算方法,席少霖,趙鳳治,上??茖W(xué)技術(shù)出版社,1983非線性方程組解法與最優(yōu)化方法,王德人,高等教育出版社,1985非線性規(guī)劃,胡毓達(dá),高等教育出版社,1990軋制過(guò)程數(shù)學(xué)模型,楊節(jié),冶金工業(yè)出版社,1983軋制變形規(guī)程優(yōu)化設(shè)計(jì),劉戰(zhàn)英編著,冶金工業(yè)出版社,19972024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化4學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)方法認(rèn)真聽(tīng)課,認(rèn)真做筆記,基本概念和基本方法一定要掌握,要及時(shí)復(fù)習(xí)。認(rèn)真完成作業(yè)上機(jī)操作考核方式作業(yè)完成情況上機(jī)情況筆試(閉卷)最終成績(jī)組成:平時(shí)20~30%(包括上課聽(tīng)講情況、上機(jī)情況、作業(yè)完成情況),閉卷考試70~80%2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis5數(shù)學(xué)家名人錄2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis6ContentsofCH1引言:數(shù)學(xué)建模與最優(yōu)化的背景數(shù)學(xué)建模的進(jìn)展最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展數(shù)學(xué)建摸的基本概念與分類數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模舉例數(shù)學(xué)建模的過(guò)程最優(yōu)化的基本概念與分類最優(yōu)化的基本概念最優(yōu)化技術(shù)分類最優(yōu)化建模與求解示例數(shù)學(xué)建摸與最優(yōu)化的關(guān)系2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis71引言:數(shù)學(xué)建模與最優(yōu)化的背景1.1數(shù)學(xué)建模的歷史與意義1.2最優(yōu)化的歷史與意義2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis81.1數(shù)學(xué)建模的歷史與意義數(shù)學(xué)建模的歷史和數(shù)學(xué)的歷史基本上是一樣的;古埃及幾何學(xué)產(chǎn)生于尼羅河泛濫后土地的重新丈量;古印度幾何學(xué)的起源則與宗教密切相關(guān)中國(guó)的《周批算經(jīng)》是討論天文學(xué)測(cè)量的巨著;大約公元前5世紀(jì),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中不變因素的研究,把幾何、算術(shù)、天文、音樂(lè)稱為“四藝”,在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。17世紀(jì)出現(xiàn)了笛卡爾、牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家,奠定了微積分的基礎(chǔ),其研究的對(duì)象包括行星運(yùn)動(dòng)、流體運(yùn)動(dòng)、機(jī)械運(yùn)動(dòng)、植物生長(zhǎng)等均屬于數(shù)學(xué)建模的范疇;19世紀(jì)后期,數(shù)學(xué)成為了研究數(shù)與形、運(yùn)動(dòng)與變化的學(xué)問(wèn);可以說(shuō),數(shù)學(xué)是模式的科學(xué),其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對(duì)稱性。2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis91.2最優(yōu)化的歷史最優(yōu)化問(wèn)題有相當(dāng)長(zhǎng)的發(fā)展歷史,最一早可以追溯到牛頓、拉格朗日時(shí)代。由于牛頓等對(duì)微積分的重要貢獻(xiàn),才使得差分方程法解決最優(yōu)化問(wèn)題成為可能。這其中的先鋒者包括貝諾利(Bemot),歐拉(Eller)和拉格郎日等。Lagrange發(fā)明了有名的拉格郎日乘子法。柯西(Canchy)首先提出了最速下降法(解決無(wú)約束最小化問(wèn)題)。盡管有這些早期的成果,最優(yōu)化的發(fā)展相當(dāng)緩慢,直到50年代高速計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)。50年代后,最優(yōu)化的發(fā)展進(jìn)入旺盛期,出現(xiàn)了大量的新算法。Dantzig提出了解決線性規(guī)劃問(wèn)題的simplex方法,Bellman提出了動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)化最優(yōu)性原理,使得約束最優(yōu)化成為可能性。Kuhn和Tucher提出的最優(yōu)化規(guī)劃問(wèn)題的充分和必要條件開(kāi)創(chuàng)了非線性規(guī)劃優(yōu)化技術(shù)的基礎(chǔ)。幾何規(guī)劃優(yōu)化由Zountijker和Rosen在60年代提出,Gomory同時(shí)提出了積分規(guī)劃技術(shù)。隨機(jī)(或統(tǒng)計(jì))規(guī)劃技術(shù)最早山Danzig和charnes提出,Cooper發(fā)展了該技術(shù)。2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis10構(gòu)成現(xiàn)代優(yōu)化理論的相關(guān)技術(shù)是模擬退火SA、遺傳算法GA等現(xiàn)代啟發(fā)式最優(yōu)化算法,他們均是從60年代發(fā)展起來(lái)的。SA算法是一種組合優(yōu)化算法,足模擬材半l)Jl日一中的退火處理(Annealing)得名的優(yōu)化算法。退火是材料加工的一種處理方式,即首先將固體加工到融化狀態(tài),再逐漸冷卻,直到材料達(dá)到結(jié)品狀態(tài)。在這個(gè)過(guò)程中,固體內(nèi)的自由能最終被降低到最小狀態(tài)。在實(shí)踐中,冷卻過(guò)程必須非常小心控制,以防止固體結(jié)晶到局部最小能量狀態(tài),即局部最優(yōu)解,從而影響材料的強(qiáng)度等各種性能。模擬退火算法模擬這樣的物理過(guò)程,將組合最小化能量狀態(tài)模擬為最終晶體狀態(tài),并設(shè)計(jì)一個(gè)類似的處理過(guò)程,達(dá)到優(yōu)化的目的。2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis111.2數(shù)學(xué)建摸的基本概念與分類數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模舉例數(shù)學(xué)建模的過(guò)程2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis121.2.1數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型模型是把對(duì)象實(shí)體通過(guò)適當(dāng)?shù)倪^(guò)濾,用適當(dāng)?shù)谋憩F(xiàn)規(guī)則描繪出的簡(jiǎn)潔的模仿品.通過(guò)這個(gè)模仿品,人們可以了解到所研究實(shí)體的本質(zhì),而且在形式上便于人們對(duì)實(shí)體進(jìn)行分析和處理。模型概念
模型是人們十分熟悉的東西,例如:玩具、照片及展覽會(huì)里的電站模型、火箭模型等實(shí)物模型;地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖等經(jīng)過(guò)一定抽象的符號(hào)模型;大型水箱中的艦艇模型、風(fēng)洞中的飛機(jī)模型等物理模型。
2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis13數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象,為了一個(gè)特定目的,根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律,作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程(包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis14數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用
分析與設(shè)計(jì)
預(yù)報(bào)與決策
控制與優(yōu)化
規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis15數(shù)學(xué)模型的分類按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類
生物數(shù)學(xué)模型
醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型地質(zhì)數(shù)學(xué)模型
數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型
數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis16數(shù)學(xué)模型的分類按是否考慮隨機(jī)因素分類 確定性模型隨機(jī)性模型2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis17數(shù)學(xué)模型的分類(續(xù))按是否考慮模型的變化分類
靜態(tài)模型
動(dòng)態(tài)模型按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類
幾何模型
微分方程模型
圖論模型
規(guī)劃論模型
馬氏鏈模型按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法
離散模型
連續(xù)模型2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis18數(shù)學(xué)模型的分類(續(xù))按人們對(duì)事物發(fā)展過(guò)程的了解程度分類
白箱模型:
指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問(wèn)題。
灰箱模型:
指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚,在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問(wèn)題。如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的模型。黑箱模型:
指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等方面的問(wèn)題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜,也可簡(jiǎn)化為灰箱模型來(lái)研究。2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis19數(shù)學(xué)建模示例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地
四條腿一樣長(zhǎng),椅腳與地面點(diǎn)接觸,四腳連線呈正方形;
地面高度連續(xù)變化,可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;
地面相對(duì)平坦,使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis20模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)
椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCOD′C′B′A′用
(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置
四只腳著地距離是
的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(
)B,D兩腳與地面距離之和~g(
)兩個(gè)距離
椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis21用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(
),g(
)是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意
,f(
),g(
)至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知:f(
),g(
)是連續(xù)函數(shù);
對(duì)任意
,f(
)?g(
)=0;
且g(0)=0,f(0)>0.證明:存在
0,使f(
0)=g(
0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面
椅子在任意位置至少三只腳著地2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis22模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900,對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0,f(0)>0,知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(
)=f(
)–g(
),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知
h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在
0,使h(
0)=0,即f(
0)=g(
0).因?yàn)閒(
)?g(
)=0,所以f(
0)=g(
0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子
和f(
),g(
)的確定2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis23商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問(wèn)題(智力游戲)3名商人
3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis24模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;
k=1,2,
sk=(xk
,yk)~過(guò)程的狀態(tài)S={(x
,y)
x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk
,vk)~決策D={(u
,v)
u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,
sk+1=sk
dk
+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk
D(k=1,2,n),使sk
S,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis25模型求解xy3322110
窮舉法~編程上機(jī)
圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,
,d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣d1d11允許狀態(tài)S={(x
,y)
x=0,y=0,1,2,3;
x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis26
數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí),找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法,主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis27
數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)P蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis28模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具
數(shù)學(xué)建模的一般步驟2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis29模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較,檢驗(yàn)?zāi)P偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用
數(shù)學(xué)建模的一般步驟2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis30數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis311.3最優(yōu)化的基本概念與分類最優(yōu)化的基本概念最優(yōu)化技術(shù)分類最優(yōu)化建模與求解示例2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis32
最優(yōu)化的基本概念最優(yōu)化技術(shù)是一門較新的學(xué)科分支。它是在本世紀(jì)五十年代初在電子計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的推動(dòng)下才得到迅速發(fā)展,并成為一門直到目前仍然十分活躍的新興學(xué)科。最優(yōu)化所研究的問(wèn)題是在眾多的可行方案中怎樣選擇最合理的一種以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)。將達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的方案稱為最優(yōu)方案或最優(yōu)決策,搜尋最優(yōu)方案的方法稱為最優(yōu)化方法,關(guān)于最優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)理論稱為最優(yōu)化論。最優(yōu)化問(wèn)題至少有兩要素:一是可能的方案;二是要追求的目標(biāo)。后者是前者的函數(shù)。如果第一要素與時(shí)間無(wú)關(guān)就稱為靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題,否則稱為動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis33最優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用范圍十分廣泛,在我們?nèi)粘I钪校诠まr(nóng)業(yè)生產(chǎn)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、國(guó)防、航空航天工業(yè)中處處可見(jiàn)其用途。比如我們自己所接觸過(guò)的課題有:結(jié)構(gòu)最優(yōu)設(shè)計(jì)、電子器件最優(yōu)設(shè)計(jì)、光學(xué)儀器最優(yōu)設(shè)計(jì)、化工工程最優(yōu)設(shè)計(jì)、標(biāo)腔最優(yōu)配方、運(yùn)輸方案、機(jī)器最優(yōu)配備、油田開(kāi)發(fā)、水庫(kù)調(diào)度、飼料最優(yōu)配方、食品結(jié)構(gòu)優(yōu)化等等。2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis34最優(yōu)化技術(shù)工作被分成兩個(gè)方面,一是由實(shí)際生產(chǎn)或科技問(wèn)題形成最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型,二是對(duì)所形成的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)加工和求解。對(duì)于第二方面的工作,目前已有一些較系統(tǒng)成熟的資料,但對(duì)于第一方面工作即如何由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型,目前很少有系統(tǒng)的資料,而這一工作在應(yīng)用最優(yōu)化技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)是十分關(guān)鍵的基礎(chǔ),沒(méi)有這一工作,最優(yōu)化技術(shù)將成為無(wú)水之源,難以健康發(fā)展。2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis35
最優(yōu)化問(wèn)題舉例最優(yōu)化在物質(zhì)運(yùn)輸、自動(dòng)控制、機(jī)械設(shè)計(jì)、采礦冶金、經(jīng)濟(jì)管理等科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。下面舉幾個(gè)專業(yè)性不強(qiáng)的實(shí)例。例1.把半徑為1的實(shí)心金屬球熔化后,鑄成一個(gè)實(shí)心圓柱體,問(wèn)圓柱體取什么尺寸才能使它的表面積最?。拷猓簺Q定圓柱體表面積大小有兩個(gè)決策變量:圓柱體底面半徑r、高h(yuǎn)。問(wèn)題的約束條件是所鑄圓柱體重量與球重相等。即2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis36即即問(wèn)題追求的目標(biāo)是圓柱體表面積最小。即
min則得原問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型:
s.t.Subjectto.固定.2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis37利用在高等數(shù)學(xué)中所學(xué)的Lagrange乘子法可求解本問(wèn)題
分別對(duì)r.h.λ求偏導(dǎo)數(shù),并令其等于零.有:2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis38例2.多參數(shù)曲線擬合問(wèn)題已知兩個(gè)物理量x和y之間的依賴關(guān)系為:
其中和待定參數(shù),為確定這些參數(shù),對(duì)x.y測(cè)得m個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn):試將確定參數(shù)的問(wèn)題表示成最優(yōu)化問(wèn)題.2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis39解:很顯然對(duì)參數(shù)和任意給定的一組數(shù)值,就由上式確定了y關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,在幾何上它對(duì)應(yīng)一條曲線,這條曲線不一定通過(guò)那m個(gè)測(cè)量點(diǎn),而要產(chǎn)生“偏差”.將測(cè)量點(diǎn)沿垂線方向到曲線的距離的平方和作為這種“偏差”的度量.即顯然偏差S越小,曲線就擬合得越好,說(shuō)明參數(shù)值就選擇得越好,從而我們的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為5維無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。即:2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis40例3:兩桿桁架的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。由兩根空心圓桿組成對(duì)稱的兩桿桁架,其頂點(diǎn)承受負(fù)載為2p,兩支座之間的水平距離為2L,圓桿的壁厚為B,桿的比重為ρ,彈性模量為E,屈吸強(qiáng)度為δ。求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度h及圓桿平均直徑d。
受力分析圖圓桿截面圖桁桿示意圖2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis41解:桁桿的截面積為:桁桿的總重量為:負(fù)載2p在每個(gè)桿上的分力為:于是桿截面的應(yīng)力為:此應(yīng)力要求小于材料的屈吸極限,即
2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis42
圓桿中應(yīng)力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。由材料力學(xué)知:壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力為由此得穩(wěn)定約束:2024/3/1AlgorithmsDesignTechniquesandAnalysis43
另外還要考慮到設(shè)計(jì)變量d和h有界。從而得到兩桿桁架最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型:2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化44最優(yōu)化原理及方法
最優(yōu)化原理建模與數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)直線搜索無(wú)約束條件下多變量函數(shù)的尋優(yōu)方法等式約束條件下多變量函數(shù)的尋優(yōu)問(wèn)題不等式約束條件下多變量函數(shù)的尋優(yōu)方法軋制變形過(guò)程的優(yōu)化設(shè)計(jì)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化451最優(yōu)化原理建模與數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)1.1引言1.2經(jīng)典極值問(wèn)題1.3最優(yōu)化問(wèn)題基本概念1.4二維問(wèn)題的圖解法1.5二次函數(shù)1.6梯度與Hesse矩陣1.7函數(shù)的極值1.8非線性規(guī)劃尋優(yōu)方法概念1.9下降迭代算法及其終止準(zhǔn)則
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化461.1引言最優(yōu)化技術(shù)是一門較新的學(xué)科分支。它是在本世紀(jì)五十年代初在電子計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的推動(dòng)下才得到迅速發(fā)展,并成為一門直到目前仍然十分活躍的新興學(xué)科。最優(yōu)化所研究的問(wèn)題是在眾多的可行方案中怎樣選擇最合理的一種以達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)。將達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的方案稱為最優(yōu)方案或最優(yōu)決策,搜尋最優(yōu)方案的方法稱為最優(yōu)化方法,關(guān)于最優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)理論稱為最優(yōu)化論。最優(yōu)化問(wèn)題至少有兩要素:一是可能的方案;二是要追求的目標(biāo)。后者是前者的函數(shù)。如果第一要素與時(shí)間無(wú)關(guān)就稱為靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題,否則稱為動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。本科程專門講授靜態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化471.1引言
最優(yōu)化技術(shù)工作被分成兩個(gè)方面,一是由實(shí)際生產(chǎn)或科技問(wèn)題形成最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型,二是對(duì)所形成的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)加工和求解。對(duì)于第二方面的工作,目前已有一些較系統(tǒng)成熟的資料,但對(duì)于第一方面工作即如何由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型,目前很少有系統(tǒng)的資料,而這一工作在應(yīng)用最優(yōu)化技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)是十分關(guān)鍵的基礎(chǔ),沒(méi)有這一工作,最優(yōu)化技術(shù)將成為無(wú)水之源,難以健康發(fā)展。
最優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用范圍十分廣泛,在我們?nèi)粘I钪?,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、國(guó)防、航空航天工業(yè)中處處可見(jiàn)其用途。比如我們專業(yè)所接觸過(guò)的有:安排生產(chǎn)計(jì)劃方面,如何在現(xiàn)有人力、物力條件下,合理安排產(chǎn)品生產(chǎn),使總產(chǎn)值為最高:產(chǎn)品設(shè)計(jì)方面,工字鋼(截面抗彎能力,寬高比或面模量)機(jī)械零件工廠布局、物資調(diào)動(dòng)方面;配料方面,如何合理配料,在保證質(zhì)量前提下使成本最低;自動(dòng)控制中參數(shù)的設(shè)定:如軋鋼自動(dòng)控制系統(tǒng)中連軋機(jī)各架軋機(jī)壓下量的設(shè)定;在坯料厚度H和成品限制條件都能滿足的情況下,如何分配各架軋機(jī)的壓下量,使達(dá)到最優(yōu)工作狀態(tài)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化481.1引言
數(shù)學(xué)模型:就是對(duì)現(xiàn)實(shí)事物或問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象或描述。
建立數(shù)學(xué)模型時(shí)要盡可能簡(jiǎn)單,而且要能完整地描述所研究的系統(tǒng),但要注意到過(guò)于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型所得到的結(jié)果可能不符合實(shí)際情況,而過(guò)于詳細(xì)復(fù)雜的模型又給分析計(jì)算帶來(lái)困難。因此,具體建立怎樣的數(shù)學(xué)模型需要豐富的經(jīng)驗(yàn)和熟練的技巧。即使在建立了問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型之后,通常也必須對(duì)模型進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化以便于分析、計(jì)算。一般的模型簡(jiǎn)化工作包括以下幾類:(1)將離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量。(2)將非線性函數(shù)線性化。(3)刪除一些非主要約束條件。
因此,我們?cè)趯W(xué)習(xí)本科程時(shí)要盡可能了解如何由實(shí)際問(wèn)題形成最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。為了便于大家今后在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)建立最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,下面我們先把有關(guān)數(shù)學(xué)模型的一些事項(xiàng)作一些說(shuō)明。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化491.1引言建立最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的三要素:(1)決策變量和參數(shù)
決策變量是由數(shù)學(xué)模型的解確定的未知數(shù)。參數(shù)表示系統(tǒng)的控制變量,有確定性的也有隨機(jī)性的。(2)約束或限制條件
由于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的客觀物質(zhì)條件限制,模型必須包括把決策變量限制在它們可行值之內(nèi)的約束條件,而這通常是用約束的數(shù)學(xué)函數(shù)形式來(lái)表示的。(3)目標(biāo)函數(shù)
這是作為系統(tǒng)決策變量的一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)衡量系統(tǒng)的效率,即系統(tǒng)追求的目標(biāo)。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化501.2經(jīng)典極值問(wèn)題最優(yōu)化在物質(zhì)運(yùn)輸、自動(dòng)控制、機(jī)械設(shè)計(jì)、采礦冶金、經(jīng)濟(jì)管理等科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。下面舉幾個(gè)專業(yè)性不強(qiáng)的實(shí)例。例1:對(duì)邊長(zhǎng)為a的正方形鐵板,在四個(gè)角處剪去相等的正方形以制成方形無(wú)蓋水槽,問(wèn)如何剪法使水槽的容積最大?解:ax由此解得兩個(gè)駐點(diǎn):第一個(gè)駐點(diǎn)不合實(shí)際意義?,F(xiàn)在來(lái)判斷第二個(gè)駐點(diǎn)是否為最大點(diǎn)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化511.2經(jīng)典極值問(wèn)題例2:用長(zhǎng)為L(zhǎng),寬為B的一塊薄板,彎成梯形槽,x和a為多少時(shí),容積最大?
【分析】對(duì)本題:V=F*L,即如何彎時(shí)橫斷面積F最大
是極值點(diǎn),極值為:
Bαx這是一個(gè)具有兩個(gè)變量的無(wú)約束的非線性優(yōu)化問(wèn)題。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化521.2經(jīng)典極值問(wèn)題例3.把半徑為1的實(shí)心金屬球熔化后,鑄成一個(gè)實(shí)心圓柱體,問(wèn)圓柱體取什么尺寸才能使它的表面積最???解:決定圓柱體表面積大小有兩個(gè)決策變量:圓柱體底面半徑r、高h(yuǎn)。所以原問(wèn)題就是在鑄成圓柱體重量與球重相等的前提下,計(jì)算鑄成圓柱體表面積最小。即st.
或這是一個(gè)具有約束條件的二個(gè)變量(r,H)的非線性最優(yōu)化問(wèn)題。該問(wèn)題可用拉格朗日乘子法求解。hr2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化531.2經(jīng)典極值問(wèn)題2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化541.2經(jīng)典極值問(wèn)題例4.多參數(shù)曲線擬合問(wèn)題已知兩個(gè)物理量x和y之間的依賴關(guān)系為:
其中待定參數(shù),為確定這些參數(shù),對(duì)x.y測(cè)得m個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn):試將確定參數(shù)的問(wèn)題表示成最優(yōu)化問(wèn)題
以上都是微積分中典型的求極值問(wèn)題。二次大戰(zhàn)前,人們把優(yōu)化狹隘地理解為,取導(dǎo)數(shù)求極值,但是有些函數(shù)難以求導(dǎo),或根本不可能求導(dǎo),但又明顯地具有極大值或極小值,所以這種古典的極值理論或古典微分法就無(wú)能為力了。二次大戰(zhàn)時(shí),由于軍事業(yè)的需要,產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué),從而產(chǎn)生了解決多變量大型問(wèn)題的新的最優(yōu)化理論和方法,我們把它稱為近代最優(yōu)化理論與方法,與此相對(duì),我們把古典的極值理論或古典微分法就稱為經(jīng)典最優(yōu)化理論與方法。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化551.2經(jīng)典極值問(wèn)題近代最優(yōu)化理論與方法和經(jīng)典最優(yōu)化理論與方法之間的差別在于:函數(shù)是否可微,經(jīng)典最優(yōu)化理論與方法一般研究的目標(biāo)函數(shù)是可微的,而近代最優(yōu)化理論與方法則對(duì)目標(biāo)函數(shù)和可微性沒(méi)有要求;變量個(gè)數(shù)的多少,經(jīng)典帶不帶約束方程,特別是帶不帶不等式約束方程
最優(yōu)化是一門嶄新的學(xué)科,有關(guān)的理論和方法還很不完善,有許多問(wèn)題有待解決,目前正處于迅速發(fā)展之中。
2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化56最1.3最優(yōu)化問(wèn)題基本概念1.3.1最優(yōu)化問(wèn)題的向量表示法2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化57最1.3最優(yōu)化問(wèn)題基本概念1.3.1最優(yōu)化問(wèn)題的向量表示法2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化58最1.3最優(yōu)化問(wèn)題基本概念1.3.2最優(yōu)化問(wèn)題的一般形式式中f(X)稱為目標(biāo)函數(shù)(或求它的極小,或求它的極大)。優(yōu)化過(guò)程就是優(yōu)選X,使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值:f(X)->Optimizationsi(X)稱為不等式約束,它的向量表示法可以寫成:s(X)=[s1(X),s2(X),…,sm(X)]Thj(X)稱為等式約束X∈Ω,稱為集約束,在我們的問(wèn)題中集約束是無(wú)關(guān)重要的,這是因?yàn)橛袝r(shí)Ω≡Rn,不然的話,Ω也可以用不等式約束表達(dá)出來(lái)
每個(gè)容許點(diǎn)都是一種可能的方案(可計(jì)算出一個(gè)目標(biāo)函數(shù)),所謂優(yōu)化就是要在容許集中找一點(diǎn)
,使得2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化59最1.3最優(yōu)化問(wèn)題基本概念1.3.2最優(yōu)化問(wèn)題的一般形式容許解或容許點(diǎn)滿足所有約束的向量區(qū)稱為容許解或容許點(diǎn)。容許點(diǎn)的集合稱為容許集。
一般式(1-3)中是取極小,如果遇到取極大值的問(wèn)題,只須把目標(biāo)函數(shù)反號(hào)就可以轉(zhuǎn)化為求極小的問(wèn)題
與具有相同的最優(yōu)點(diǎn)
以后為了簡(jiǎn)便,只研究求極小的問(wèn)題
如果約束中含有“小于等于”的,兩邊同乘以負(fù)號(hào),就變成“大于等于”。注意:不等式約束都要寫成這種形式最優(yōu)化問(wèn)題模型統(tǒng)一化:f(X)-f(X)min{-f(X)}=1max{f(X)}=-12024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化60最1.3最優(yōu)化問(wèn)題基本概念1.3.3分類
其中求解一維無(wú)約束問(wèn)題的方法稱為一維搜索或直線搜索,這在最優(yōu)化方法中起十分重要的作用。
動(dòng)態(tài)問(wèn)題,也稱動(dòng)態(tài)規(guī)劃。人們?cè)谏a(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中,往往要按照預(yù)定的任務(wù)實(shí)現(xiàn)某種受控過(guò)程,以期最好地完成預(yù)定任務(wù),這叫做過(guò)程最優(yōu)化。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本概念和原理是和過(guò)程最優(yōu)化緊密地聯(lián)系在一起的。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化61最1.3最優(yōu)化問(wèn)題基本概念1.3.3最優(yōu)化問(wèn)題的分類
動(dòng)態(tài)規(guī)劃舉例
如有一可逆式鋼坯軋機(jī),坯料厚度為H,成品原為h,道次數(shù)為N,要求確定各道次的壓下量(或厚度),條件是:既能滿足電機(jī)設(shè)備等限制條件,而又使總的軋制能耗最小?
如圖,設(shè)為5道次,每道次都有滿足設(shè)備、電機(jī)等限制條件的多種方案(厚度),現(xiàn)在要求找出一條方案,使總的能耗最?。恳环N方案都可算出一個(gè)能耗值),其特點(diǎn):這是一個(gè)多階段的過(guò)程最優(yōu)化問(wèn)題。hH
又如最短路問(wèn)題:如有右圖所示,希望找到一條從A點(diǎn)到E點(diǎn)的最短路線,由A經(jīng)過(guò)B、C、D到E的可能路線如圖中所示,相應(yīng)兩點(diǎn)連線上的數(shù)字表示此兩點(diǎn)間的距離,問(wèn)如何走法路程最短?4B2C2D2B1C1D1EA434615623542024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化62最1.4二維問(wèn)題圖解法
目標(biāo)函數(shù)的等值線
在某一條曲線上任何一點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值都等于同一常數(shù)時(shí),該曲線稱為目標(biāo)函數(shù)的等值線等值線就相當(dāng)于地圖上的等高線
求極小問(wèn)題,在幾何上無(wú)非是在容許集上找一點(diǎn),使得這點(diǎn)所在的等值線具有最小值,由上述目標(biāo)函數(shù)的等值線圖可以看出,目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)處函數(shù)值為0,即2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化63最1.4二維問(wèn)題圖解法
圖解法舉例例:用圖解法求解: [解]:先畫出目標(biāo)函數(shù)的等值線,再畫出約束曲線(實(shí)際上這是一條直線,這條直線就是容許集)。因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)是容許集上使得等值線具有最小值的點(diǎn),由圖可以看出,約束直線與等直線的切點(diǎn)正是最優(yōu)點(diǎn)。f=9f=4f=2f=112ox1x2利用解析幾何的有關(guān)方法可求得:最優(yōu)點(diǎn)(切點(diǎn))是最優(yōu)值是2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化64最1.4二維問(wèn)題圖解法
圖解法舉例例:用圖解法求解: [解]:先畫出目標(biāo)函數(shù)的等值線,再畫出約束曲線(實(shí)際上這是一條直線,這條直線就是容許集)。因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)是容許集上使得等值線具有最小值的點(diǎn),由圖可以看出,約束直線與等直線的切點(diǎn)正是最優(yōu)點(diǎn)。f=9f=4f=2f=112ox1x2利用解析幾何的有關(guān)方法可求得:最優(yōu)點(diǎn)(切點(diǎn))是最優(yōu)值是
由上例可以看出,對(duì)于二維最優(yōu)問(wèn)題,可以利用圖解法求解。但是,三維問(wèn)題和多維問(wèn)題,已不便在平面上畫圖,此法失效。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化65最1.4二維問(wèn)題圖解法
圖解法舉例例:用圖解法求解:可得:最優(yōu)點(diǎn)是最優(yōu)值是
由上例可以看出,對(duì)于二維最優(yōu)問(wèn)題,可以利用圖解法求解。但是,三維問(wèn)題和多維問(wèn)題,已不便在平面上畫圖,此法失效。利用解析幾何聯(lián)立求解:2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化66最1.4二維問(wèn)題圖解法
目標(biāo)函數(shù)的等值面
在三維和多維空間中,使目標(biāo)函數(shù)取常數(shù)值的點(diǎn)集:目標(biāo)函數(shù)的等值面(線)的性質(zhì)不同值的等值面(線)之間不相交,這是因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是單值函數(shù)的緣故;除了極值點(diǎn)所在的等值面(線)以外,不會(huì)在區(qū)域的內(nèi)部中斷,這是因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的緣故;等值面(線)稠密的地方,目標(biāo)函數(shù)值變化得比較快,稀疏的地方變化的比較慢;一般地,在極值點(diǎn)附近,等值面(線)近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族(橢球族)。
通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的等值面(線)圖可以較清楚地理解求目標(biāo)函數(shù)的意義,但對(duì)于非線性程度較嚴(yán)重的函數(shù)來(lái)說(shuō),其等值線的形狀也就更為復(fù)雜,且可能豐在多個(gè)相對(duì)極小點(diǎn),這樣會(huì)給優(yōu)化帶來(lái)麻煩,由于此時(shí)找到的極值只是其中一個(gè),可能只是局部最優(yōu),并非全局最優(yōu)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化67最1.4二維問(wèn)題圖解法
不同值的等值面之間不相交,這是因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是單值函數(shù)的緣故;除了極值點(diǎn)所在的等值面以外,不會(huì)在區(qū)域的內(nèi)部中斷,這是因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的緣故。等值面稠密的地方,目標(biāo)函數(shù)值變化得比較快,稀疏的地方變化的比較慢。一般地,在極值點(diǎn)附近,等值面(線)近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族(橢球族)。等值線性質(zhì)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化68最1.5二次函數(shù)
在n元目標(biāo)函數(shù)中,除了線性函數(shù),最簡(jiǎn)單也最重要的一類可以說(shuō)就是二次函數(shù)。二次函數(shù)的一般形式是:式中:矩陣形式是:式中:Q是對(duì)稱矩陣二次型我們最關(guān)心的是矩陣Q是正定的二次函數(shù)。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化69最1.5二次函數(shù)
霍爾維茨(sylvester)定理
一個(gè)n*n階對(duì)稱矩陣Q是正定矩陣的充要條件是:矩陣Q的各階主子式都是正的。
意義:如果矩陣Q是正定的,則(1-5)式或(1-6)式的等值面是同心橢球面族,而且它的中心是2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化70最1.6梯度與Hesse矩陣
1.6.1梯度及其性質(zhì)1)梯度2)性質(zhì)梯度方向是目標(biāo)函數(shù)的最速上升方向,負(fù)梯度方向是函數(shù)的最速下降方向。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化71最1.6梯度與Hesse矩陣
1.6.1梯度及其性質(zhì)第一條性質(zhì)說(shuō)明圖第二條性質(zhì)說(shuō)明圖方向?qū)?shù)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化72最1.6梯度與Hesse矩陣
1.6.1梯度及其性質(zhì)結(jié)論:梯度方向是目標(biāo)函數(shù)的最速上升方向,函數(shù)的負(fù)梯度方向是目標(biāo)函數(shù)的最速下降方向。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化73最1.6梯度與Hesse矩陣
1.6.2Hesse矩陣微積分中證明,若f(x)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則:此時(shí)Hesse矩陣為對(duì)稱矩陣2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化74最1.7函數(shù)的極值
1.7.1極值與極值點(diǎn)
現(xiàn)以一元函數(shù)說(shuō)明之。在圖所示為定義在區(qū)間[a,b]上的一元函數(shù)f(x),圖上有兩個(gè)特殊的點(diǎn)x1和x3。在x1附近函數(shù)f(x)的值以f(x1)最大,在x3附近函數(shù)f(x)的值以f(x3)為最小。因此,x1和x3為函數(shù)的極大、極小點(diǎn),統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。f(x1)和f(x3)相應(yīng)地為函數(shù)的極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值??梢?jiàn),極值是相對(duì)于一點(diǎn)附近而言的,僅有局部的性質(zhì)。而函數(shù)的最大值和最小值是指整個(gè)區(qū)域而言的。一般來(lái)說(shuō),函數(shù)的極值不一定是最優(yōu)值。最優(yōu)值是否為極值?2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化75最1.7函數(shù)的極值
1.7.2極值存在的條件2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化76最1.7函數(shù)的極值
1.7.2極值存在的條件2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化77最1.7函數(shù)的極值
1.7.2極值存在的條件2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化78最1.8非線性規(guī)劃尋優(yōu)方法概述
1.8.1間接尋優(yōu)方法(也稱解析法)
非線性規(guī)劃尋優(yōu)方法大致可以歸納為兩大類:間接尋優(yōu)法(也稱解析法)和直接尋優(yōu)法(也稱搜索法)。
這類方法要求把一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題用數(shù)學(xué)方程式描述出來(lái),然后按照函數(shù)極值的必要條件用數(shù)學(xué)分析的方法,求出其解析解,再按照極值存在的充分條件或者問(wèn)題的實(shí)際物理意義間接地確定最優(yōu)解,因此稱為間接法。
利用求導(dǎo)數(shù)尋求函數(shù)極值的方法,即古典的微分法就屬于這一類
這類間接尋優(yōu)方法,適用于求解目標(biāo)函數(shù)具有簡(jiǎn)單而明確的數(shù)學(xué)形式的非線性規(guī)劃問(wèn)題。而對(duì)于目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜,或甚至無(wú)明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式的情況,難以解析處理時(shí),間接法就無(wú)能為力了。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化79最1.8非線性規(guī)劃尋優(yōu)方法概述
1.8.2直接尋優(yōu)方法(也稱搜索法)
這是一種數(shù)值方法。利用函數(shù)在某一區(qū)域的性質(zhì)或一些已知點(diǎn)的數(shù)值,來(lái)確定下一步計(jì)算的點(diǎn),這樣一步步搜索逼近,最后達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。直接尋優(yōu)法又分為兩大類:消去法和爬山法。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化80最1.8非線性規(guī)劃尋優(yōu)方法概述
非線性規(guī)劃的尋優(yōu)方法是非常多的,但似乎沒(méi)有一種計(jì)算方法對(duì)非線性規(guī)劃問(wèn)題是普通有效的,而是不同的方法適用于不同的情況,且各有優(yōu)缺點(diǎn)。
幾乎所有的非線性規(guī)劃的尋優(yōu)方法求解的結(jié)果往往都是局部最優(yōu)解。但若非線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)都是凸函數(shù),則局部最優(yōu)解決是全局最優(yōu)解。
在實(shí)際工作中,當(dāng)我們處理一個(gè)具體的非線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí),目標(biāo)函數(shù)是否為凸函數(shù)的問(wèn)題,有時(shí)可以驗(yàn)證,有時(shí)驗(yàn)證也不那么容易。而一般我們求出的極小值往往是局部最小解,這種情況下,對(duì)于許多具有迭代特性的方法為了求出全局最極小值時(shí),可以從多個(gè)初始點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行迭代,求出多個(gè)局部極小值解,然后再進(jìn)行比較,其中最小者即為全局最小解。凸集:在這個(gè)集合中任取兩點(diǎn),所聯(lián)成線段上的所有點(diǎn)仍在這個(gè)集合內(nèi)。凸函數(shù):2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化811.9下降迭代算法及其終止準(zhǔn)則
下降迭代算法2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化821.9下降迭代算法及其終止準(zhǔn)則
2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化831.9下降迭代算法及其終止準(zhǔn)則
計(jì)算終止準(zhǔn)則圖(a)圖(b)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化841.9下降迭代算法及其終止準(zhǔn)則
計(jì)算終止準(zhǔn)則2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化852直線搜索2.1一維搜索常用到的方法2.2消去法的基本原理2.3搜索區(qū)間確定2.4平分法2.5黃金分割法2.6牛頓法
2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化862.1一維搜索常用方法
高等數(shù)學(xué)即求df(x)/dx=0消去法逐步縮小搜索區(qū)間來(lái)尋優(yōu):平分法,黃金分割法等函數(shù)逼近法利用目標(biāo)函數(shù)的某些信息,構(gòu)造新的簡(jiǎn)單函數(shù),從而以簡(jiǎn)單曲線近似代替原來(lái)曲線,用簡(jiǎn)單曲線的極小點(diǎn)來(lái)估計(jì)原曲線的極小點(diǎn):牛頓法等設(shè)函數(shù)f(x)是一個(gè)單峰函數(shù),其初始區(qū)間為[a0,b0],在此區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn)x1與x2,且x1<x2,計(jì)算函數(shù)值f(x1)與f(x2),并比較,則處于以下三種情況f(x1)<f(x2),構(gòu)成新區(qū)間[a0,x2]f(x1)>f(x2),構(gòu)成新區(qū)間[x1,b0]f(x1)=f(x2),構(gòu)成新區(qū)間[a0,x2]或[x1,b0]因此,只需在搜索區(qū)間內(nèi)取兩點(diǎn),計(jì)算它們的函數(shù)值并加以比較后,總可以將搜索區(qū)間縮小,這就是消去法的原理存在問(wèn)題:2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化882.2消去法的基本原理
如何確定初始區(qū)間?如何確定插入的兩點(diǎn)x1與x2?(由于這個(gè)過(guò)程是一個(gè)迭代計(jì)算過(guò)程)不同的確定插入兩點(diǎn)x1與x2
的方法構(gòu)成了不同的直線搜索法逐步縮小搜索區(qū)間,直至最小點(diǎn)所在范圍達(dá)到允許的誤差范圍為止?;驹?圖)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化892.3搜索區(qū)間確定確定搜索區(qū)間思路步驟2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化902.3搜索區(qū)間確定2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化912.3搜索區(qū)間確定2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化922.3搜索區(qū)間確定上述過(guò)程開(kāi)始時(shí),必須選定步長(zhǎng)h。若選得過(guò)小,需迭代許多次才能找到一個(gè)搜索區(qū)間;如果選得太大,雖一步就可能將極小點(diǎn)包括進(jìn)來(lái),但給下一步搜索極小點(diǎn)的過(guò)程增加了負(fù)擔(dān)。改進(jìn)算法2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化932.3搜索區(qū)間確定確定搜索區(qū)間(方法二)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化942.4平分法2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化952.4平分法迭代步驟2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化962.4平分法2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化972.5黃金分割法2.5.1適用范圍與基本思想1)適用范圍2)基本思想2.5.2基本原理如何插入新點(diǎn)才是科學(xué)合理的?插入新點(diǎn)原則所插入兩點(diǎn)在搜索區(qū)間內(nèi)應(yīng)處于對(duì)稱位置所選內(nèi)點(diǎn)應(yīng)使區(qū)間縮短率恒定2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化982.5黃金分割法【小結(jié)】只要第一個(gè)點(diǎn)取在原始區(qū)間的0.618處,第二個(gè)點(diǎn)在它的對(duì)稱位置,這就保證無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次舍去,保留的點(diǎn)始終在新區(qū)間的0.168處。要進(jìn)一步縮短區(qū)間,在其保留點(diǎn)的對(duì)稱位置再作一次計(jì)算就可以了。而且每次消去時(shí),區(qū)間的縮短率不變。2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化992.5黃金分割法2.5.3具體計(jì)算方法及步驟2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化1002.5黃金分割法2.5.3具體計(jì)算方法及步驟算法框圖2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化1012.6牛頓法(函數(shù)逼近法)基本思想牛頓法(又稱為切線法)是一種函數(shù)逼近法(還有拋物線法等)在迭代點(diǎn)附近用二階泰勒展式近似目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而求出極值點(diǎn)的估計(jì)值基本原理利用牛頓迭代公式計(jì)算目標(biāo)函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的駐點(diǎn)牛頓迭代法解方程2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化1022.6牛頓法(函數(shù)逼近法)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化1032.6牛頓法(函數(shù)逼近法)牛頓法尋優(yōu)就是利用牛頓迭代解方程方法求解目標(biāo)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零的解,即駐點(diǎn),此時(shí)將目標(biāo)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)方程看成一個(gè)一般方程,即可利用上述迭代法求解牛頓法迭代方程步驟簡(jiǎn)單,收斂快需計(jì)算一、二階導(dǎo)數(shù),計(jì)算量大初始點(diǎn)選擇不合適可能導(dǎo)致發(fā)散優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)函數(shù)本身比較復(fù)雜(導(dǎo)數(shù)有彎曲)曲線上凹選a作為初始點(diǎn)失效曲線下凹選b作為初始點(diǎn)失效2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化1043無(wú)約束條件下多變量尋優(yōu)3.1最速下降法(間接法)3.2牛頓法(間接法) 共軛梯度法、變尺度法(DFP法,最為有效方法)3.3變量輪換法(直接法)3.4單純形替換法(直接法)2024/3/1西安建筑科技大學(xué)
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壓力加工數(shù)模與優(yōu)化1053.1最速下降法下降迭
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