2024-2024年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題及詳細(xì)解析答案

2024年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題〔本大題共有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填入題干后的括號里，多項選擇、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分〕1.，那么可化簡為〔〕A．B.C.D.2．如果復(fù)數(shù)的模為4，那么實(shí)數(shù)a的值為〔〕2B.C.D.3.設(shè)A，B為兩個互不相同的集合，命題P：，命題q：或，那么p是q的〔〕A.充分且必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.非充分且非必要條件4.過橢圓的右焦點(diǎn)作傾斜角為弦AB，那么為〔〕A.B.C.D.5.函數(shù)，那么該函數(shù)為〔〕單調(diào)增加函數(shù)、奇函數(shù)B.單調(diào)遞減函數(shù)、偶函數(shù)C.單調(diào)增加函數(shù)、偶函數(shù)D.單調(diào)遞減函數(shù)、奇函數(shù)6.設(shè)有一立體的三視圖如下，那么該立體體積為〔A〕2231223122122正視圖側(cè)視圖俯視圖〔圓和正方形〕A.4+B.4+C.4+D.4+7．某程序框圖如右圖所示，現(xiàn)將輸出〔值依次記為：假設(shè)程序運(yùn)行中輸出的一個數(shù)組是那么數(shù)組中的〔〕A．64B．32C．16D．88.在平面區(qū)域上恒有，那么動點(diǎn)所形成平面區(qū)域的面積為〔〕A.4B.8C.16D.329.函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，那么m的取值范圍為〔〕A.BC.D.10.，那么的解為〔〕A.或B.或C.或D.二、填空題〔本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分〕11.函數(shù)的最小正周期為__________。12.等差數(shù)列前15項的和=30，那么=__________.13.向量，，，那么的取值范圍為。14.直三棱柱，底面是正三角形，P，E分別為，上的動點(diǎn)〔含端點(diǎn)〕,D為BC邊上的中點(diǎn)，且。那么直線的夾角為__。15．設(shè)為實(shí)數(shù)，那么____________。16.馬路上有編號為1，2，3，…，2024的2024只路燈，為節(jié)約用電要求關(guān)閉其中的300只燈，但不能同時關(guān)閉相鄰兩只，也不能關(guān)閉兩端的路燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有_________種?！灿媒M合數(shù)符號表示〕17.設(shè)為整數(shù)，且，那么__。三、解答題〔本大題共3小題，每題17分，共計51分〕18.設(shè)，求在上的最大值和最小值。19.給定兩個數(shù)列，滿足，，。證明對于任意的自然數(shù)n，都存在自然數(shù)，使得。20.橢圓，過其左焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，D為右側(cè)一點(diǎn)，連AD、BD分別交橢圓左準(zhǔn)線于M,N。假設(shè)以MN為直徑的圓恰好過，求a的值。2024年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽參考解答與評分標(biāo)準(zhǔn)1．解答：因為，所以=。正確答案為D。2．解答：由題意得。正確答案為C。3．解答：P是q的充分非必要條件。正確答案為B。4.解答：橢圓的右焦點(diǎn)為〔1，0〕，那么弦AB為代入橢圓方程得。正確答案為C。5.解答：由單調(diào)性和奇偶性定義知道函數(shù)為單調(diào)增加的奇函數(shù)。正確答案為A。6.解答：該幾何體是一個圓柱與一個長方體的組成，其中重疊了一局部〔〕，所以該幾何體的體積為。正確答案為A。7.答案經(jīng)計算。正確答案為B。8.解答：平面區(qū)域的四個邊界點(diǎn)〔—1，—1〕，〔—1，1〕，〔1，—1〕，〔1，1〕滿足，即有,由此計算動點(diǎn)所形成平面區(qū)域的面積為4。正確答案為A。9.解答：問題等價于函數(shù)與直線在上有兩個交點(diǎn)，所以m的取值范圍為。正確答案為C。10.解答：不等式的左端看成的一次函數(shù)，由或。正確答案為C。11.解答：最小正周期為4。12.解答：由，而。13.解答：=，其最大值為3，最小值為1，取值范圍為[1，3]。14.解答：因為平面ABC⊥平面，AD⊥BC，所以AD⊥平面，所以AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夾角為。15.解答：16.解答：問題等價于在1711只路燈中插入300只暗燈，所以共有種關(guān)燈方法。17.解答：將代入得到，因為都是整數(shù)，所以前兩個方程組無解；后兩個方程組解得。所以3或57。18.解答：當(dāng)當(dāng)由此可知。當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)。19.解答：由得到：為等比數(shù)列，首項為2，公比為2，所以。又由，由，所以取即可。20.解答：。設(shè)，由得設(shè)。由M、A、D共線。又，得=整理得。2024年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷說明：本試卷分為A卷和B卷：A卷由本試卷的22題組成，即10道選擇題，7道填空題、3道解答題和2道附加題；B卷由本試卷的前20題組成，即10道選擇題，7道填空題和3道解答題。一、選擇題〔本大題共有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填入題干后的括號里，多項選擇、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分〕1．化簡三角有理式的值為 〔〕 A．1 B． C． D．1+2．假設(shè)，那么是的 〔〕 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．集合P={}，那么集合為 〔〕 A． B． C． D．4．設(shè),為兩個相互垂直的單位向量。=，=，=r+k.假設(shè)△PQR為等邊三角形，那么k，r的取值為 〔〕 A． B． C． D．5．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，假設(shè)AB=BB1，那么CA1與C1B所成的角的大小是〔〕 A．60° B．75° C．90° D．105°6．設(shè)，分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且，那么以下結(jié)論正確的選項是 〔〕 A． B． C． D．7．假設(shè)的二項式展開式中系數(shù)最大的項為 〔〕 A．第8項 B．第9項 C．第8項和第9項 D．第11項8．設(shè)，，那么下述關(guān)系式正確的選項是 〔〕 A． B． C． D．9．下面為某一立體的三視圖，那么該立體的體積為 〔〕正視圖：半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖：半徑為1的正視圖：半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖：半徑為1的圓以及高為1的矩形俯視圖：半徑為1的圓 A． B． C． D．10．設(shè)有算法如下：如果輸入A=144,B=39,那么輸出的結(jié)果是 〔〕 A．144 B．3 C．0 D．12二、填空題〔本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分〕11．滿足方程所有實(shí)數(shù)解為。12．函數(shù)的最小正周期為．13．設(shè)P是圓上一動點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為。當(dāng)P在圓上運(yùn)動時，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程為.14．設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點(diǎn)D，使得AD把△ABC分成兩個等腰三角形，試求△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為.15．設(shè)z是虛數(shù)，，且，那么z的實(shí)部取值范圍為.16．設(shè)。如果對任何，都有，那么k的最小值為.17．設(shè)，。當(dāng)函數(shù)的零點(diǎn)多于1個時，在以其最小零點(diǎn)與最大零點(diǎn)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的最大值為.三、解答題〔本大題共有3小題，每題17分，共51分〕18．設(shè)數(shù)列，問：〔1〕這個數(shù)列第2024項的值是多少；〔2〕在這個數(shù)列中，第2024個值為1的項的序號是多少.19．設(shè)有紅、黑、白三種顏色的球各10個?，F(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰住⒁覂蓚€袋子中，要求每個袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。問共有多少種放法。20．橢圓，以〔0，1〕為直角頂點(diǎn)，邊AB、BC與橢圓交于兩點(diǎn)B、C。假設(shè)△ABC面積的最大值為，求的值。四、附加題：〔本大題共有2小題，每題25分，共50分?！?1．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)。記。證明：。22．〔1〕設(shè)，平面上的點(diǎn)如其坐標(biāo)都是整數(shù)，那么稱之為格點(diǎn)。今有曲線過格點(diǎn)〔n，m〕，記對應(yīng)的曲線段上的格點(diǎn)數(shù)為N。證明：?！?〕進(jìn)而設(shè)a是一個正整數(shù)，證明：?！沧⒈硎静怀^x的最大整數(shù)〕參考答案1．解答為A。。也可以用特殊值法2．解答為B。p成立，所以p成立，推不出q一定成立。3．解答：D。畫數(shù)軸，由絕對值的幾何意義可得，。4．解答．C．，即。5．解答：C。建立空間直角坐標(biāo)系，以所在的直線為軸，在平面上垂直于的直線為軸，所在的直線為軸。那么，。6．解答：A。。7．解答：D．，r=10，第11項最大。8．解答：D。函數(shù)為偶函數(shù)，在〔0，〕上，為減函數(shù)，而，，所以。9．解答：C．根據(jù)題意，該立體圖為圓柱和一個1/4的球的組合體。10．解答B(yǎng)〔1〕A=144，B=39，C=27：〔2〕A=39，B=27，C=12：〔3〕A=27，B=12，C=3：〔4〕A=12，B=3，C=0。所以A=3。二、填空題〔本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分〕11．。解答變形得，解得。12．．解答。13．.解答設(shè)M的坐標(biāo)為，因為P點(diǎn)在圓上，所以所以P點(diǎn)軌跡為。14．30<x<45或22.5<x<30.解答如圖，〔1〕AD=AC=BD；〔2〕DC=AC，AD=BD。ACACDB〔1〕ACACDB〔2〕在〔1〕中，設(shè)最小的角為x，那么2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45；在〔2〕中，設(shè)最小的角為x，那么3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<3015．.解答設(shè)當(dāng)，無解；當(dāng)。16．.解答分子，所以k的最小值為。17．0或q.解答因為函數(shù)為偶函數(shù)，由對稱性以及圖象知道，在以其最小零點(diǎn)與最大零點(diǎn)為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的最大值0或q。三、解答題〔本大題共有3小題，每題17分，共51分〕18．解〔1〕將數(shù)列分組：因為1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2024，所以數(shù)列的第2024項屬于第63組倒數(shù)第7個數(shù)，即為。---------10分〔2〕由以上分組可以知道，每個奇數(shù)組中出現(xiàn)一個1，所以第2024個1出現(xiàn)在第4019組，而第4019組中的1位于該組第2024位，所以第2024個值為1的項的序號為〔1+2+3+…+4018〕+2024=809428。------------17分19．解：設(shè)甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數(shù)為，那么有，且〔*1〕-----------------5分即有?！?2〕于是有。因此中必有一個取5。不妨設(shè)，代入〔*1〕式，得到。----------------10分此時，y可取1，2，…，8，9〔相應(yīng)地z取9，8，…，2，1〕，共9種放法。同理可得y=5或者z=5時，也各有9種放法，但有時二種放法重復(fù)。因此可得共有9×3－2=25種放法。---------------------17分20．解：不妨設(shè)的方程，那么的方程為。由得：由得：從而有--------5分于是。令，有---------10分因為時等號成立。因此當(dāng)-------------14分令---------17分四、附加題：〔本大題共有2小題，每題25分，共50分。〕21．證明由---------5分。----------10分所以，=。----20分因此，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，D與C重合，或E與A重合，或F與B重合。-----25分22．證明〔1〕考慮區(qū)域且該區(qū)域上的格點(diǎn)為nm