重慶市三峽名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)

三峽名校聯(lián)盟2023年秋季聯(lián)考高2025屆數(shù)學(xué)試卷命題人：云陽中學(xué)：張偉林審題人：云陽中學(xué)：賈少軍數(shù)學(xué)測(cè)試卷共4頁，滿分150分、考試時(shí)間120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（）A．B．C．D．不存在2．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（）A．B．C．D．3．若雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)重合，則的值為（）A．2B．4C．D．4．在三棱錐中，若為正三角形，且為其中心，等于（）A．B．C．D．5．希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明，他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線：當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的圓錐曲線為（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．以上都不對(duì)6．已知圓與橢圓為橢圓的右頂點(diǎn)，由點(diǎn)作圓的兩條切線其夾角為，則橢圓的離心率的是（）A．B．C．D．7．已知點(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為（）A．0B．C．D．8．與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長(zhǎng)線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心，如圖1所示，已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的一個(gè)旁心，如圖2所示，直線與軸交于點(diǎn)，若則該雙曲線的漸近線方程為（）圖1圖2A．B．C．D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則10．已知圓與直線，下列選項(xiàng)正確的是（）A．圓的圓心坐標(biāo)為B．直線過定點(diǎn)C．直線與圓相交目所截最短弦長(zhǎng)為D．直線與圓可以相離11．如圖所示幾何體，是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到，是圓弧的中點(diǎn)，是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則（）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．存在點(diǎn)，使得平面D．存在點(diǎn)，使得平面12．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)．一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線B．當(dāng)時(shí)，若平分，則C．的大小為定值D．設(shè)該拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)則，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為________．14．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且則的周長(zhǎng)為________．15．長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)則直線與所成角的余弦值為________．16．設(shè)是半徑為8的球體0表面上兩定點(diǎn)，且球體0表面上動(dòng)點(diǎn)滿足則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為________（在直線，圓，橢圓，雙曲線，拋物線選擇）則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．點(diǎn)到的距離比到軸的距離大1．（1）求曲線的方程．（2）是曲線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，求．18．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離．19．一個(gè)火山口的周圍是無人區(qū)，無人區(qū)分布在以火山口中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，一輛運(yùn)輸車位于火山口的正東方向處準(zhǔn)備出發(fā)，若運(yùn)輸車沿北偏西方向以每小時(shí)的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)：（1）運(yùn)輸車將在無人區(qū)經(jīng)歷多少小時(shí)？（2）若運(yùn)輸車仍位于火山口的正東方向，且按原來的速度和方向前進(jìn)，為使該運(yùn)輸車成功避開無人區(qū)，求至少應(yīng)離火山口多遠(yuǎn)出發(fā)才安全？20．已知雙曲線的離心率為，且過．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．21．如圖甲，在矩形中，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，如圖乙．（1）求證：；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若不存在，說明理由；若存在，求出的長(zhǎng)度．22．已知橢圓過點(diǎn)為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓上不同于的動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率為滿足（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的左焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓半徑為，求的取值范圍．三峽名校聯(lián)盟2023年秋季聯(lián)考高2025屆數(shù)學(xué)參考答案一?單項(xiàng)選擇題1．B2．A3．A4．D5．C6．C7．B8．A8題詳解：雙曲線中，所以，則，由三角形得旁心的定義可知分別平分，在中，，在中，，因?yàn)?，所以，所以，同理可得，所以，而，故．漸近線方程為：故選：A二、多項(xiàng)選擇題9．AC10．AC11．BC12．ABD12．【詳解】如圖所示：，由平行于x軸的，且過點(diǎn)，所以，把代入拋物線的方程，解得，即，由題知，直線經(jīng)過焦點(diǎn)，直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以，對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，由光學(xué)性質(zhì)可知平行于x軸，則三點(diǎn)縱坐標(biāo)都相同，所以三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)B正確對(duì)于B選項(xiàng)：由光學(xué)性質(zhì)可知平行于x軸，平行于x軸，則，有，平分，有，所以，即，得，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．C．，但的大小不是定值，設(shè)，而，則，則，而，并不是定值D．由消去x得：，設(shè)，則有，對(duì)于A，直線斜率，直線斜率，即，因此三、填空題13．114．1415．16．圓16題詳解：以所在的平面建立直角坐標(biāo)系，為軸，的垂直平分線為軸，，則，設(shè)則點(diǎn)P的軌跡滿足，故軌跡是以為圓心，半徑3的圓，圓O的方程轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)繞為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，不變，依然滿足，故空間中的軌跡為以D為球心，半徑為3的球，同時(shí)在球上，故在兩球的交線上，為圓．球心距為，在中，等面積法得邊上的高為對(duì)應(yīng)圓的半徑為，周長(zhǎng)為．三、解答題17．（1）設(shè)動(dòng)圓的圓心為，則，由圓與軸相切可得，即整理可得．（還可以直接用拋物線定義求解）（2）由拋物線方程得：，準(zhǔn)線方程為：為中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由拋物線定義知：．18．（1）設(shè)直線與平面所成角為，平面的法向量為，則得取，則，得平面的一個(gè)法向量為，向量則（2）由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為19．解（1）以火山口的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，記運(yùn)輸車從出發(fā)，點(diǎn)處開始進(jìn)入無人區(qū)，到處離開無人區(qū)，則圓方程為，由運(yùn)輸車沿北偏西方向運(yùn)動(dòng)，可得直線的斜率，則，即，因?yàn)榈降木嚯x為，則，所以經(jīng)歷時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)（2）設(shè)運(yùn)輸車至少應(yīng)離火山口出發(fā)才安全，此時(shí)運(yùn)輸車的行駛直線剛好與圓相切，且直線方程為，即，則到直線的距離，解得，即運(yùn)輸車至少應(yīng)離火山口出發(fā)才安全．20．解（1）根據(jù)題意可得，解得，所以雙曲線的方程為．（2）設(shè)，聯(lián)立，得，，，又所以，所以，所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)．21．解（1）取線段的中點(diǎn)，連接，在中，，，在中，，由余弦定理可得：，，在中，，；（2）因?yàn)槠矫?，所以平面?/p>