6.2.1向量的加法運(yùn)算3題型分類(lèi)

6.2.1向量的加法運(yùn)算3題型分類(lèi)一、向量加法的定義及其運(yùn)算法則1．向量加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．2．向量求和的法則①三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))．這種求向量和的方法，稱(chēng)為向量加法的三角形法則．對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a．②平行四邊形法則：以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和.把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．③位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型.二、向量加法的運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a．結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．（一）向量加法法則1．向量加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．2．向量求和的法則：三角形法則，平行四邊形法則．3.向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別聯(lián)系三角形法則(1)首尾相接(2)適用于任何向量求和三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半平行四邊形法則(1)共起點(diǎn)(2)僅適用于不共線(xiàn)的兩個(gè)向量求和題型1：向量的加法11．（2023上·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知，求作.(1)；(2)【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則即可求解.【詳解】（1）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，如圖所示作則.（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，如圖所示作則.12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知向量，求作和向量.【答案】答案見(jiàn)解析【分析】利用平行四邊形法則可得答案.【詳解】三個(gè)向量不共線(xiàn)，用平行四邊形法則來(lái)作．如圖（1）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，；（2）作平行四邊形AOBC，則；（3）再作向量；（4）作平行四邊形，則＝，即即為所求.13．（2023高一練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)、、分別是三邊、、的中點(diǎn)，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則證明即可.【詳解】證明：連接、、，如圖，、、分別是三邊的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則，得①，同理在平行四邊形中，②，在平行四邊形在中，③，將①②③相加，得.14．（2023下·寧夏銀川·高一賀蘭縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）正方形的邊長(zhǎng)為1，則為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用向量加法運(yùn)算及向量的摸的定義，結(jié)合勾股定理即可求解.【詳解】在正方形中，如圖所示,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，,又因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以，故選：B.15．（2023·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）為非零向量，且，則（

）A．，且與方向相同 B．是共線(xiàn)向量且方向相反C． D．無(wú)論什么關(guān)系均可【答案】A【分析】根據(jù)向量加法的性質(zhì)及三角形邊之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】當(dāng)兩個(gè)非零向量不共線(xiàn)時(shí)，的方向與的方向都不相同，且；當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)，的方向與的方向都相同，且；當(dāng)兩個(gè)非零向量反向時(shí)且，的方向與的方向相同，且，所以對(duì)于非零向量，且，則，且與方向相同.故選：A.（二）向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用向量加法的運(yùn)算律：交換律：a＋b＝b＋a．結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.實(shí)際上，由于向量的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行.(2)應(yīng)用原則：通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.題型2：向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用21．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.【答案】①；②；③【解析】根據(jù)加法的三角形運(yùn)算法則和基本規(guī)律首尾相連求解.【詳解】①＋＝+＝；②＋＋＝＋＋＝；③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加法運(yùn)算，其規(guī)律是首尾相連，同時(shí)注意加法運(yùn)算結(jié)果是向量，屬于中檔題.40．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則得到答案.（2）直接根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則得到答案.（3）直接根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則得到答案.【詳解】（1）.（2）.（3）.22．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點(diǎn).（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】【分析】根據(jù)向量加法法則計(jì)算．【詳解】（1）由平行四邊形法則，；（2）由向量加法的三角形法則，；（3）由向量加法法則得，；（4）由向量加法法則得，．故答案為：；；；．23．（2023·上?！じ咭黄谀┳魑暹呅危笞飨铝懈黝}中的和向量：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的加法法則求解即可；（2）利用平面向量的加法法則求解即可．【詳解】（1）；（2）.24．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則．【答案】【分析】利用向量的運(yùn)算法則和模的計(jì)算公式即可得出．【詳解】解：解：如圖所示：，，．故答案為：．（三）向量加法的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)題.(3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線(xiàn)、相等等概念回答原問(wèn)題.題型3：向量加法的實(shí)際應(yīng)用31．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）一架救援直升飛機(jī)從地沿北偏東60°方向飛行了40km到達(dá)地，再由地沿正北方向飛行40km到達(dá)地，求此時(shí)直升飛機(jī)與地的相對(duì)位置.【答案】直升飛機(jī)位于地北偏東30°方向，且距離地km處【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則及勾股定理即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，分別是直升飛機(jī)的位移，則表示兩次位移的合位移，即.在中，.在中，，，即此時(shí)直升飛機(jī)位于地北偏東30°方向，且距離地km處.32．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在靜水中船的速度是，水流的速度是.如果船從岸邊出發(fā)，沿垂直于水流的航線(xiàn)到達(dá)對(duì)岸，那么船行進(jìn)方向應(yīng)指向何處？實(shí)際航速為多少？【答案】船的航行方向與水流方向成，船的實(shí)際航速為【分析】如圖所示，表示水流的速度，表示船實(shí)際航行的速度，表示船行駛的速度，在中，可得,從而得，，即可得答案.【詳解】解：設(shè)表示水流的速度，表示船實(shí)際航行的速度，表示船行駛的速度，則四邊形為平行四邊形.所以，，因?yàn)?，于是，所以，，故船的航行方向與水流方向成，船的實(shí)際航速為.33．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）一艘船在水中航行，水流速度與船在靜水中航行的速度均為.如果此船實(shí)際向南偏西方向行駛，然后又向西行駛，你知道此船在整個(gè)過(guò)程中的位移嗎?【答案】?jī)纱挝灰频暮臀灰频姆较蚴悄掀?，位移的大小?【分析】由向量加法可知，根據(jù)長(zhǎng)度和角度關(guān)系可求得，，由此可確定位移的方向和大小.【詳解】用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根據(jù)向量加法的三角形法則知：，可表示兩次位移的和位移.由題意知，在中，，則，，在等腰中，，，，，兩次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小為.一、單選題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某人先向東走3km，位移記為，接著再向北走3km，位移記為，則表示（

）A．向東南走 B．向東北走C．向東南走 D．向東北走【答案】B【分析】由向量的加法進(jìn)行求解.【詳解】由題意和向量的加法，得表示先向東走3km，再向北走3km，即向東北走.故選：B.2．（2023下·甘肅張掖·高一統(tǒng)考期末）向量（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】故選:C3．（2023下·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加法法則即可計(jì)算.【詳解】.故選：B.4．（2023下·吉林白城·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選:C.5．（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知在邊長(zhǎng)為2的等邊中，向量，滿(mǎn)足，，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】由向量加法的平行四邊形法則可知，只需求線(xiàn)段長(zhǎng)度即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示：設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，由題可知：.故選：C.6．（2023下·浙江·高一階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量加法運(yùn)算法則即可求解.【詳解】連接OB.由正六邊形的性質(zhì)，可知與都是等邊三角形，∴四邊形OABC是平行四邊形，，，故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量加法的運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合，屬于容易題.7．（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，D，E，F(xiàn)分別為的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：，，分別是的邊，，的中點(diǎn)，，，，則，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤；故選：A．8．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．如果非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與，之一的方向相同B．在中，必有C．若，則A，B，C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)D．若，均為非零向量，則與一定相等【答案】B【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)與為相反向量時(shí)，，方向任意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在中，，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足，但不能構(gòu)成三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，均為非零向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：B9．（2023下·四川·高一四川省科學(xué)城第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF中，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，根據(jù)正六邊形的特征，得到，,帶入到要求的式子中，利用向量線(xiàn)性運(yùn)算加法法則即可直接求解.【詳解】由已知，ABCDEF為正六邊形，所以，,所以.故選：D.10．（2023下·上海徐匯·高一上海中學(xué)校考期末）若非零不共線(xiàn)的向量滿(mǎn)足，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則，構(gòu)圖即可判斷【詳解】

（2）由非零向量，滿(mǎn)足當(dāng)，不共線(xiàn)時(shí),可考慮構(gòu)造等腰三角形,如圖（1）所示,,則.在圖（1）中,,不能比較與的大小;在圖（2）中,由,得,所以為的直角三角形.易知,由三角形中大角對(duì)大邊,得.故選：C11．（2023上·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則及是正三角形，逐一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋?所以，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?(為中點(diǎn))，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?為中點(diǎn)),(為中點(diǎn)),所以，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故正確.故選：B.12．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）若非零向量滿(mǎn)足，則(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法的性質(zhì)即可判斷：.【詳解】因?yàn)椋?若與共線(xiàn)，由則中有一個(gè)必為零向量，與不共線(xiàn)，即，.同理知無(wú)法判斷之間的大小關(guān)系.故選：C.13．（2023上·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）如圖,A,B,C,D是平面上的任意四點(diǎn),下列式子中正確的是A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)平面向量的加減法則求解判斷即可.【詳解】∵,∴,∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加減法運(yùn)算,需要根據(jù)題意化簡(jiǎn)求解,屬于中等題型.14．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知非零向量、、，則“”是“、、可構(gòu)成三角形”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合平面向量加法法則判斷即可.【詳解】已知非零向量、、，若且、、都共線(xiàn)，則、、不能構(gòu)成三角形，即“”不是“、、可構(gòu)成三角形”的充分條件；在中，設(shè)，，，則、、可構(gòu)成三角形，但,所以，“”不是“、、可構(gòu)成三角形”的必要條件.因此，“”是“、、可構(gòu)成三角形”的既非充分又非必要條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，同時(shí)也考查了平面向量加法法則的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.二、多選題15．（2023下·廣東汕尾·高一華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)，是任一非零向量，則在下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先將化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)平面向量的定義判斷答案.【詳解】由題意，，易知A,C正確，B錯(cuò)誤；平面向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤.故選：AC.16．（山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)20222023學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行四邊形中，下列計(jì)算正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算及其幾何意義，相反向量的概念即可判斷各選項(xiàng)的正誤．【詳解】根據(jù)向量加法運(yùn)算及其幾何意義，相反向量的概念，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD．17．（2023上·山東聊城·高二聊城二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．若向量，滿(mǎn)足，與同向，則B．若兩個(gè)非零向量，滿(mǎn)足，則，是互為相反向量C．的充要條件是與重合，與重合D．模為是一個(gè)向量方向不確定的充要條件【答案】BD【分析】根據(jù)向量的基本性質(zhì)，基本概念，以及向量平行和零向量的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：向量不可比較大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若兩個(gè)非零向量，滿(mǎn)足，則，且方向相反，故，互為相反向量，B正確；對(duì)C：與重合，與重合，故，充分性成立；但，根據(jù)向量可平移性，不一定有與重合，與重合，必要性不滿(mǎn)足，C錯(cuò)誤；對(duì)D：模為的向量是零向量，其方向不確定，故充分性成立；一個(gè)向量方向不確定，是零向量，其模為，必要性成立，即模為是一個(gè)向量方向不確定的充要條件，D正確.故選：BD.18．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）在中，設(shè)，，，，則下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)平行四邊形及向量的加法法則即可判斷.【詳解】由向量加法的平行四邊形法則，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法則，知成立，不成立.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量加法的運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合，屬于容易題.19．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）設(shè)是內(nèi)部（不含邊界）的一點(diǎn)，以下可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】作出圖示，根據(jù)向量的平行四邊形法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A：如下圖所示，可知在內(nèi)部，故成立；對(duì)于B：如下圖所示，可知在外部，故不成立；對(duì)于C：因?yàn)?，如下圖所示，可知在內(nèi)部，故成立；對(duì)于D：因?yàn)椋缦聢D所示，可知在外部，故不成立；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是采用圖示結(jié)合向量的平行四邊形法則進(jìn)行說(shuō)明，其中CD選項(xiàng)中的向量關(guān)系式要根據(jù)進(jìn)行化簡(jiǎn).20．（2023下·福建廈門(mén)·高一廈門(mén)市松柏中學(xué)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于向量的敘述正確的是（

）A．向量的相反向量是B．模為1的向量是單位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，且，則D．若向量與滿(mǎn)足關(guān)系，則與共線(xiàn)【答案】ABD【分析】由相反向量、單位向量、共線(xiàn)向量的定義以及性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：A向量的相反向量是，正確：B.模為1的向量是單位向量，其方向是任意的，正確：C.若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，且，則，不正確，因?yàn)榕c可能方向相反；D.若向量與滿(mǎn)足關(guān)系，∴，則與共線(xiàn)，正確.故選：ABD21．（2023上·山東聊城·高二聊城二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．若向量，滿(mǎn)足，與同向，則B．若兩個(gè)非零向量，滿(mǎn)足，則，是互為相反向量C．的充要條件是與重合，與重合D．模為是一個(gè)向量方向不確定的充要條件【答案】BD【分析】根據(jù)向量的基本性質(zhì)，基本概念，以及向量平行和零向量的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：向量不可比較大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若兩個(gè)非零向量，滿(mǎn)足，則，且方向相反，故，互為相反向量，B正確；對(duì)C：與重合，與重合，故，充分性成立；但，根據(jù)向量可平移性，不一定有與重合，與重合，必要性不滿(mǎn)足，C錯(cuò)誤；對(duì)D：模為的向量是零向量，其方向不確定，故充分性成立；一個(gè)向量方向不確定，是零向量，其模為，必要性成立，即模為是一個(gè)向量方向不確定的充要條件，D正確.故選：BD.三、填空題22．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形中，．【答案】【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】在平行四邊形中，,所以.故答案為：23．（2023上·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是北偏東，風(fēng)速是；水的流向是正東方向，流速是，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏東，大小是．【答案】【分析】根據(jù)向量的加法以及圖象進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】如圖風(fēng)速為風(fēng)速是，即水的流速是，即則救生艇速度大小即為由題可知：四邊形為菱形且所以，且所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏東，大小為故答案為：，24．（2023上·湖北·高二校聯(lián)考期中）在中，是邊上的點(diǎn)且，若則．【答案】/【分析】由題知，再根據(jù)求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谥?，是邊上的點(diǎn)且，所以，即，所以，，即故答案為：25．（2023上·江西九江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，則與的面積比為．【答案】/【分析】由平面向量的加法法則可得到點(diǎn)的位置，再用面積公示，即可得到面積的比值.【詳解】取邊的中點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)椋?，所以，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.故答案為：26．（2023·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）是正三角形，給出下列等式：①；②；③；④．其中正確的有．(寫(xiě)出所有正確等式的序號(hào))【答案】①③④【分析】作出圖形，結(jié)合平面向量加法法則可判斷①②③④的正誤.【詳解】對(duì)于①，，，，①正確；對(duì)于②，，如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，顯然，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，以、為鄰邊作平行四邊形，則，以、為鄰邊作平行四邊形，則.由圖可知，，即，③正確；對(duì)于④，，，因?yàn)椋苷_.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵就是化簡(jiǎn)平面向量的運(yùn)算結(jié)果，并作出圖形，結(jié)合圖形的幾何特征進(jìn)行判斷.四、解答題27．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知下列各組向量，，求作．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析；（3）作圖見(jiàn)解析；（4）作圖見(jiàn)解析.【分析】應(yīng)用向量的性質(zhì)，將，作平移處理，使一個(gè)向量起點(diǎn)與另一個(gè)的起點(diǎn)或終點(diǎn)重合，結(jié)合三角形或平行四邊形法則畫(huà)出，注意共線(xiàn)向量只需將一個(gè)向量起點(diǎn)平移至另一個(gè)向量的終點(diǎn)，再連接兩向量的另一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)即可.【詳解】（1）將的起點(diǎn)移至的終點(diǎn)，即可得，如下圖：（2）將的起點(diǎn)移至的終點(diǎn)，即可得，如下圖：（3）以，為頂點(diǎn)作平行四邊形，應(yīng)用平行四邊形法則可得，如下圖：（4）將的起點(diǎn)移至的終點(diǎn)，應(yīng)用三角形法則可得，如下圖：28．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法則化簡(jiǎn)可得所求代數(shù)式的結(jié)果；（2）利用平面向量加法的三角形法則化簡(jiǎn)可得所求代數(shù)式的結(jié)果.【詳解】（1）；（2）.29．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式:(1);(2).【答案】(1).(2)【解析】(1)根據(jù)向量的加法法則求解即可.(2)根據(jù)向量的加法法則求解即可.【詳解】解:(1).(2).【點(diǎn)睛