高中數(shù)學《第四章 數(shù)列》單元測試卷與答案解析（共四套）

高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元測試卷（一）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．設(shè)數(shù)列的前項和為，則的值為（）A．B．C．D．2．在與之間插入兩個數(shù)，，使得，，，，成等比數(shù)列，則（）A．B．C．D．3．在等比數(shù)列中，，則（）A．B．C．D．34．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（）A．3B．4C．2D．85．已知數(shù)列滿足，，，則（）A．B．C．D．36．若1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)列，則的值為（）A．B．C．1D．7．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．51B．57C．54D．728．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則必定有（）A．，且B．，且C．，且D．，且9．等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列.若，則（）A．15B．7C．8D．1610．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A．103B．107C．109D．105二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．用數(shù)學歸納法證明：，在驗證時，等式左邊為________.12．在等差數(shù)列中，，那么等于______.13．已知等比數(shù)列的前n項和為，，則數(shù)列的公比__________．14．在等比數(shù)列{an}中，已知a1，a4＝12，則q＝_____；an＝_____．15．等差數(shù)列的前n項和為，若，則______，的值是________．16．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則______，______.17．已知等差數(shù)列的首項為2，等比數(shù)列的公比為2，是數(shù)列的前項和，且，則__，__．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．小張在2020年初向建行貸款50萬元先購房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數(shù))？(提示：(1＋4%)10≈1.48)19．在等差數(shù)列中，已知，求通項公式及前項和.20．已知是等差數(shù)列，其中，公差，（1）求的通項公式.（2）求數(shù)列前n項和.21.為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最小值.22．已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．設(shè)數(shù)列的前項和為，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于數(shù)列的前項和，所以，，所以.故選：A2．在與之間插入兩個數(shù)，，使得，，，，成等比數(shù)列，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，，，成等比數(shù)列，所以，故選：D.3．在等比數(shù)列中，，則（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】設(shè)的公比為q，則，所以，所以(如果利用等比中項性質(zhì)求的話，要注意等比數(shù)列奇數(shù)項的保號性特點).故選：B.4．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（）A．3B．4C．2D．8【答案】C【解析】因為等比數(shù)列中，，所以，即，故選：C.5．已知數(shù)列滿足，，，則（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】將進行變形，得，則由得，，，，所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，又，所以，故選：A．6．若1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)列，則的值為（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】因為1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)，所以，所以的值為，故選：D.7．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．51B．57C．54D．72【答案】B【解析】，即故選：B8．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則必定有（）A．，且B．，且C．，且D．，且【答案】A【解析】依題意，有，則故選：.9．等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列.若，則（）A．15B．7C．8D．16【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，，成等差數(shù)列，所以，即，，，所以.故選：B10．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A．103B．107C．109D．105【答案】B【解析】根據(jù)題意可知正整數(shù)能被21整除余2，，.故選：B.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．用數(shù)學歸納法證明：，在驗證時，等式左邊為________.【答案】【解析】當時，等式左邊為.故答案為：.12．在等差數(shù)列中，，那么等于______.【答案】14【解析】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，解答，又由.故答案為：14.13．已知等比數(shù)列的前n項和為，，則數(shù)列的公比__________．【答案】【解析】由可得，故或，若故，若，則，故答案為：.14．在等比數(shù)列{an}中，已知a1，a4＝12，則q＝_____；an＝_____．【答案】2【解析】由題意得，，所以，由等比數(shù)列通項公式，.故答案為：2；15．等差數(shù)列的前n項和為，若，則______，的值是________．【答案】【解析】因為，，.故答案為：；.16．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則______，______.【答案】115【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式可知而,所以,解方程組可得所以所以故答案為:;17．已知等差數(shù)列的首項為2，等比數(shù)列的公比為2，是數(shù)列的前項和，且，則__，__．【答案】862【解析】等差數(shù)列的首項為2，公差設(shè)為，等比數(shù)列的公比為2，由，可得，則，即，可得，則，．故答案為：8，62．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．小張在2020年初向建行貸款50萬元先購房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數(shù))？(提示：(1＋4%)10≈1.48)【答案】每年至少要還6.17萬元.【解析】50萬元10年產(chǎn)生本息和與每年還x萬元的本息和相等，故有購房款50萬元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要還6.17萬元.19．在等差數(shù)列中，已知，求通項公式及前項和.【答案】，【解析】令等差數(shù)列的公差為，則由，知：，解之得；∴根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，有：，；20．已知是等差數(shù)列，其中，公差，（1）求的通項公式.（2）求數(shù)列前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）是等差數(shù)列，且，，；（2）.21.為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）；（2），時，的最小值為.【解析】（1）設(shè)的公差為，由，，即，解得，所以.（2），，所以當時，的最小值為.22．已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，因為，所以因此；（2）數(shù)列的前n項和高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元測試卷（二）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知等差數(shù)列的前n項和為，=5，則=（）A．5B．25C．35D．502．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，且，，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．B．C．D．與均為的最大值3．在等差數(shù)列中，，.記，則數(shù)列（）A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項4．在數(shù)列中，，，則（）A．B．C．D．35．古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何?”意思是：“女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這名女子每天分別織布多少?”某數(shù)學興趣小組依托某制造廠用織布機完全模擬上述情景，則從第一天開始，要使織布機織布的總尺數(shù)為165尺，則所需的天數(shù)為（）A．7B．8C．9D．106．已知等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項之和是（）A．B．C．D．7．數(shù)列中，，，則該數(shù)列中相鄰兩項的乘積是負數(shù)的是（）A．B．C．D．8．已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．9．設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）．A．B．C．D．10．已知數(shù)列，中滿足，，，若前項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是（）.A．8B．9C．11D．10二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知等比數(shù)列的公比，且，則_______________________.12．在《九章算術(shù)》中有一個古典名題“兩鼠穿墻”問題：今有垣厚若千尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半，若垣厚33尺，則兩鼠______日可相逢.13．朱載堉（1536-1611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍．設(shè)第三個音的頻率為，第七個音的頻率為，則______．14．如圖所示，某地區(qū)為了綠化環(huán)境，在區(qū)域內(nèi)大面積植樹造林，第棵樹在點處，第棵樹在點處，第棵樹在點處，第棵樹在點處，根據(jù)此規(guī)律按圖中箭頭方向每隔個單位種棵樹，那么：（1）第棵樹所在點的坐標是，則______；（2）第棵樹所在點的坐標是______．15．若對任意，都有，（n為正整數(shù)），則_______.______.16．在數(shù)列中，，且．（1）的通項公式為__________；（2）在這2019項中，被10除余2的項數(shù)為__________．17．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．大衍數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題，其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第19項的值為____．此數(shù)列的通項公式______．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知公差不為零的等差數(shù)列的前3項和為3，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足（，），．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和的表達式．20．已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．21．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式.（2）若記為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，數(shù)列的前項和為，求關(guān)于的不等式的最大正整數(shù)解.22．已知．（1）設(shè)，，求．（2）設(shè)，，且，問是否存在最小正整數(shù)，使得對任意，都有成立．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知等差數(shù)列的前n項和為，=5，則=（）A．5B．25C．35D．50【答案】B【解析】由題意可知，為等差數(shù)列，所以故選：B2．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，且，，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．B．C．D．與均為的最大值【答案】C【解析】由于，，所以，，，所以，與均為的最大值．而，所以，所以C選項結(jié)論錯誤．故選:C．3．在等差數(shù)列中，，.記，則數(shù)列（）A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.4．在數(shù)列中，，，則（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】∵，，∴，，，.∴該數(shù)列是周期數(shù)列，周期.又，∴，故選：A.5．古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何?”意思是：“女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這名女子每天分別織布多少?”某數(shù)學興趣小組依托某制造廠用織布機完全模擬上述情景，則從第一天開始，要使織布機織布的總尺數(shù)為165尺，則所需的天數(shù)為（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】設(shè)該女子第一天織布尺，則5天共織布，解得尺，在情境模擬下，設(shè)需要天織布總尺數(shù)達到165尺，則有整理得，解得.故選：D．6．已知等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項之和是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，解得，又由，解得，所以，則，數(shù)列的前項之和為.故選：.7．數(shù)列中，，，則該數(shù)列中相鄰兩項的乘積是負數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，則．要使，即，可得，，∴n=23．則該數(shù)列中相鄰兩項的乘積為負數(shù)的項是和，故選：C8．已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知對都有成立，即，即又數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，當時，，所以，，即，解得.即實數(shù)的取值范圍是故選：D9．設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以當時，，，，，將上式累加得：，，即，又時，也適合，．故選：B．10．已知數(shù)列，中滿足，，，若前項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是（）.A．8B．9C．11D．10【答案】D【解析】由題意可知：，即，即，又，，即數(shù)列是以首項為9，公比為的等比數(shù)列，，即，，，則，即，又，滿足不等式的最小整數(shù)，即.故選：D.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知等比數(shù)列的公比，且，則_______________________.【答案】【解析】等比數(shù)列的公比且.故答案為：.12．在《九章算術(shù)》中有一個古典名題“兩鼠穿墻”問題：今有垣厚若千尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半，若垣厚33尺，則兩鼠______日可相逢.【答案】6【解析】大老鼠打洞構(gòu)成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，小老鼠打洞構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列，設(shè)相遇時是第n天，則，即，即，令，在上是增函數(shù)，又，所以相遇時是第6天，故答案為：613．朱載堉（1536-1611）是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍．設(shè)第三個音的頻率為，第七個音的頻率為，則______．【答案】【解析】由題知：一個八度13個音，且相鄰兩個音之間的頻率之比相等，可以將每個音的頻率看作等比數(shù)列，一共13項，且，最后一個音是最初那個音的頻率的2倍，，，，．故答案為：14．如圖所示，某地區(qū)為了綠化環(huán)境，在區(qū)域內(nèi)大面積植樹造林，第棵樹在點處，第棵樹在點處，第棵樹在點處，第棵樹在點處，根據(jù)此規(guī)律按圖中箭頭方向每隔個單位種棵樹，那么：（1）第棵樹所在點的坐標是，則______；（2）第棵樹所在點的坐標是______．【答案】【解析】（1）設(shè)為第一個正方形，種植棵樹，依次下去，第二個正方形種植棵樹，第三個正方形種植棵樹，構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，個正方形有棵樹，由第棵樹所在點坐標是，則；（2）由（1）可知正方形種植的樹，它們構(gòu)成一個等差數(shù)列，公差為，故前個正方形共有棵樹，又，，，因此第棵樹在點處．15．若對任意，都有，（n為正整數(shù)），則_______.______.【答案】【解析】因為對任意，都有，（n為正整數(shù)），所以當時，，，所以，解得，所以或，所以是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以是以1為首項，以-1為公比的等比數(shù)列，所以，兩式聯(lián)立得：，故答案為：0，16．在數(shù)列中，，且．（1）的通項公式為__________；（2）在這2019項中，被10除余2的項數(shù)為__________．【答案】403【解析】（1），且，∴數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，，．（2）被10除且余數(shù)為2的整數(shù)可表示為，令，可得，，且奇數(shù)，∴n為10的倍數(shù)或為5的奇數(shù)倍且n為偶數(shù)．當n為10的倍數(shù)時，n的取值有10、20、30、…、2010，共201個；當為5的奇數(shù)倍且n為偶數(shù)時，n的取值有8、18、28…、2018，共202個．綜上所述，在這2019項中，被10除余2的項數(shù)為201+202=403．故答案為：；40317．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．大衍數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題，其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第19項的值為____．此數(shù)列的通項公式______．【答案】【解析】觀察前10項可得，，，，，，即當為奇數(shù)時，，所以；又，，，，，即當為偶數(shù)時，；所以.故答案為：；.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知公差不為零的等差數(shù)列的前3項和為3，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公差為，因為等差數(shù)列的前3項和為3，且，，成等比數(shù)列，所以解得∴.（2）∵，∴，，∴數(shù)列是首項為，公比為9的等比數(shù)列，∴.19．已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足（，），．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和的表達式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）正項數(shù)列的前n項和為，滿足（，），所以，整理得：，由于數(shù)列為正項數(shù)列，所以（常數(shù)），所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，易見也適合該式．由于，，當n為奇數(shù)時，，n為偶數(shù)時，，所以，，，，所以．20．已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，，則，，，又數(shù)列是等差數(shù)列，∴，化簡得，解得，則；（2）由（1）可知，當時，，，符合，當時，，，綜上，當時，．21．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式.（2）若記為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，數(shù)列的前項和為，求關(guān)于的不等式的最大正整數(shù)解.【答案】（1）證明見解析；；（2）8.【解析】（1）由取倒數(shù)得，即，所以為公差為的等差數(shù)列，.（2）當時，，所以這樣有個，，，，兩式相減得：，所以為遞增數(shù)列.，，，所以最大正整數(shù)解為8.22．已知．（1）設(shè)，，求．（2）設(shè)，，且，問是否存在最小正整數(shù)，使得對任意，都有成立．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）由得：，則，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，由可得，故．（2），，，由題干對任意，都有成立得，由得，，解得：，又為正整數(shù)，，綜上，存在，使得對任意，都有成立．高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元測試卷（三）題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+6（解答），滿分150分，時間：120分鐘一、單選題1．已知數(shù)列an的前4項為：l，-12，13，A．a(chǎn)n=1nB．a(chǎn)n2．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差為（）A．1B．-1C．2D．-23．已知數(shù)列，滿足，若，則（）A．B．C．D．4．在等比數(shù)列中，，則=A．或B．C．或D．或5．等比數(shù)列中（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．兩等差數(shù)列和，前n項和分別為，，且，則的值為（）A．B．C．D．7．函數(shù)的正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列，則（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)（），正項等比數(shù)列滿足，則A．99B．C．D．二、多選題9．無窮數(shù)列的前項和，其中，，為實數(shù)，則（）A．可能為等差數(shù)列B．可能為等比數(shù)列C．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列D．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列10．已知數(shù)列的首項為4，且滿足，則（）A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．的前項和D．的前項和11．已知無窮等差數(shù)列的前n項和為，，且，則（）A．在數(shù)列中，最大B．在數(shù)列中，或最大C．D．當時，12．將個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（）……A．B．C．D．三、填空題13．已知為等差數(shù)列,,前n項和取得最大值時n的值為___________.14．《九章算術(shù)》中有一個“兩鼠穿墻”的問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問幾何日相逢？各穿幾何？”其大意為：“今有一堵墻厚五尺，兩只老鼠從墻的兩邊沿一條直線相對打洞穿墻，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.問大、小老鼠幾天后相遇？各自打洞幾尺？”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則Sn=_____尺.15．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________．16．如圖，互不相同的點和分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等.設(shè).若，，則數(shù)列的通項公式是________.四、解答題17．設(shè)等差數(shù)列的前n項的和為，且，，求：（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前14項和.18．數(shù)列滿足，，（1）設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列（2）求數(shù)列的前項和.19．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的存在最大值，則求出最大值；若問題中的不存在最大值，請說明理由.問題：設(shè)是數(shù)列的前項和，且，__________，求的通項公式，并判斷是否存在最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.20．已知數(shù)列的前n項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．21．已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列，表示不超過的最大整數(shù)，求的前1000項和.22．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項和為，________，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求.答案解析一、單選題1．已知數(shù)列an的前4項為：l，-12，13，A．a(chǎn)n=1nB．a(chǎn)n=-1【答案】D【分析】分母與項數(shù)一樣，分子都是1，正負號相間出現(xiàn)，依此可得通項公式【詳解】正負相間用(-1)n-1表示，∴故選D．【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是尋找規(guī)律，尋找與項數(shù)有關(guān)的規(guī)律．2．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差為（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】A【分析】利用等差數(shù)列{an}的前n項和與通項公式列方程組，求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{an}的公差．【詳解】∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a3＝3，S6＝21，∴，解得a1＝1，d＝1．∴數(shù)列{an}的公差為1．故選A．【點睛】本題考查數(shù)列的公差的求法，考查等差數(shù)列的前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．已知數(shù)列，滿足，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用遞推公式計算出數(shù)列的前幾項，找出數(shù)列的周期，然后利用周期性求出的值.【詳解】，且，，，，所以，，則數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故選C.【點睛】本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列中的項，推導(dǎo)出數(shù)列的周期是解本題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4．在等比數(shù)列中，，則=A．或B．C．或D．或【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，又由，聯(lián)立方程組，解得的值，分類討論求解，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，又由，聯(lián)立方程組，解得或，當時，則，此時；當時，則，此時，故選A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．等比數(shù)列中（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及求和公式，等比數(shù)列的公比分析即可求出答案.【詳解】等比數(shù)列中，，當時，可得，及，故B正確；但和不能判斷大?。ㄕ摬淮_定），故A錯誤；當時，則，可得，即，可得，由于不確定，不能確定的大小，故CD錯誤.故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式和求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．兩等差數(shù)列和，前n項和分別為，，且，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】在為等差數(shù)列中，當，，，時，．所以結(jié)合此性質(zhì)可得：，再根據(jù)題意得到答案．【詳解】解：在為等差數(shù)列中，當，，，時，．所以，又因為，所以．故選：A．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，屬于中檔題．7．函數(shù)的正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先將函數(shù)化簡為，再解函數(shù)零點得或，，再求即可.【詳解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列為：故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的概念，考查數(shù)學運算求解能力，是中檔題.8．已知函數(shù)（），正項等比數(shù)列滿足，則A．99B．C．D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)（），正項等比數(shù)列滿足，則，選C二、多選題9．無窮數(shù)列的前項和，其中，，為實數(shù)，則（）A．可能為等差數(shù)列B．可能為等比數(shù)列C．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列D．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列【答案】AC【分析】由可求得的表達式，利用定義判定得出答案．【詳解】當時，．當時，．當時，上式＝．所以若是等差數(shù)列，則所以當時，是等差數(shù)列，不可能是等比數(shù)列；當時，從第二項開始是等差數(shù)列．故選：AC【點睛】本題只要考查等差數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系，利用求通項公式，屬于基礎(chǔ)題．10．已知數(shù)列的首項為4，且滿足，則（）A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．的前項和D．的前項和【答案】BD【分析】由得，所以可知數(shù)列是等比數(shù)列，從而可求出，可得數(shù)列為遞增數(shù)列，利用錯位相減法可求得的前項和，由于，從而利用等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的前項和.【詳解】由得，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，故A錯誤；因為，所以，顯然遞增，故B正確；因為，，所以，故，故C錯誤；因為，所以的前項和，故D正確.故選：BD【點晴】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到遞推公式求通項，錯位相減法求數(shù)列的和，等差數(shù)列前n項和等，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題.11．已知無窮等差數(shù)列的前n項和為，，且，則（）A．在數(shù)列中，最大B．在數(shù)列中，或最大C．D．當時，【答案】AD【分析】由已知得到,進而得到,從而對ABD作出判定.對于C,利用等差數(shù)列的和與項的關(guān)系可等價轉(zhuǎn)化為，可知不一定成立，從而判定C錯誤.【詳解】由已知得：,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可知，,該等差數(shù)列是單調(diào)遞減的數(shù)列，∴A正確，B錯誤，D正確，,等價于,即,等價于，即,這在已知條件中是沒有的，故C錯誤.故選:AD.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和，屬基礎(chǔ)題,關(guān)鍵在于掌握和與項的關(guān)系.12．將個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（）……A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式，結(jié)合可求得，同時確定、的值、得到的正誤；首先利用等比數(shù)列求和公式求得第行個數(shù)的和，再結(jié)合等差求和公式得到的正誤.【詳解】對于，，，，又，，正確；對于，，，錯誤；對于，，，正確；對于，第行個數(shù)的和，，正確.故選：.【點睛】本題考查數(shù)列中的新定義問題，解題關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用等差和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，將新定義的數(shù)陣轉(zhuǎn)化為等差和等比數(shù)列的問題來進行求解.三、填空題13．已知為等差數(shù)列,,前n項和取得最大值時n的值為___________.【答案】20【分析】先由條件求出，算出，然后利用二次函數(shù)的知識求出即可【詳解】設(shè)的公差為，由題意得即，①即，②由①②聯(lián)立得所以故當時，取得最大值400故答案為：20【點睛】等差數(shù)列的是關(guān)于的二次函數(shù)，但要注意只能取正整數(shù).14．《九章算術(shù)》中有一個“兩鼠穿墻”的問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問幾何日相逢？各穿幾何？”其大意為：“今有一堵墻厚五尺，兩只老鼠從墻的兩邊沿一條直線相對打洞穿墻，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.問大、小老鼠幾天后相遇？各自打洞幾尺？”如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則Sn=_____尺.【答案】2n+1﹣21﹣n【分析】寫出兩只老鼠打洞的通項公式，利用分組求和即可得解.【詳解】根據(jù)題意大老鼠第n天打洞尺，小老鼠第n天打洞尺，所以故答案為：【點睛】此題考查等比數(shù)列的辨析，寫出通項公式，根據(jù)求和公式求和，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)公式，涉及分組求和.15．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________．【答案】405【分析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個首項為9，公差為9的等差數(shù)列，16．如圖，互不相同的點和分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等.設(shè).若，，則數(shù)列的通項公式是________.【答案】【分析】根據(jù)三角形相似和所有梯形的面積均相等，找到與相關(guān)的遞推公式，再由遞推公式求得通項公式.【詳解】由于所以梯形的面積為的面積減去的面積，則可得即遞推公式為故為等差數(shù)列，且公差，故，得故答案為:【點睛】本題主要考查數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用，根據(jù)幾何關(guān)系尋找遞推有關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.四、解答題17．設(shè)等差數(shù)列的前n項的和為，且，，求：（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前14項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知條件列出關(guān)于的方程組，求出可得到；（2）由通項公式先判斷數(shù)列中項的正負，然后再化簡數(shù)列中的項，即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，依題意得，解得，∴；（2）∵，∴由得，∴.【點睛】此題考查等差數(shù)列的基本量計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18．數(shù)列滿足，，（1）設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明過程見詳解；（2）.【分析】（1）先化簡得到即，再求得，最后判斷數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列.（2）先求出數(shù)列的通項公式，再運用“裂項相消法”求數(shù)列的前項和即可.【詳解】解：（1）因為，所以因為，所以，且所以數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）的，所以所以【點睛】本題考查利用定義求等差數(shù)列的通項公式、根據(jù)遞推關(guān)系判斷數(shù)列是等差數(shù)列、根據(jù)“裂項相消法”求和，還考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思維方式，是基礎(chǔ)題.19．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的存在最大值，則求出最大值；若問題中的不存在最大值，請說明理由.問題：設(shè)是數(shù)列的前項和，且，__________，求的通項公式，并判斷是否存在最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【分析】若選①，求出數(shù)列是首項為4，公比為的等比數(shù)列，求出通項公式和前項和，通過討論的奇偶性，求出其最大值即可；若選②，求出數(shù)列是首項為4，公差為的等差數(shù)列，求出通項公式和前項和，求出其最大值即可；若選③，求出，當時，，故不存在最大值.【詳解】解：選①因為，，所以是首項為4.公比為的等比數(shù)列，所.當為奇數(shù)時，，因為隨著的增加而減少，所以此時的最大值為.當為偶數(shù)時，，且綜上，存在最大值，且最大值為4.選②因為，.所以是首項為4，公差為的等差數(shù)列，所以.由得，所以存在最大值.且最大值為（或），因為，所以的最大值為50.選③因為，所以，所以，，…，則，又，所以.當時，，故不存在最大值.【點睛】此題考查數(shù)列的通項公式和求和公式，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題20．已知數(shù)列的前n項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用，，可得為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求得通項公式；（2）利用錯位相減法求和即可求．【詳解】（1）當時，，解得，當時，由可得，兩式相減可得，即，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1），，則，兩式相減得，所以．【點睛】方法點睛：由數(shù)列前項和求通項公式時，一般根據(jù)求解，考查學生的計算能力.21．已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列，表示不超過的最大整數(shù)，求的前1000項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可求出；（2）根據(jù)數(shù)列特點采用分組求和法求解.【詳解】（1）當時，，當時，，將代入上式驗證顯然適合，所以.（2）因為，，，，所以，所以.【點睛】本題考查和的關(guān)系，考查分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.22．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項和為，________，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用，，成等比數(shù)列，可得，若選①：由得：，即可解出和的值，即可求出的通項公式；若選②：由可得，即可解出和的值，即可求出的通項公式；若選③：由，可表示出，，結(jié)合，，成等比數(shù)列，即可解出和的值，即可求出的通項公式；（2）由（1）可得，分為奇數(shù)和偶數(shù)，利用并項求和即可求解.【詳解】是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列.所以，即，整理可得，若選①：，則，即，由可得代入可得：，解得或（舍）所以，所以，若選②：，即，代入得：，即解得：或不符合題意；若選③：，則，，代入可得解得：或不符合題意；綜上所述：，，（2），當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題得關(guān)鍵點是分別由條件①②③結(jié)合，，成等比數(shù)列計算出和的值，由是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，，第二問中正負交錯的數(shù)列求和，需要用奇偶并項求和，注意分為奇數(shù)和偶數(shù)討論.高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元測試卷（四）題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+6（解答），滿分150分，時間：120分鐘一、單選題1．已知等差數(shù)列的公差和首項都不為零，且，，成等比數(shù)列，則（）A．B．C．D．22．設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，，則公比等于（）A．B．C．D．3．兩個等差數(shù)列和，其前項和分別為、，且，則（）A．B．C．D．4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，以表示的前項和，則使得達到最小值的是（）A．37和38B．38C．37D．36和375．十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．4B．5C．6D．76．已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項是，接下來的兩項是、，再接下來的三項是、、，以此類推，若且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪，則的最小值為（）A．440B．330C．220D．1107．等差數(shù)列，滿足，則（）A．的最大值為50B．的最小值為50C．的最大值為51D．的最小值為518．已知數(shù)列滿足，且對任意的都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．二、多選題9．(多選)已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，則下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．10．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．的最大值為D．的最大值為11．黃金螺旋線又名等角螺線，是自然界最美的鬼斧神工．在一個黃金矩形（寬長比約等于0.618）里先以寬為邊長做正方形，然后在剩下小的矩形里以其寬為邊長做正方形，如此循環(huán)下去，再在每個正方形里畫出一段四分之一圓弧，最后順次連接，就可得到一條“黃金螺旋線”．達·芬奇的《蒙娜麗莎》，希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟等都符合這個曲線．現(xiàn)將每一段黃金螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形半徑設(shè)為an(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再將扇形面積設(shè)為bn(n∈N*)，則（）A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a(chǎn)12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021D．a(chǎn)2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝012．如圖，已知點是的邊的中點，為邊上的一列點，連接交于，點滿足，其中數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，是數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．數(shù)列是等比數(shù)列C．D．三、填空題13．已知數(shù)列滿足且，為數(shù)列的前項和，則__________.14．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，且，則_______.15．已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則等于______．16．已知等比數(shù)列中，，在與兩項之間依次插入個正整數(shù)，得到數(shù)列，即．則數(shù)列的前項之和_______(用數(shù)字作答)．四、解答題17．在①對任意，滿足，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中．問題：已知數(shù)列的前項和為，，______，若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；若數(shù)列不一定是等差數(shù)列，說明理由．18．根據(jù)預(yù)測，疫情期間，某醫(yī)院第天口罩供應(yīng)量和消耗量分別為和（單位：個），其中，，第天末的口罩保有量是前天的累計供應(yīng)量與消耗量的差．（1）求該醫(yī)院第天末的口罩保有量；（2）已知該醫(yī)院口罩倉庫在第天末的口罩容納量（單位：個）．設(shè)在某天末，口罩保有量達到最大，問該保有量是否超出了此時倉庫的口罩容納量？19．已知正項數(shù)列的前項和為.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.20．已知數(shù)列的前項和為，，且為與的等差中項，當時，總有.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記為在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)，記數(shù)列的前項和為，求.21．已知項數(shù)為的數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足，若，且，則稱為的“伴隨數(shù)列”.（1）數(shù)列是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列”若不存在，請說明理由；（2）若為的“伴隨數(shù)列"，證明:；（3）已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列，且，求的最大值.22．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且．（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，且，證明；（3）在（2）的條件下，若對于任意的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．答案解析一、單選題1．已知等差數(shù)列的公差和首項都不為零，且，，成等比數(shù)列，則（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】【分析】用表示，，，利用它們成等比數(shù)列可得，從而可得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，因為，，成等比數(shù)列，故，整理得到，因，故，故，故，選B.【點睛】等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程或方程組，再運用基本量解決與數(shù)列相關(guān)的問題；（2）利用數(shù)列的性質(zhì)求解即通過觀察下標的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質(zhì)處理數(shù)學問題．2．設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，，則公比等于（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由條件可得，即可求出.【詳解】因為，所以所以，即因為，所以故選：A【點睛】本題考查的是等比數(shù)列的知識，考查了學生的轉(zhuǎn)化能力，較簡單.3．兩個等差數(shù)列和，其前項和分別為、，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】推導(dǎo)出，由此可求得結(jié)果.【詳解】在等差數(shù)列和中，.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，以表示的前項和，則使得達到最小值的是（）A．37和38B．38C．37D．36和37【答案】D【分析】由等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合條件求出首項和公差，寫出前n項和的公式，再配方求最值，但注意n取正整數(shù)這一條件．【詳解】設(shè)的公差為d，由題意得，即①即②由①②聯(lián)立得故當或時，達到最小值．故選：D.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和最小值，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列前項和公式：，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．4B．5C．6D．7【答案】C【分析】依次求出第次去掉的區(qū)間長度之和，這個和構(gòu)成一個等比數(shù)列，再求其前項和，列出不等式解之可得．【詳解】第一次操作去掉的區(qū)間長度為；第二次操作去掉兩個長度為的區(qū)間，長度和為；第三次操作去掉四個長度為的區(qū)間，長度和為；…第次操作去掉個長度為的區(qū)間，長度和為，于是進行了次操作后，所有去掉的區(qū)間長度之和為，由題意，，即，即，解得：，又為整數(shù)，所以的最小值為.故選：C.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查等比數(shù)列通項、前項和等知識及估算能力，屬于中檔題.6．已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一項是，接下來的兩項是、，再接下來的三項是、、，以此類推，若且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪，則的最小值為（）A．440B．330C．220D．110【答案】A【分析】把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組：，記前組的和為，算出后結(jié)合前項和為2的整數(shù)冪可得的最小值.【詳解】把題設(shè)中的數(shù)列分成如下的組：，記前組的和為。則.令即，故.故當時，數(shù)列至少包括前13組且含有第14組的前個元素.設(shè)前項和為2的整數(shù)冪且第項為第組的第個元素，則，且前項和，其中，.下證：當時，總有.記，則當時，有，故為單調(diào)增數(shù)列，而，故即.所以，由為2的整數(shù)冪，故，從而，當時，，與矛盾；當時，，此時，故選：A.【點睛】本題考查分組數(shù)列的和以及與不定方程的整數(shù)解，對于分組數(shù)列的前項和的問題，一般采用計算“大組”和，再計算“小組”和，而不定方程的整數(shù)解問題，則需把和式放縮為2的正整數(shù)冪的形式，從而確定和的表達式，本題屬于難題.7．等差數(shù)列，滿足，則（）A．的最大值為50B．的最小值為50C．的最大值為51D．的最小值為51【答案】A【解析】【分析】首先數(shù)列中的項一定滿足既有正項，又有負項，不妨設(shè)，由此判斷出數(shù)列為偶數(shù)項，利用配湊法和關(guān)系式的變換求出的最大值.【詳解】為等差數(shù)列，則使，所以數(shù)列中的項一定有正有負，不妨設(shè)，因為為定值，故設(shè)，且，解得.若且，則，同理若，則.所以，所以數(shù)列的項數(shù)為，所以，由于，所以，解得，故，故選A.【點睛】本小題主要考查數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于難題.8．已知數(shù)列滿足，且對任意的都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，兩式相除得，也滿足,,，又的取值范圍是，故選D.【方法點睛】本題主要考查由遞推關(guān)系求通項公式、等比數(shù)列的余弦公式與求和公式以及不等式恒成立問題，屬于難題.對于求不等式恒成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下盡量把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的式子,這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是含變量式子,另一端是參數(shù)的不等式，便于利用最值法解決問題.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的,如果分離參數(shù)后,得出的多項式較為復(fù)雜,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.二、多選題9．(多選)已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，則下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】由等差數(shù)列滿足，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再逐項判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，易知，∵等差數(shù)列滿足，且，，，故B，D正確，A錯誤.又，，,，故C錯誤.故選：BD.10．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．的最大值為D．的最大值為【答案】AD【分析】利用等比數(shù)列，得數(shù)列為等差數(shù)列，用等差數(shù)列的性質(zhì)得出和的大小關(guān)系【詳解】解：因為等比數(shù)列的公比為，由得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，由于，，則且，得，，由，得，，若，則，而，則，則，，此時不成立，所以，所以，所以A正確；由，，得，又因為，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，從第10項開始小于零，故前9項和最大，即可的最大值為，所以D正確，因為，所以，所以B不正確，因為，，所以數(shù)列各項均為正數(shù)，所以沒有最大值，所以C不正確，故選：AD【點睛】此題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)和前項和公式的應(yīng)用，屬于中檔題11．黃金螺旋線又名等角螺線，是自然界最美的鬼斧神工．在一個黃金矩形（寬長比約等于0.618）里先以寬為邊長做正方形，然后在剩下小的矩形里以其寬為邊長做正方形，如此循環(huán)下去，再在每個正方形里畫出一段四分之一圓弧，最后順次連接，就可得到一條“黃金螺旋線”．達·芬奇的《蒙娜麗莎》，希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟等都符合這個曲線．現(xiàn)將每一段黃金螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形半徑設(shè)為an(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再將扇形面積設(shè)為bn(n∈N*)，則（）A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a(chǎn)12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021D．a(chǎn)2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0【答案】ABD【分析】對于A，由題意得bn＝an2，然后化簡4(b2020－b2019)可得結(jié)果；對于B，利用累加法求解即可；對于C，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，兩邊同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，然后累加求解；對于D，由題意an－1＝an－an－2，則a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化簡可得結(jié)果【詳解】由題意得bn＝an2，則4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，則選項A正確；又數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，則選項B正確；數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，兩邊同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，則a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a2a1－a2a3)＋(a3a2－a3a4)＋…＋(a2020a2019－a2020a2021)＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，則選項C錯誤；由題意an－1＝an－an－2，則a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，則選項D正確；故選：ABD.【點睛】此題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，考查累加法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題12．如圖，已知點是的邊的中點，為邊上的一列點，連接交于，點滿足，其中數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，是數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．數(shù)列是等比數(shù)列C．D．【答案】AB【分析】化簡得到，根據(jù)共線得到，即，計算，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】，故，共線，故，即，，故，故.，正確；數(shù)列是等比數(shù)列，正確；，錯誤；，故錯誤.故選：.【點睛】本題考查了向量運算，數(shù)列的通項公式，數(shù)列求和，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力.三、填空題13．已知數(shù)列滿足且，為數(shù)列的前項和，則__________.【答案】2023【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列前6項，觀察可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，則，代入相應(yīng)值計算即可.【詳解】根據(jù)題意，，，，，，，，可知數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，所以.故答案為：2023【點睛】本題考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，且，則_______.【答案】【分析】用，代入已知等式，得，變形可得，說明是等差數(shù)列，求其通項公式，可得的值.【詳解】，，整理可得，則，即，所以，是以為公差的等差數(shù)列，又，，則.故答案為：.【點評】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判定，訓練了等差數(shù)列通項公式的求法，是中檔題.15．已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則等于______．【答案】【解析】試題分析：因為，所以．因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，即．設(shè)①，又＋…＋②，①+②，得，所以．考點：1、等比數(shù)列的性質(zhì)；2、對數(shù)的運算；3、數(shù)列求和．【知識點睛】如果一個數(shù)列，與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和（都相等，為定值），可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法．如等差數(shù)列的前項和公式即是用此法推導(dǎo)的．16．已知等比數(shù)列中，，在與兩項之間依次插入個正整數(shù)，得到數(shù)列，即．則數(shù)列的前項之和_______(用數(shù)字作答)．【答案】2007050【解析】【分析】在數(shù)列中，到項共有項，即為，因此判斷出共含有的項數(shù)，進而即可得出．【詳解】在數(shù)列中，到項共有項，即為．則．設(shè)等比數(shù)的公比為，由，，得，解得，因此故答案為2007050．【點睛】熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式及由已知判斷出共含有an的項數(shù)是解題的關(guān)鍵．四、解答題17．在①對任意，滿足，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中．問題：已知數(shù)列的前項和為，，______，若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；若數(shù)列不一定是等差數(shù)列，說明理由．【答案】選擇條件①，數(shù)列不一定是等差數(shù)列，理由見解析；選擇條件②，數(shù)列的通項公式為；選擇條件③，．【分析】若選擇條件①，可得，即，由于無法確定