第7章 測(cè)量誤差的基本知識(shí)

第七章測(cè)量誤差的基本知識(shí)第七章測(cè)量誤差基本知識(shí)第一節(jié)測(cè)量誤差概述第二節(jié)大量偶然誤差的特性第三節(jié)無(wú)真值條件下的最或是值第四節(jié)觀測(cè)值精度評(píng)價(jià)指標(biāo)第五節(jié)誤差傳播定律及應(yīng)用【知識(shí)目標(biāo)】了解：測(cè)量誤差及其產(chǎn)生的原因、偶然誤差的特性。理解：測(cè)量誤差的分類與處理原則、觀測(cè)值精度的評(píng)價(jià)指標(biāo)。掌握：誤差傳播定律?！炯寄苣繕?biāo)】能分析誤差產(chǎn)生的原因及誤差的種類。能對(duì)各種具體的誤差進(jìn)行分析、歸類。能計(jì)算相對(duì)誤差。

測(cè)量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。2、觀測(cè)值之和不等于理論值：三角形α+β+γ≠180°

閉合水準(zhǔn)測(cè)量∑h≠0第一節(jié)

測(cè)量誤差概述（理解）一、測(cè)量誤差及其產(chǎn)生的原因1、測(cè)量誤差概念：觀測(cè)值：對(duì)某一被觀測(cè)量進(jìn)行直接觀測(cè)所獲得的數(shù)值。真值：反映一個(gè)量真正大小的絕對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)值。誤差：真值與觀測(cè)值之差（真誤差）

△=L真–L觀＝X－L觀或＝L觀–L真＝L觀－X2、誤差產(chǎn)生原因等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)。不等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)。（1）測(cè)量?jī)x器（2）觀測(cè)者（3）外界環(huán)境觀測(cè)條件二、測(cè)量誤差的分類

測(cè)量誤差按其性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。（1）系統(tǒng)誤差的特性：誤差的絕對(duì)值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負(fù)號(hào)保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的倍數(shù)而積累。

1、系統(tǒng)誤差

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一觀測(cè)量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，若誤差的大小和符號(hào)相同，或按照一定的規(guī)律變化，則稱之為系統(tǒng)誤差。（2）系統(tǒng)誤差的減弱方法：檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度；加改正數(shù)，在觀測(cè)結(jié)果中加入系統(tǒng)誤差改正數(shù)；采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱。

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)觀測(cè)量進(jìn)行一系列觀測(cè)，誤差出現(xiàn)的大小及符號(hào)在個(gè)體上沒(méi)有任何規(guī)律，具有偶然性。但對(duì)大量的觀測(cè)誤差而言，它們遵循正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這類誤差稱為偶然誤差，或稱為隨機(jī)誤差。偶然誤差是不可避免的，是由于人力所不能控制的因素或無(wú)法估計(jì)的因素共同引起的測(cè)量誤差。人力所不能控制的因素：人眼的分辨力、儀器的極限精度和氣象因素等。2、偶然誤差（1）偶然誤差的示例：

距離測(cè)量Δ

No9.49.79.59.69.39.29.60.1-0.20-0.10.20.3-0.1

1234567NL△△=L真–L觀

=X－LD9.5cm=X（2）偶然誤差的減弱方法：①提高儀器等級(jí)：可使觀測(cè)值的精度得到有效的提高，從而限值偶然誤差的大小。②降低外界影響：選擇有利的觀測(cè)環(huán)境，減小觀測(cè)值的波動(dòng)。③進(jìn)行多余觀測(cè)：在測(cè)量工作中進(jìn)行多余必要觀測(cè)的觀測(cè)，稱為多余觀測(cè)。3、粗差（錯(cuò)誤）由有關(guān)人員的粗心大意或儀器故障所造成的差錯(cuò)稱為粗差。（1）產(chǎn)生的原因：較多可能由于作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀錯(cuò)、讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)、照錯(cuò)了目標(biāo)等。也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起。（2）粗差對(duì)觀測(cè)成果的影響極大，所以在測(cè)量成果中絕對(duì)不允許有其存在。（3）發(fā)現(xiàn)粗差的方法：進(jìn)行必要的重復(fù)觀測(cè)，通過(guò)多余觀測(cè)條件，進(jìn)行檢核驗(yàn)算；嚴(yán)格按照國(guó)家有關(guān)部門制定的各種測(cè)量規(guī)范進(jìn)行作業(yè)等。

總結(jié)：在測(cè)量工作中，一般需要進(jìn)行多余觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)粗差，將其剔除或重測(cè)。（1）有限性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值；（2）集中性：即絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；（3）對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；（4）抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零，即

一、偶然誤差的特性：

式中，

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，也稱偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即E(Δ)=0。第二節(jié)大量偶然誤差的特性（了解）二、偶然誤差概率分布曲線----正態(tài)分布曲線誤差分布曲線偶然誤差的出現(xiàn)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，實(shí)踐中，可以根據(jù)偶然誤差的特性合理地處理觀測(cè)數(shù)據(jù)，以減少偶然誤差對(duì)測(cè)量成果的影響。在實(shí)際測(cè)量工作中，只有極少數(shù)觀測(cè)量的理論值或真值是可以預(yù)知的，一般情況下，由于測(cè)量誤差的影響，觀測(cè)值的真值是很難測(cè)定的。為了提高觀測(cè)值的精度，測(cè)量上通常采用有限的多余觀測(cè)，通過(guò)計(jì)算觀測(cè)值的算術(shù)平均值來(lái)代替觀測(cè)量的真值X，用改正數(shù)Vi代替真誤差Δi，以解決實(shí)際問(wèn)題。第三節(jié)無(wú)真值條件下的最或是值（理解）一、算術(shù)平均值在等精度觀測(cè)條件下，對(duì)未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1，l2...，ln，將這些觀測(cè)值取算術(shù)平均值：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值趨近于該量的真值X。但是在實(shí)際測(cè)量中，不可能對(duì)某一量進(jìn)行無(wú)限次觀測(cè)，因此，就把有限個(gè)觀測(cè)值的算術(shù)平均值作為該量的最或是值，也稱為觀測(cè)值的最可靠值。二、觀測(cè)值的改正數(shù)算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值的改正數(shù)vi。一組觀測(cè)值取算術(shù)平均值后，其改正數(shù)之和恒等于零。第四節(jié)觀測(cè)值精度評(píng)價(jià)指標(biāo)（掌握）一、中誤差在等精度觀測(cè)條件下，對(duì)真值X的某一量進(jìn)行n次觀測(cè)，其觀測(cè)值為l1，l2，...，ln，則每次觀測(cè)中產(chǎn)生的真誤差為Δ1，Δ2，...，Δn，取各真誤差平方和的平均值的平方根，作為觀測(cè)值的中誤差，即1、用真誤差來(lái)確定中誤差

由上述計(jì)算結(jié)果中可以看出，1組的中誤差較小，所以觀測(cè)精度高于2組。在測(cè)量工作中，普遍采用中誤差來(lái)評(píng)定測(cè)量成果的精度。【例題】1、2兩組分別用相同的觀測(cè)條件觀測(cè)了某角度各六次，與真值比較得真誤差分別為：1組：+2″、+1″、－2″、－3″、－2″、－3″；2組：+5″、－4″、+1″、－4″、－3″、+6″。試分析兩組觀測(cè)值的精度。解：用中誤差公式（5-7）計(jì)算得2、用觀測(cè)值的改正數(shù)來(lái)確定中誤差在實(shí)際測(cè)量工作中，觀測(cè)值的真值X往往是不知道，因此，真誤差Δi也無(wú)法求得，此時(shí)，要通過(guò)計(jì)算觀測(cè)值的算術(shù)平均值來(lái)代替觀測(cè)量的真值X，用觀測(cè)值的改正數(shù)vi代替真誤差Δi，在此情況下，中誤差的計(jì)算公式為二、容許誤差

通常以兩倍中誤差作為偶然誤差的極限值Δ限，并稱為極限誤差或容許誤差，即Δ限＝2m。在測(cè)量中，如某觀測(cè)量的誤差超過(guò)了容許誤差，就可以認(rèn)為它是錯(cuò)誤的，其觀測(cè)值應(yīng)舍去重測(cè)。1、定義：相對(duì)誤差K等于絕對(duì)誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值D之比，它是一個(gè)無(wú)名數(shù)，通常用分子為1的分?jǐn)?shù)表示:三、相對(duì)誤差

一般情況:角度、高差的誤差用絕對(duì)誤差(m)表示，量距誤差用相對(duì)誤差K表示。式中K－相對(duì)誤差；m－觀測(cè)誤差（中誤差）；L－觀測(cè)量的值；N－相對(duì)誤差分母。

概念

誤差傳播定律：闡述觀測(cè)值的中誤差與其函數(shù)中誤差之間傳播規(guī)律的定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)第五節(jié)

誤差傳播定律及應(yīng)用（掌握）觀測(cè)值的函數(shù)---又稱為間接觀測(cè)量間接觀測(cè)量:由直接觀測(cè)的量，通過(guò)函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算得出的量。例如：用水準(zhǔn)儀測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的高差h，通過(guò)直接觀測(cè)值后視讀數(shù)a和前視讀數(shù)b來(lái)求得的高差：h=a－b

間接觀測(cè)量的誤差：由于直接觀測(cè)值(a、b)中都帶有誤差,函數(shù)(間接觀測(cè)量h)也必然受到影響而產(chǎn)生誤差.一、倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z＝kx，式中，k為常數(shù)，x為直接觀測(cè)值，其中誤差為mx，現(xiàn)求觀測(cè)值函數(shù)Z的中誤差mz。則有mz＝kmx（推導(dǎo)過(guò)程略）即觀測(cè)值倍數(shù)函數(shù)的中誤差，等于觀測(cè)值中誤差乘倍數(shù)。例：用水平視距公式D＝kl求平距，已知觀測(cè)視距間隔的中誤差ml＝±1cm，k＝100。則平距的中誤差mD＝100ml＝±1m。二、和差函數(shù)設(shè)有函數(shù)z＝x±y，式中，x，y為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為mx和my，則有例：在ΔABC中，對(duì)∠A和∠B進(jìn)行了觀測(cè)，其觀測(cè)的中誤差mA和mB分別為±3"和±4"，試推算∠C的中誤差mc。解：∠C＝180°－∠A－∠B，為和差函數(shù)。三、線性函數(shù)的中誤差設(shè)有線性函數(shù)：設(shè)個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值x1，x2，...，xn的中誤差為m1，m2，...，mn，則函數(shù)Z的中誤差為mz，可導(dǎo)出例：有一函數(shù)Z＝2x1＋x2＋3x3，其中x1，x2，x3的中誤差分別為±3mm，±2mm，±1mm。四、算術(shù)平均值的中誤差對(duì)某一量X進(jìn)行了n次等精度觀測(cè)，各次觀測(cè)中誤差為m，求某算術(shù)平均值的中誤差M。解：算術(shù)平均值可以寫為算術(shù)平均值的中誤差總結(jié)：算術(shù)平均值的中誤差是觀測(cè)值中誤差的五、一般函數(shù)的中誤差（自學(xué)P112）習(xí)題解答：1、設(shè)有一正方形建筑物，量得其一邊長(zhǎng)為a、其中誤差ma＝±3mm，求周長(zhǎng)的中誤差。若以相同精度測(cè)量其四邊，各邊的中誤差均為±3mm，則周長(zhǎng)的中誤差又為多少。解：（1）周長(zhǎng)＝4a，為倍數(shù)函數(shù)，則有m周＝4×ma＝±4×3mm＝±12mm（2）周長(zhǎng)＝a1＋a2＋a3＋a4，為和差函數(shù)，則有m周＝±√ma12＋ma22＋ma32＋ma42＝±√36mm＝±6mm2、在ΔABC中，觀測(cè)∠A的中誤差為mA＝±30"，∠B的中誤差為mB＝±30"，則∠C的中誤差mc為多少？由A角平分線AO與B角平分線BO和AB組成的ΔABO，則∠O的中誤差mo為多少？（圖見p115）解：（1）∠C＝180°－∠A－∠B（和差函數(shù)）

mc＝±√mA2＋mB2＝±√900＋900≈±42.4"（2）∠O＝180°－∠A/2－∠B/2（線性函數(shù)）

mc＝±√(mA/2)2＋(mB/2)2＝±√225＋225≈21.2"3、采用兩次儀器高法進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量，每次讀數(shù)包含瞄準(zhǔn)誤差、估讀誤差及氣泡居中不準(zhǔn)誤差，它們的數(shù)值分別是m瞄＝1.1mm，m估＝2.5mm，m氣＝1.5mm，試求

（1）一次儀器高測(cè)定高差h1的中誤差mh1；

（2）兩次儀器高測(cè)得高差之差Δh的中誤差mΔh；

（3）測(cè)站高差平均值h中誤差mh。解：

（1）