合肥市第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

合肥市第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知平面向量，則與同向的單位向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)求得，再根據(jù)結(jié)論：與同向的單位向量為，運(yùn)算求解．【詳解】∵，則∴與同向的單位向量為∴故選：C．2.如果復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù)，那么z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，結(jié)合純虛數(shù)即可求解結(jié)果．【詳解】∵z為純虛數(shù)，∴，∴∴z虛部為故選：A3.如圖，已知正方體的棱長為2，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.直線與為異面直線 B.平面C.平面平面 D.三棱錐的體積為【答案】D【解析】【分析】對于A：根據(jù)異面直線定義理解判斷；對于B：根據(jù)平行四邊形判斷和性質(zhì)可證，結(jié)合線面平行的判斷定理理解判斷；對于C：可證平面，平面，結(jié)合面面平行的判定定理理解判斷；對于D：根據(jù)錐體體積公式運(yùn)算判斷．【詳解】根據(jù)異面直線的定義易知直線與為異面直線，A正確；∵且，則為平行四邊形∴平面，平面∴平面，B正確；同理可證：平面，平面平面，C正確，D錯(cuò)誤故選：D．4.甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，這些小球除顏色外完全相同，從甲、乙兩袋中各任取1個(gè)球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.2個(gè)球顏色相同的概率為 B.2個(gè)球不都是紅球的概率為C.至少有1個(gè)紅球的概率為 D.2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件和對立事件的概率的計(jì)算公式依次求出每個(gè)選項(xiàng)對應(yīng)的概率即可.【詳解】從甲袋中任取1個(gè)球，該球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，該球?yàn)榧t球的概率為，從乙袋中取1個(gè)球，該球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，該球?yàn)榧t球的概率為．對于A選項(xiàng)，2個(gè)球顏色相同的概率為，A對；對于B選項(xiàng)，2個(gè)球不都是紅球的概率為，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，至少有1個(gè)紅球的概率為，C對；對干D選項(xiàng)，2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為，D對．故選：B5.在中，角所對的邊分別為，若，則（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，利用正弦定理得到求解.【詳解】因?yàn)樵谥?，，所以因?yàn)椋?，因?yàn)閯t,或故選：D6.已知在三棱錐M-ABC中，MA⊥平面ABC，，且為直角三角形，則該三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，又由為直角三角形，可得，于是有BC⊥平面MAB，所以MC的中點(diǎn)O到M，A，B，C四點(diǎn)距離相等，即為四面體M-ABC外接球球心，求出的長度即可知球半徑，再根據(jù)球的體積公式計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)镸A⊥平面ABC，平面ABC，所以，同理，又，且為直角三角形，所以，又，AB，平面MAB，所以BC⊥平面MAB，又平面MAB，所以，所以MC的中點(diǎn)O到M，A，B，C四點(diǎn)距離相等，即為四面體M-ABC外接球球心，又由已知得，，所以該三棱錐的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球體積為．

故選：B.7.如圖所示，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，滿足：，與的夾角為，且，與的夾角為45°，若，則（）

A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量加法的平行四邊形法則可得，結(jié)合正弦定理可得，根據(jù)題意運(yùn)算求解．【詳解】如圖根據(jù)向量加法的平行四邊法則可設(shè)：則∴在△中，由正弦定理可得：∵且為銳角，則∴故選：C．

8.等邊的邊長為，過點(diǎn)的直線與過的平面交于點(diǎn)．將平面繞轉(zhuǎn)動（不與平面重合），且三條直線、、與平面所成的角始終相等．當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，連接、、，推導(dǎo)出，為的外心，分析可知當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大，利用正弦定理求出的長，即可求得與平面所成角的余弦值.【詳解】如下圖所示：設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，連接、、，由題意可知平面，則，又因?yàn)椋?，所以，，所以，，，則為的外心，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大，、平面，，，所以，，由余弦定理可得，則，所以，，易知直線與平面所成角為，且，因此，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，與平面所成角的余弦值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.如下四個(gè)命題中，說法正確的是（）A.向量的長度與向量的長度相等；B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；C.兩個(gè)公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；D.向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)平面向量的相關(guān)概念判斷即可.【詳解】向量與向量是互為相反向量，所以A選項(xiàng)正確，選項(xiàng)B顯然正確，選項(xiàng)C顯然錯(cuò)誤，選項(xiàng)D，也有可能直線AB與直線CD平行；故選：AB10.盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件A＝“兩個(gè)球顏色相同”，B＝“第1次取出的是紅球”，C＝“第2次取出的是紅球”，D＝“兩個(gè)球顏色不同”．則下列說法正確的是（）A.A與B相互獨(dú)立 B.A與D互為對立 C.B與C互斥 D.B與D相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)2個(gè)紅球?yàn)?，?個(gè)白球?yàn)?，，運(yùn)用列舉法得出樣本空間，及事件A、B、C、D，根據(jù)事件相互獨(dú)立、互斥、對立的概念，逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：設(shè)2個(gè)紅球?yàn)?，?個(gè)白球?yàn)椋?，則樣本空間為，共12個(gè)基本事件，事件，共4個(gè)基本事件；事件，共6個(gè)基本事件；事件，共6個(gè)基本事件；事件，共8個(gè)基本事件；A．由于，，，故成立，所以A與B相互獨(dú)立，故A正確；B．由于，，故A與D是對立事件，故B正確；C．由于，故B與C不互斥，故C不正確；D．由于，，，故成立，所以B與D相互獨(dú)立，故D正確.故選：ABD.11.在銳角三角形ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C所對的三邊，則下列結(jié)論成立的是（）A.若，則 B.若，則B的取值范圍是C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理判斷A；由角形為銳角三角形，，所以，即有，根據(jù)可得的范圍，從而判斷B；由，可得，進(jìn)而得，從而判斷C；由，可得，從而判斷D.【詳解】解：對于選項(xiàng)A，因?yàn)锳>B，所以有,所以，故正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，則，所以，由可得的取值范圍是，故錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，銳角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正確；對于選項(xiàng)D，銳角三角形ABC中，因?yàn)?，即，，又∵，∴，故正確．故選：ACD．12.正方體中，下列說法正確的是（）A.在空間中，過作與夾角都為60°的直線可以作4條B.在空間中，過作與夾角都為45°的直線可以作4條C.棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，在空間中，能且只能作一條直線與直線，，都相交D.在空間中，過與直線，，夾角都相等的直線有4條【答案】AD【解析】【分析】對于選項(xiàng)A、B、D，通過直線在空間中的位置關(guān)系進(jìn)行判斷；對于選項(xiàng)C，可以找到不止一條直線與都相交.【詳解】記過且與夾角都相等的角為，則，夾角都為60°的直線有4條，A正確；夾角都為45°的直線有2條，所以B錯(cuò)誤；過與直線，CD，夾角都相等的直線有4條，所以D正確；如圖所示，直線分別延長之后與，，都相交；事實(shí)上，可以在直線CD上任取一點(diǎn)，都可以作出一條直線與，EF都相交的直線，所以可以作無數(shù)條，故C錯(cuò)誤．故選：AD.【點(diǎn)睛】本題借助正方體考查空間中直線與直線所成的角和直線與直線的位置關(guān)系，解答此類題目時(shí)，可以從以下兩個(gè)角度思考：(1)在正方體（或其它特殊幾何體）中，找到符合要求的直線，即可對選項(xiàng)作出判斷；(2)空間中與兩條直線所形成的角度相等的直線，構(gòu)成兩個(gè)平面，在這兩個(gè)平面上尋找符合要求的直線即可.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.研究下列問題：①合肥市今年“八一”前后的氣溫；②某種新型電路元件使用壽命的測定；③“安徽新聞聯(lián)播”的收視率；④近年來我國大學(xué)生入學(xué)人數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)．其中，通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)的是__________．（填寫問題對應(yīng)的序號）【答案】②【解析】【分析】根據(jù)獲取數(shù)據(jù)的途徑：調(diào)查獲取數(shù)據(jù)、通過觀察獲取數(shù)據(jù)、通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)和通過查詢獲得數(shù)據(jù)，對①②③④作出判斷即可.【詳解】①通過觀察獲取數(shù)據(jù)，③通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)，④通過查詢獲得數(shù)據(jù)，只有②通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)．故答案為：②.14.銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理，求得角A，進(jìn)而可得面積S表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合條件，即可得答案.【詳解】由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)殇J角，所以，所以.故答案為：15.已知圓O的半徑為2，A為圓內(nèi)一點(diǎn)，，B，C為圓O上任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角函數(shù)有界性得到取值范圍.【詳解】如圖，連接，設(shè)為和的夾角．則，且，，由，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值為10．所以的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】向量的數(shù)量積問題，通常處理思路：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）利用向量基本定理對向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解；（3）利用極化恒等式求解16.在側(cè)棱長為，底面邊長為2的正三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，M，N分別為PE和平面PAF上的動點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn),連接交于點(diǎn),,易證得面,要求的最小,即求最小,可得平面，又可證明∥,再把平面繞旋轉(zhuǎn),與面共面,.結(jié)合數(shù)據(jù)解三角形即可.【詳解】解：取中點(diǎn),連接交于點(diǎn),,易證得面,要求的最小,即求最小,可得平面，又可證明∥,再把平面繞旋轉(zhuǎn),與面共面,又可證得.因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以,所以，即，所以,所以,可得，.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即得；（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模即二次不等式即得.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，．【小問2詳解】∵，于是，又，所以，即，解得．18.已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）或；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示可得答案；（2）根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.【小問1詳解】∵，又，∴，即．又，∴或；【小問2詳解】∵，，若，則，即，∴．由得，得．∴當(dāng)時(shí)，．19.（1）樹人中學(xué)高一（1）班50名同學(xué)期中考試（100分制）數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間是，，，，，，試求數(shù)學(xué)成績的分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）樹人中學(xué)組建足球隊(duì)備戰(zhàn)全市高中生足球聯(lián)賽．隊(duì)員分別來自高一、高二兩個(gè)年級，且高一年級隊(duì)員占隊(duì)員總數(shù)的．已知高一年級隊(duì)員體重（單位：kg）的平均數(shù)為70，方差為300；高二年級隊(duì)員體重的平均數(shù)為60，方差為200．求足球隊(duì)全體隊(duì)員體重的平均數(shù)及方差．【答案】（1）；（2）平均數(shù)為；方差為．【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，每個(gè)長方形的面積之和為，求出的值，進(jìn)而根據(jù)百分位數(shù)的求解方法得出分位數(shù)；（2）根據(jù)各個(gè)樣本的平均數(shù)與方差求解總的樣本平均數(shù)與方差，直接代入公式即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知：，解得：，于是，占比，占比，占比，故數(shù)學(xué)成績的80%分位數(shù)為；（2）由題意知：高一隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，，高二年級隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，，全部隊(duì)員體重的平均數(shù)為．全部隊(duì)員的體重的方差為：．20.在△ABC中，a，b，c分別A，B，C所對邊，．（1）求A；（2）若，求BC邊上的高．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換或正、余弦定理即可.(2)利用余弦定理以及三角形的面積公式求解.【小問1詳解】由可得，則，方法一：，即．因?yàn)樵谥?，，，且，同號，所以，即．方法二：同上，得，由正弦定理得由余弦定理得整理得，則，則，又，故．【小問2詳解】由（1）知，．由余定理得，即，所以．于是，．設(shè)BC邊上的高為h，則，即，，即BC邊上的高為．21.一個(gè)盒中裝有紅、白兩種顏色的玻璃球，其中紅球3個(gè)，白球2個(gè)．（1）若一次從盒中隨機(jī)取出2個(gè)玻璃球，求至少取到一個(gè)白色球的概率；（2）依次從盒中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)，取后不放回．當(dāng)某種顏色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是紅色玻璃球的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）給5個(gè)球編號，利用古典概率公式結(jié)合列舉法求解作答.（2）求出最后取出紅球和取出白球的不同取法數(shù)，再利用古典概率公式計(jì)算作答.【小問1詳解】記3個(gè)紅球?yàn)椋?個(gè)白球?yàn)?，從盒中一次取?個(gè)玻璃球，不同結(jié)果有：，共10個(gè)，至少取到一個(gè)白色球的不同結(jié)果有：，共7個(gè)，所以至少取到一個(gè)白色球的概率.【小問2詳解】依題意，紅球全部取出后停止取球有：取球三次有1種方法；取球四次，則前三次取白球一次，有3種方法，因此，紅球全部取出后停止取球的不同方法有4種，白球