2024-2024年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題及詳細(xì)解析答案_第1頁
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文檔簡介

2024年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題〔本大題共有10小題,每題只有一個正確答案,將正確答案的序號填入題干后的括號里,多項選擇、不選、錯選均不得分,每題5分,共50分〕1.,那么可化簡為〔〕A.B.C.D.2.如果復(fù)數(shù)的模為4,那么實(shí)數(shù)a的值為〔〕2B.C.D.3.設(shè)A,B為兩個互不相同的集合,命題P:,命題q:或,那么p是q的〔〕A.充分且必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.非充分且非必要條件4.過橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角為弦AB,那么為〔〕A.B.C.D.5.函數(shù),那么該函數(shù)為〔〕單調(diào)增加函數(shù)、奇函數(shù)B.單調(diào)遞減函數(shù)、偶函數(shù)C.單調(diào)增加函數(shù)、偶函數(shù)D.單調(diào)遞減函數(shù)、奇函數(shù)6.設(shè)有一立體的三視圖如下,那么該立體體積為〔A〕2231223122122正視圖側(cè)視圖俯視圖〔圓和正方形〕A.4+B.4+C.4+D.4+7.某程序框圖如右圖所示,現(xiàn)將輸出〔值依次記為:假設(shè)程序運(yùn)行中輸出的一個數(shù)組是那么數(shù)組中的〔〕A.64B.32C.16D.88.在平面區(qū)域上恒有,那么動點(diǎn)所形成平面區(qū)域的面積為〔〕A.4B.8C.16D.329.函數(shù)在上有兩個零點(diǎn),那么m的取值范圍為〔〕A.BC.D.10.,那么的解為〔〕A.或B.或C.或D.二、填空題〔本大題共有7小題,將正確答案填入題干后的橫線上,每空7分,共49分〕11.函數(shù)的最小正周期為__________。12.等差數(shù)列前15項的和=30,那么=__________.13.向量,,,那么的取值范圍為。14.直三棱柱,底面是正三角形,P,E分別為,上的動點(diǎn)〔含端點(diǎn)〕,D為BC邊上的中點(diǎn),且。那么直線的夾角為__。15.設(shè)為實(shí)數(shù),那么____________。16.馬路上有編號為1,2,3,…,2024的2024只路燈,為節(jié)約用電要求關(guān)閉其中的300只燈,但不能同時關(guān)閉相鄰兩只,也不能關(guān)閉兩端的路燈,那么滿足條件的關(guān)燈方法共有_________種?!灿媒M合數(shù)符號表示〕17.設(shè)為整數(shù),且,那么__。三、解答題〔本大題共3小題,每題17分,共計51分〕18.設(shè),求在上的最大值和最小值。19.給定兩個數(shù)列,滿足,,。證明對于任意的自然數(shù)n,都存在自然數(shù),使得。20.橢圓,過其左焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),D為右側(cè)一點(diǎn),連AD、BD分別交橢圓左準(zhǔn)線于M,N。假設(shè)以MN為直徑的圓恰好過,求a的值。2024年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽參考解答與評分標(biāo)準(zhǔn)1.解答:因為,所以=。正確答案為D。2.解答:由題意得。正確答案為C。3.解答:P是q的充分非必要條件。正確答案為B。4.解答:橢圓的右焦點(diǎn)為〔1,0〕,那么弦AB為代入橢圓方程得。正確答案為C。5.解答:由單調(diào)性和奇偶性定義知道函數(shù)為單調(diào)增加的奇函數(shù)。正確答案為A。6.解答:該幾何體是一個圓柱與一個長方體的組成,其中重疊了一局部〔〕,所以該幾何體的體積為。正確答案為A。7.答案經(jīng)計算。正確答案為B。8.解答:平面區(qū)域的四個邊界點(diǎn)〔—1,—1〕,〔—1,1〕,〔1,—1〕,〔1,1〕滿足,即有,由此計算動點(diǎn)所形成平面區(qū)域的面積為4。正確答案為A。9.解答:問題等價于函數(shù)與直線在上有兩個交點(diǎn),所以m的取值范圍為。正確答案為C。10.解答:不等式的左端看成的一次函數(shù),由或。正確答案為C。11.解答:最小正周期為4。12.解答:由,而。13.解答:=,其最大值為3,最小值為1,取值范圍為[1,3]。14.解答:因為平面ABC⊥平面,AD⊥BC,所以AD⊥平面,所以AD⊥PE,又PE⊥PD,PE⊥平面APD,所以PE⊥PD。即夾角為。15.解答:16.解答:問題等價于在1711只路燈中插入300只暗燈,所以共有種關(guān)燈方法。17.解答:將代入得到,因為都是整數(shù),所以前兩個方程組無解;后兩個方程組解得。所以3或57。18.解答:當(dāng)當(dāng)由此可知。當(dāng);當(dāng);當(dāng)。19.解答:由得到:為等比數(shù)列,首項為2,公比為2,所以。又由,由,所以取即可。20.解答:。設(shè),由得設(shè)。由M、A、D共線。又,得=整理得。2024年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷說明:本試卷分為A卷和B卷:A卷由本試卷的22題組成,即10道選擇題,7道填空題、3道解答題和2道附加題;B卷由本試卷的前20題組成,即10道選擇題,7道填空題和3道解答題。一、選擇題〔本大題共有10小題,每題只有一個正確答案,將正確答案的序號填入題干后的括號里,多項選擇、不選、錯選均不得分,每題5分,共50分〕1.化簡三角有理式的值為 〔〕 A.1 B. C. D.1+2.假設(shè),那么是的 〔〕 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.集合P={},那么集合為 〔〕 A. B. C. D.4.設(shè),為兩個相互垂直的單位向量。=,=,=r+k.假設(shè)△PQR為等邊三角形,那么k,r的取值為 〔〕 A. B. C. D.5.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,假設(shè)AB=BB1,那么CA1與C1B所成的角的大小是〔〕 A.60° B.75° C.90° D.105°6.設(shè),分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列,且,那么以下結(jié)論正確的選項是 〔〕 A. B. C. D.7.假設(shè)的二項式展開式中系數(shù)最大的項為 〔〕 A.第8項 B.第9項 C.第8項和第9項 D.第11項8.設(shè),,那么下述關(guān)系式正確的選項是 〔〕 A. B. C. D.9.下面為某一立體的三視圖,那么該立體的體積為 〔〕正視圖:半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖:半徑為1的正視圖:半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖:半徑為1的圓以及高為1的矩形俯視圖:半徑為1的圓 A. B. C. D.10.設(shè)有算法如下:如果輸入A=144,B=39,那么輸出的結(jié)果是 〔〕 A.144 B.3 C.0 D.12二、填空題〔本大題共有7小題,將正確答案填入題干后的橫線上,每空7分,共49分〕11.滿足方程所有實(shí)數(shù)解為。12.函數(shù)的最小正周期為.13.設(shè)P是圓上一動點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為。當(dāng)P在圓上運(yùn)動時,線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程為.14.設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點(diǎn)D,使得AD把△ABC分成兩個等腰三角形,試求△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為.15.設(shè)z是虛數(shù),,且,那么z的實(shí)部取值范圍為.16.設(shè)。如果對任何,都有,那么k的最小值為.17.設(shè),。當(dāng)函數(shù)的零點(diǎn)多于1個時,在以其最小零點(diǎn)與最大零點(diǎn)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的最大值為.三、解答題〔本大題共有3小題,每題17分,共51分〕18.設(shè)數(shù)列,問:〔1〕這個數(shù)列第2024項的值是多少;〔2〕在這個數(shù)列中,第2024個值為1的項的序號是多少.19.設(shè)有紅、黑、白三種顏色的球各10個?,F(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰住⒁覂蓚€袋子中,要求每個袋子里三種顏色球都有,且甲乙兩個袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。問共有多少種放法。20.橢圓,以〔0,1〕為直角頂點(diǎn),邊AB、BC與橢圓交于兩點(diǎn)B、C。假設(shè)△ABC面積的最大值為,求的值。四、附加題:〔本大題共有2小題,每題25分,共50分?!?1.設(shè)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn)。記。證明:。22.〔1〕設(shè),平面上的點(diǎn)如其坐標(biāo)都是整數(shù),那么稱之為格點(diǎn)。今有曲線過格點(diǎn)〔n,m〕,記對應(yīng)的曲線段上的格點(diǎn)數(shù)為N。證明:?!?〕進(jìn)而設(shè)a是一個正整數(shù),證明:?!沧⒈硎静怀^x的最大整數(shù)〕參考答案1.解答為A。。也可以用特殊值法2.解答為B。p成立,所以p成立,推不出q一定成立。3.解答:D。畫數(shù)軸,由絕對值的幾何意義可得,。4.解答.C.,即。5.解答:C。建立空間直角坐標(biāo)系,以所在的直線為軸,在平面上垂直于的直線為軸,所在的直線為軸。那么,。6.解答:A。。7.解答:D.,r=10,第11項最大。8.解答:D。函數(shù)為偶函數(shù),在〔0,〕上,為減函數(shù),而,,所以。9.解答:C.根據(jù)題意,該立體圖為圓柱和一個1/4的球的組合體。10.解答B(yǎng)〔1〕A=144,B=39,C=27:〔2〕A=39,B=27,C=12:〔3〕A=27,B=12,C=3:〔4〕A=12,B=3,C=0。所以A=3。二、填空題〔本大題共有7小題,將正確答案填入題干后的橫線上,每空7分,共49分〕11.。解答變形得,解得。12..解答。13..解答設(shè)M的坐標(biāo)為,因為P點(diǎn)在圓上,所以所以P點(diǎn)軌跡為。14.30<x<45或22.5<x<30.解答如圖,〔1〕AD=AC=BD;〔2〕DC=AC,AD=BD。ACACDB〔1〕ACACDB〔2〕在〔1〕中,設(shè)最小的角為x,那么2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45;在〔2〕中,設(shè)最小的角為x,那么3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<3015..解答設(shè)當(dāng),無解;當(dāng)。16..解答分子,所以k的最小值為。17.0或q.解答因為函數(shù)為偶函數(shù),由對稱性以及圖象知道,在以其最小零點(diǎn)與最大零點(diǎn)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的最大值0或q。三、解答題〔本大題共有3小題,每題17分,共51分〕18.解〔1〕將數(shù)列分組:因為1+2+3+…+62=1953;1+2+3+…+63=2024,所以數(shù)列的第2024項屬于第63組倒數(shù)第7個數(shù),即為。---------10分〔2〕由以上分組可以知道,每個奇數(shù)組中出現(xiàn)一個1,所以第2024個1出現(xiàn)在第4019組,而第4019組中的1位于該組第2024位,所以第2024個值為1的項的序號為〔1+2+3+…+4018〕+2024=809428。------------17分19.解:設(shè)甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數(shù)為,那么有,且〔*1〕-----------------5分即有?!?2〕于是有。因此中必有一個取5。不妨設(shè),代入〔*1〕式,得到。----------------10分此時,y可取1,2,…,8,9〔相應(yīng)地z取9,8,…,2,1〕,共9種放法。同理可得y=5或者z=5時,也各有9種放法,但有時二種放法重復(fù)。因此可得共有9×3-2=25種放法。---------------------17分20.解:不妨設(shè)的方程,那么的方程為。由得:由得:從而有--------5分于是。令,有---------10分因為時等號成立。因此當(dāng)-------------14分令---------17分四、附加題:〔本大題共有2小題,每題25分,共50分。〕21.證明由---------5分。----------10分所以,=。----20分因此,等號成立,當(dāng)且僅當(dāng),D與C重合,或E與A重合,或F與B重合。-----25分22.證明〔1〕考慮區(qū)域且該區(qū)域上的格點(diǎn)為nm

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