必修1《函數(shù)的零點與方程的根》(有答案)

《函數(shù)的零點與方程的根》專題復習知識點梳理函數(shù)的零點：對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根。函數(shù)與方程思想：假設(shè)=與軸有交點()=0假設(shè)=()與=()有交點(，)=有解。知識應用考點一函數(shù)零點的求法1．函數(shù)f(x)＝log5(x－1)的零點是()A．0B．1C．2 D．32.函數(shù)f(x)＝x2－1，那么函數(shù)f(x－1)的零點是________．3.假設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋b只有一個零點2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是___________4.函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一個零點為1，那么它的另一個零點為________．5.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x＞0))的零點個數(shù)為()A．0B．1C．2 D．3解析法一由f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋2x－3＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,－2＋lnx＝0，))解得x＝－3，或x＝e2.因此函數(shù)f(x)共有兩個零點．法二函數(shù)f(x)的圖象如下圖可觀察函數(shù)f(x)共有兩個零點．答案B對函數(shù)零點個數(shù)的判斷可從以下幾個方面入手考慮：(1)結(jié)合函數(shù)圖象；(2)根據(jù)零點存在定理求某些點的函數(shù)值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點是否唯一等．考點二零點存在性定理1.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程ex－x－2＝0必有一個根在區(qū)間()x－10123ex0.3712.787.3920.09x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)2．函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零點所在的大致區(qū)間是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4) D．(e,3)3.設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝(eq\f(1,2))x－2的圖象的交點為(x0，y0)，那么x0所在的區(qū)間是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)4.假設(shè)函數(shù)f(x)＝3ax－2a＋1在區(qū)間[－1,1]上存在一個零點，那么a的取值范圍是________．補充：假設(shè)方程在〔0，1〕內(nèi)有解，求a的取值范圍?？键c三、二分法1．如下圖的函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是()．A．①②B．①③C．①④D．③④答案B考點四一元二次方程根的分布【例】?是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸恒有一個零點，且只有一個零點．假設(shè)存在，求出a的取值范圍，假設(shè)不存在，說明理由．[審題視點]可用零點定理去判斷，注意對函數(shù)端點值的檢驗．解∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(8,9)))2＋eq\f(8,9)＞0∴假設(shè)實數(shù)a滿足條件，那么只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)所以a≤－eq\f(1,5)或a≥1.檢驗：(1)當f(－1)＝0時，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1.(2)當f(3)＝0時，a＝－eq\f(1,5)，此時f(x)＝x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5).令f(x)＝0，即x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5)＝0，解之得x＝－eq\f(2,5)或x＝3.方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－eq\f(1,5).綜上所述，a＜－eq\f(1,5)或a＞1.例.關(guān)于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a為何值時，(1)方程有一正一負兩根；(2)方程的兩根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用分析：令f〔x〕ax2－2(a＋1)x＋a－1，〔1〕由求得a的范圍．

〔2〕由，求得a的范圍．

〔3〕當a＞0時，由f〔1〕＜0，且a＞0，求得a的范圍；當a＜0時，由f〔1〕＞0，求得a的范圍．再把這兩個a的范圍取并集，即得所求．解答：

解：關(guān)于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，令f〔x〕=ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，

〔1〕由，解得0＜a＜1，故當0＜a＜1時，該方程有一正一負兩根．

〔2〕由，解得a∈?，∴不存在實數(shù)a使方程的兩根都大于1．

〔3〕由f〔1〕=a-2〔a+1〕+a-1＜0，且a＞0，求得a＞0；

由f〔1〕=a-2〔a+1〕+a-1＞0，且a＜0，求得a無解．

綜上，當a＞0時，方程的一根大于1，一根小于1．變式訓練關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m(1)假設(shè)方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)假設(shè)方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.〔1〕－<m<－.〔2〕－<m≤1－設(shè)二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0所對應的函數(shù)為f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.

(1)要使方程的一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，那么結(jié)合函數(shù)圖象(如圖)，

有

解得－<m<－.

(2)要使方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，那么結(jié)合函數(shù)圖象(如圖)，

有

解得即－<m≤1－1、假設(shè)函數(shù)的定義域為，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕(A)(B)(