2022年中學生標準學術(shù)能力高考數(shù)學診斷性試卷（文科）（3月份）（學生版+解析版）

2022年中學生標準學術(shù)能力高考數(shù)學診斷性試卷（文科）（3月

份）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）已知A={-1,0,1,3,5},B={x|x（x-4）<0},則4nB=（）

A.{0,1}B.{-1,I,3}C.{0,1,3}D.{1,3}

2.（5分）命題“VxeR,的否定是（）

A.VxeR,7<0B.VxGR,fWO

C.3xo6R,xo2<OD.3xoGR,xo2^O

3.（5分）函數(shù)/（x）=sin2x+Wcos2r的最小正周期和最大值分別為（）

A.ir和2B.TT和1+火C.2TT和2D.如和1+8

x+y<3

4.（5分）若實數(shù)x,y滿足約束條件y-xN1,則z=2x+）'的最大值為（）

,%>0

A.1B.3C.4D.6

X，

5.（5分）已知小尸2為橢圓「：工+）2=1的左、右焦點，M為「上的點，則博下憶

面積的最大值為（）

A.V3B.2C.2V3D.4

6.（5分）科學家以里氏震級來度量地震的強度，設(shè)/為地震時所釋放出的能量，則里氏震

級r可定義為=加+3.2.若/=1.2X1（）4,則相應(yīng)的震級為（）（己知：k2=0.3010,

3=0.4771）

A.5.8B.5.9C.6.0D.6.1

7.（5分）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）

A.20TCB.247rC.28nD.32TT

——ABADAC—

8.（5分）已知4B=DC=（1,V3）,且-+t=,則14cl=（）

\AB\\AD\\AC\

A.2B.2V2C.2V3D.4

9.（5分）在復(fù)平面X。），內(nèi)，復(fù)數(shù)zi,Z2所對應(yīng)的點分別為Zi,Z2,給出下列四個式子：

①Z12=|zi『；

②|Z1?Z2|=|Z1|?|Z2|；

③OZJ=|OZ」|；

④應(yīng)1?應(yīng)2|=應(yīng)11?應(yīng)J

其中恒成立的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

10.（5分）若無窮等差數(shù)列｛“”｝的首項mVO,公差d>0,｛“”｝的前〃項和為S”則以下結(jié)

論中一定正確的是（）

A.S單調(diào)遞增B.S單調(diào)遞減C.S”有最小值D.S”有最大值

11.（5分）已知直線“、b、/和平面a、p,aua,ftcp,aAp=/,且a_L0.對于以下命題，

下列判斷正確的是（）

①若a、。異面，則。、匕至少有一個與/相交；

②若“、6垂直，則“、6至少有一個與/垂直.

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①是假命題，②是假命題D.①是真命題，②是真命題

12.（5分）已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）和奇函數(shù)g（x）滿足：/（x）+g（x）=2，.若

存在實數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式3礦（x）-a）（g（x）-a）WO在區(qū)間［1,2］上恒成

立，則正整數(shù)n的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知一組數(shù)據(jù)a,1,3,7的中位數(shù)為4,則該組數(shù)據(jù)的方差為.

14.（5分）學號分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九位同學參加甲、乙兩項公益活動，

其中甲組四人，乙組五人，則1號同學和9號同學恰好分在同一組的概率為.

15.（5分）已知拋物線「：”2px（p>0）的焦點為凡斜率為1的直線/與拋物線「相

交于A、B兩點，若|A儀=3,\BF]=5,則|AB|=.

16.(5分)已知函數(shù)+\x+a\+b.若函數(shù)/(x)在(-8,o)上存在兩個不相等

的零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步臻.

17.(12分)已知數(shù)列｛板｝的前"項和為S”。2=4,且對任意"6N*,都有S”+1-2S”=2.

(1)求數(shù)列｛曲｝的通項公式;

(2)設(shè)歷尸言，求數(shù)列｛為｝的前”項和乙.

18.(12分)“雙減”實施后學生自主學習的時間增加了，某校調(diào)查了某年級200名學生每

周的自主學習時間(單位：小時)，并制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其時間的范圍

是[7,12],樣本數(shù)據(jù)分組為[7,8),[8,9),[9,10),[10.11),[11,12].根據(jù)直方圖，

計算下列問題.

(1)求。的值及自主學習時間在[9,10)內(nèi)的學生人數(shù)；

(2)從這200名學生中隨機抽取1人，記所抽取學生自主學習時間在[8,11)內(nèi)為事件

A,所抽取學生自主學習時間在[10,12]內(nèi)為事件8,判斷事件4和8是否互相獨立，并

說明理由.

19.（12分）在三棱錐O-ABC中，AD1CD,ADVBC,ACA.BC,AD=CD,AC=BC=2.

(1)求三棱錐￡>-A8C的體積；

(2)求異面直線AC與8。所成角的大小.

D

……k__._XC

B

x2y2

20.(12分)已知雙曲線r：-7-77=1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為4(7,0)、

a2b2

A2(L0),離心率為2,過點尸(2,0)斜率不為0的直線/與「交于P、Q兩點.

(1)求雙曲線「的漸近線方程；

k

(2)記直線AiP、A2Q的斜率分別為％,幻，求證：U為定值.

左2

21.(12分)已知函數(shù)/(x)—lnx+a.

(1)若曲線)，=/(x)在(1,/(D)處的切線經(jīng)過點(0,1),求實數(shù)a的值；

(2)若對任意(0,+8),都有"一?？?》)(e為自然對數(shù)的底)，求證：aWl.

22.(10分)已知函數(shù)/(X)=|2x-4|+|/+a|(xGR).

(1)若a=l,求證：f(x)24；

(2)若對于任意尤41,2],都有/(x)W4,求實數(shù)”的取值范圍.

2022年中學生標準學術(shù)能力高考數(shù)學診斷性試卷（文科）（3月

份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.(5分)已知A={-1,0,1,3,5},B=[x\x(x-4)<0},則AGB=()

A.{0,1}B.{-1,1,3}C.{0,1,3}D.{1,3}

【解答】解：???A={-1,0,1,3,5),

B={x\x(x-4)<0}={x|0<x<4},

???AG8={1,3}.

故選：D.

2.(5分)命題uVxGR,x22?！钡姆穸ㄊ?)

A.V.rER,/〈OB.VAGR,

C.3xoGR,XO2<OD.R,x()22。

【解答】解:根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題可知：命題，成R,/20”的否定是FXOWR,

xo2<O"，

故選：C.

3.（5分）函數(shù)/G）=sin2x+gcos2無的最小正周期和最大值分別為（）

A.IT和2B.it和1+國C.2n和2D.2n和1+百

【解答】解：f（x）=sin2x+V3cos2x=2sin⑵+5）的最小正周期T=ii,最大值為2.

故選：A.

%+y<3

4.（5分）若實數(shù)x,y滿足約束條件y—1,則z=2x+y的最大值為（）

%>0

A.1B.3C.4D.6

【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=2x+y得y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z,由圖象知當直線y=-2x+z,經(jīng)過點A時，直線y=-2x+z的截距

最大，此時z最大,

<?：：得仁3即AO,

此時z=2x+y=2+2=4,

即z的最大值為4,

故選：C.

5.（5分）已知尸1、尸2為橢圓「：一+）2=1的左、右焦點，M為「上的點，則尸2

4

面積的最大值為（）

A.V3B.2C.2V3D.4

%2

【解答】解:橢圓「:—+y2=l,

可得a=2,b=l,c=V3,

-1-1

可得△F1MF2的面積的最大值為S=X2V3X1=V3,

故選：A.

6.（5分）科學家以里氏震級來度量地震的強度，設(shè)/為地震時所釋放出的能量，則里氏震

級r可定義為片當g/+3.2.若/=1.2X104,則相應(yīng)的震級為（）（已知：/g2=0.3010,

/g3=0.477D

A.5.8B.5.9C.6.0D.6.1

【解答】解:當/=1.2X1（）4時，

廠=|/g/+3.2=|/g（1.2X104）+3.2

=^lg（12X103）+3.2

2

1(2/g2+/g3+3)+3.2

2

(0.6020+0.4771+3)+3.2

=2.6694+3.2心5.9；

故選：B.

7.(5分)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

B.24nC.28TTD.32Tt

【解答】解：由三視圖知，空間幾何體是一個組合體，

上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4,圓錐的高是2百，

...在軸截面中圓錐的母線長是“I不彳=4,

...圓錐的側(cè)面積是irX2X4=8n,

下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4,圓柱的高是4,

二圓柱表現(xiàn)出來的表面積是nX22+2nX2X4=2(hr

...空間組合體的表面積是28TT,

故選：C.

TTT

——ABADAC—

8.(5分)己知4B=DC=(1,V3),且一'h+->=rr-,則|AC|=()

\AB\\AD\\AC\

A.2B.2V2C.2V3D.4

【解答】解：如圖示：

"：AB=辰=(1,V3),

四邊形A8C。是平行四邊形,

ABADAC

又r-+r-=

\AB\\AD\\AC\

：.ZDAB=\20°,且四邊形ABC。是菱形,

...△A8C是等邊三角形，

：.\AC\^\AB\=y/T+3=2,

9.(5分)在復(fù)平面xOy內(nèi)，復(fù)數(shù)zi,Z2所對應(yīng)的點分別為Zi,Z2,給出下列四個式子：

①Z12=|zi『；

②|ZI?Z2|=|ZI|TZ2|；

TT

③ozJ=iozJi；

④|?？?。521=1。?1|?|。/1?

其中恒成立的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di,(a,b,c,d￡R),

則Zi=(a,b),Z2(c,d),OZ】=(a,b),0Z2=(c,d),

對于①z/=〃2-g-labi,|zi|2：=tz2+/72,故①不正確；

對于②zi?z2=(ac-bd)+(bc+ad)i,則|zi?z2『=(ac-)2+(bc+ad)2=t/2c2+tz26f2+/?2c2+/?2J2,

|z2|2=c2+t/2,則|ZI|2?|Z2『=Ca2+h2)(J+/)=?2c2+d!2J2+Z?2c2+/?2t/2,則|zi?z2|=|zi|,|z2|,

故②正確；

22

對于③OZ/=|OZ1|=a+/?=|。2|2,故③正確；

22222

對于④0/。》2=ac+bd,^]\OZ^OZ2\=y/^ac+bd),\OZ^\OZy\=Va+6?Vc+d豐

Q(ac+bd)2,故④錯誤.

故選：B.

10.(5分)若無窮等差數(shù)列｛的｝的首項ai<0,公差d>0,｛“”｝的前”項和為S”則以下結(jié)

論中一定正確的是()

A.S”單調(diào)遞增B.S,單調(diào)遞減C.S有最小值D.%有最大值

【解答】解：S"=〃m+M：2/=號〃2+@—務(wù)”,

>0,;.s”有最小值.

故選：c.

11.(5分)已知直線a、b、/和平面a、0,aua,bu0,aC0=/,且&_1_d對于以下命題，

下列判斷正確的是()

①若4、。異面，則4、8至少有一個與/相交；

②若4、b垂直，則4、人至少有一個與/垂直.

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①是假命題，②是假命題D.①是真命題，②是真命題

【解答】解：對于①，若a,b都不與交線相交，

則只有一種可能，即“，人均平行于交線，

.,.若a、b異面,則a、6至少有一個與/相交，故①正確；

對于②，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得：

若“，b垂直，則aJ_0,或6_1_0(,故a、6至少有一個與/垂直，

???若。、b垂直，則人人至少有一個與/垂直，故②正確.

故選：D.

12.(5分)己知定義域為R的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足：/(x)+g(x)=2七若

存在實數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式(W(x)-a)(g(x)-a)W0在區(qū)間[1,2]上恒成

立，則正整數(shù)”的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由題設(shè)，/(-x)+g(-x)—f(x)-g(x)—2'x,又/(x)+g(x)=

2X,

聯(lián)立可得/(x)=2廠】+2一=1,g(x)=2廠1-2一廠1,

又f(x)2*1=1,當且僅當x=0時等號成立，

即/(x)在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增，

517

所以，在[1,2]±/(%)e[-,—],

315

而g(x)=2廠1-2*1在[1,2]上遞增，故g(x)&[-,—],

48

若則”三公弟且〃為正整數(shù)，只需“22即可.

lg(x)<a84

若則=且N為正整數(shù)，不成立；

lg(x)>a84

綜上，正整數(shù)〃的最小值為2.

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知一組數(shù)據(jù)a,1,3,7的中位數(shù)為4,則該組數(shù)據(jù)的方差為5.

【解答】解：由數(shù)據(jù)小1,3,7的中位數(shù)為4,則a>3,

3+7

若a》7,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5,不符合題意，

所以3<a<7,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為等=4,解得〃=5,

1+3+5+7

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為---------=4,

4

故這組數(shù)據(jù)的方差為s2=iX[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.

故答案為：5.

14.(5分)學號分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九位同學參加甲、乙兩項公益活動，

4

其中甲組四人，乙組五人，則1號同學和9號同學恰好分在同一組的概率為一

【解答】解：1號同學和9號同學恰好分在同一組的選法為：C打仔+C弘的=56,

甲組四人，乙組五人的分法共有以=126種，

則1號同學和9號同學恰好分在同一組的概率=黑=不

4

故答案為：--

15.(5分)已知拋物線「：/=2px(p>0)的焦點為凡斜率為1的直線/與拋物線「相

交于A、B兩點，若|AM=3,\BF]^5,則依8|=」夜_.

【解答】解：作A4',89分別垂直于準線與B'煎,由拋物線的性質(zhì)可得14rl=3用,

過A作于D點，則|3￡>|=由砌-|AA|=5-3=2,直線AB的斜率為1,則|AB|=

近\BD\=2近,,

故答案為：2位.

16.(5分)已知函數(shù)F(x)=1+\x+a\+h.若函數(shù)/(x)在(-8,0)上存在兩個不相等

的零點，則實數(shù)〃的取值范圍是(1,+8).

【解答】解：若/(x)=[+\x+a\+b在(-8,0)上有兩個不同的零點，

即以+3=-1一〃在(-8,0)上存在2個不同的交點，

(1)當。<0時，如圖1,|x+a|=一匕僅有1個交點，不滿足題意；

(2)當“>0且-a在點尸左側(cè)時，如圖2,僅有1個交點，不滿足題意；

(3)當“>0且一9一〃在x=-a處的切線斜左》1時，如圖3,僅有一個交點，

令g(x)=—g'(x)=+，所以當x=-1時，g'(-1)=1,即-心-1,

求得aWl,不滿足題意；

(4)當“>0且一：一6在x=-a處的切線斜率上<1時，如圖4,方程即可能存在2個

交點，滿足題意，且由(3)知g'(-1)=1,此時-a<-1,BPa>\；

綜上可得a的取值范圍為(1,+8).

(1)(2)

故答案為：（1,+8）.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步臻.

17.（12分）已知數(shù)列｛祈｝的前〃項和為S,42=4,且對任意"6N*,都有S"+i-2Sa=2.

（1）求數(shù)列｛反｝的通項公式；

（2）設(shè)力尸會求數(shù)列出"｝的前〃項和刀八

【解答】解：（1）因為52-251=2,所以“2-m=2,

因為。2=4,所以41=2,

當"22時，S〃-2S〃-1=2,S〃+i-2S〃=2,

兩式相減得，?！?1=2劭，

因為ai=2a\,

所以對任意都有的+i=2a〃，

即數(shù)列｛板｝為等比數(shù)列，首項為2,公比為2,

所以Qn=2，?2€N*）.

（2）由題可得由=去，

??/九=芯+京+…7p

zz乙

2〃=1+2+7+…+券

兩式相減得,Tn=1+^+-^2+■?■一云,

1」

所以一關(guān)=2—筍，（n€N*）.

18.（12分）“雙減”實施后學生自主學習的時間增加了，某校調(diào)查了某年級200名學生每

周的自主學習時間（單位：小時），并制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其時間的范圍

是［7,12］,樣本數(shù)據(jù)分組為［7,8),［8,9),［9,10),fl0.ll),［11,12］.根據(jù)直方圖，

計算下列問題.

(1)求a的值及自主學習時間在［9,10)內(nèi)的學生人數(shù)；

(2)從這200名學生中隨機抽取1人，記所抽取學生自主學習時間在［8,11)內(nèi)為事件

A,所抽取學生自主學習時間在［10,12］內(nèi)為事件B,判斷事件4和8是否互相獨立，并

【解答】解：⑴因為組距為1,所以0.4+a+0.15+0.1+0.1=l,得。=0.25,

在［9,10)的頻率為0.25,所以在［9,10)內(nèi)的人數(shù)為0.25X200=50人；

(2)在區(qū)間［8,11)內(nèi)的頻率為0.15+0.25+0.4=0.8,所以P(A)=0.8,

在區(qū)間［10,12)內(nèi)的頻率為04+0.1=0.5,所以尸(8)=0.5,

在區(qū)間［10,11)內(nèi)的頻率為0.4,所以P(A8)=0.4,

因為P(A)P(B)=P(AB),所以事件A與B互相獨立.

19.(12分)在三棱錐￡>-ABC中，AD1CD,ADA.BC,AC±BC,AD=CD,AC=BC=2.

(1)求三棱錐。-4BC的體積；

(2)求異面直線AC與8。所成角的大小.

【解答】解：(1)因為AC_LBC,AD±BC,ADC\AC=A,ADcffiADC,ACc?ADC.

所以8C_L面AOC.

所以三棱錐D-ABC的體積U=|x5CxS“ACD-

因為AQ_LC￡),AD=CD,AC=2,所以4。=CD=0

得V巖XBCX3X4OXCO=/X2X3X&X&=|.

即三棱錐D-ABC的體積為|.

(2)取AC中點H,因為AQ=CZ),所以O(shè)H_LAC,由(1)知，BC1DH.

因為8CC4C=C,BCcffiABC,ACc?ABC.

所以力H_L底面ABC,

如圖，作BE平行且等于AC,

所以AC8E是平行四邊形,

NOBE（或其補角）是異面直線8。和AC所成的角,

因為BC_LAC,所以AE_L4C,因為AH=1,AE=2,

所以EH=VAE2+AH2=V22+l2=V5,同理BH=V5.

因為DHLEH,DHLBH,DH=\,所以DE=DB=遍.

在△OE8中，DE=DB=V6,BE=2,

=22/-2=

_/+/一浸底+2“一乃=

所以COSNDBEn

2xBDxBE2x76x2-6,

V6

即異面直線AC與BD所成角的余弦值為一.

6

X2V2

20.（12分）已知雙曲線一a-標=->0,Q0）的左、右頂點分別為4（-1,。）、

A2（I,0）,離心率為2,過點尸（2,0）斜率不為0的直線/與「交于P、。兩點.

（1）求雙曲線「的漸近線方程；

（2）記直線4P、A2。的斜率分別為心,幻，求證：詈為定值.

叱2

【解答】解：（1）設(shè)雙曲線「的半焦距為c,由題意可知。=1,e=：=2,廿=C2-/=3,

在雙曲線「的方程為，一［=1；

（2）證明：當直線/的斜率不存在時，點P,Q的坐標分別為（2,3）和（2,-3）,

當A1=1時，k2—-3,當％i=-l時，ki=3,此時好=—工，

k23

當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=k(x-2),P(xi,)，i),Q(X2,”),

將直線/代入雙曲線方程得々-3)/-4島+4必+3=0,

4必4必+3

所以Xl+X2=，X\X2=,20，

必一3k—3

=+_2k_