2020-2021學年北京市門頭溝區(qū)大峪中學高一（下）期中數(shù)學試卷（解析版）

2020-2021學年北京市門頭溝區(qū)大峪中學高一（下）期中數(shù)學試

卷

一、選擇題（共10小題，每題4分，共40分）.

1.如果。是第三象限的角，那么（）

A.sin0>OB.cos0>OC.tan0>0D.以上都不對

2.若|mIInI=6，n與門的夾角。為45°，則等于（）

A.12B.1272C.-12A/2D.-12

3.若角a的終邊經過點（-4,3），則tana=（）

A.—B.工C.—

334

4.如果Z，1是兩個單位向量，下列四個結論中正確的是（）

A-a=bB-a*b=1c-2"雷D.中=16

5.要得到函數(shù)y=4sin（4xK）的圖像，只需要將函數(shù)尸sin4x的圖像（）

O

A.向左平移盲■個單位B.向右平移五個單位

7TJT

C.向左平移g個單位D.向右平移g個單位

o

6.計算cos200cos80°+sinl600cosl0°=(）

A.—B.近C.」D.

2222

TTJT

7.函數(shù)f(x)=Asin((jox+(p)(A>0,u)>0,冬）的部分圖象如圖所示，則

22

8.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（―x+<p）+k.據(jù)

6

此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）

y.水深/m

時間h

O6

jrTT

9.函數(shù)f（x）=sin2x-?cos2x在區(qū)間［——>/-］上的零點之和是（）

71「冗「兀一冗

A.-B.C?D.-

3366

10.在△OAB中，04=08=2,AB=2?，動點P位于直線0A上，當證.而取得最小值

時，向量且與誣的夾角余弦值為（）

277rV21nV21

7773

二、填空題（每小題5分，共25分）

11.tan2010°的值為.

12.若6為第四象限的角，且sin8=-￡，貝IJcos0=；sin20

13.設向量！，己滿足|』=2,后|=3,芯>=60。，則（:+4）=.

14.如圖，在矩形4BCD中，4B=2,BC=&,點￡為BC的中點，點尸在邊CO上，若族

,AF=1,則標?下的值是

F

D,——r-------------iC

15.把函數(shù)丫=$出版的圖象沿x軸向左平移2個單位，縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標

不變）后得到函數(shù)y=/（x）圖象，對于函數(shù)y=/（x）有以下四個判斷:

①該函數(shù)的解析式為y=2sin（2r+—）；

b

IT

②該函數(shù)圖象關于點(g,0)對稱；

jr

③該函數(shù)在［0,上是增函數(shù)；

6

JT

④函數(shù)y=f(x)+a在［0,k］上的最小值為則a=2?.

其中，正確判斷的序號是.

三、解答題(6小題，共85分)

16.已知向量之=(1,0),b=(-l,2).

(1)求2Z+E的坐標：

⑵求a?(a-b)-

TTO

17.已知a￡(0,-7^),且sina二三.

25

JT

(I)求sin(a的值；

(H)求cos2-^-+tan(_^-+a)的值.

TT1

18.已知^----<x<0，sinx+cosx=-?

25

(I)求sinx-cosx的值；

2

(II)求我型姐2-的值.

1-tanx

19.已知函數(shù)/(x)-V2sin2y.

(I)求f(X)的最小正周期；

(II)求/(X)在區(qū)間［-TT,0］上的最小值.

20.己知函數(shù)f(x)=、/§sin2x+2cos*x+ir在區(qū)間〔0，［?。萆系淖畲笾禐?.

JT

(1)求常數(shù)，〃的值以及函數(shù)f(x)當xe［o,彳］時的最小值.

TT

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向下平移4個單位，再向右平移工二個單位，得到函數(shù)g(x)

4

的圖象.

(i)求函數(shù)g(%)的解析式；

TT

(ii)若關于x的方程2g(x)7=0在xe［0,”-］時，有兩個不同實數(shù)解，求實數(shù)r

的取值范圍.

21.如圖，在扇形OAB中，ZAOB=\20a,半徑0A=OB=2,P為弧窟上一點.

(I)若OALOP,求證.說的值;

(ii)求瓦?麗的最小值.

參考答案

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1.如果。是第三象限的角，那么（）

A.sin0>OB.cos0>OC.tan0>OD.

【分析】根據(jù)象限角的符號特點即可判斷.

解：如果。是第三象限的角，則sinOCO,cos0<0,tan9>0,

故選：C.

2.若品=4,I；1=6,彳與；的夾角。為45°，則嬴7等于<)

A.12B.1272C.-12加D.-12

【分析】直接利用向量的數(shù)量積公式求解即可.

解：品=4，G1=6，1與：的夾角。為45°，

則n=4X6X12V2-

故選:B.

3.若角a的終邊經過點（-4,3）,則tana=（）

A.—B.工C.—D.3

3347

【分析】由題設條件，根據(jù)三角函數(shù)終邊上一點的定義即可求得正切值，正切值為縱坐

標與橫坐標的商.

解：由定義若角a的終邊經過點（-4,3）,，tana=Y，

4

故選：D.

4.如果￡1是兩個單位向量，下列四個結論中正確的是（）

A.Z=EB.C.22#三2D.|；|2=|聲

【分析】由相等向量的概念：大小相等，方向相同的兩向量為相等向量，即可判斷A；

由向量的數(shù)量積的定義，即可判斷8；

由向量的平方即為模的平方，以及單位向量的概念，即可判斷C,D.

解：4單位向量是模為1的向量，但方向可不同，故A錯；

B~a?b=l-al,lbl，cos<a,b>=cos<a,b>>故3錯；

C；2=/=l,,=后=1,故;2耳2,故c錯；

D.|才=1,|寸=1,故。對.

故選：D.

TT

5.要得到函數(shù)y=4sin(4x「r)的圖像，只需要將函數(shù)y=sin4x的圖像()

A.向左平移三個單位B.向右平移三個單位

1212

TTJT

C.向左平移名個單位D.向右平移2個單位

33

【分析】由題意利用函數(shù)尸Asin(3"隼)的圖象變換規(guī)律，得出結論.

JTH

解：要得到函數(shù)y=4sin(4x—的圖像，只需要將函數(shù)尸Sin4x的圖像向右平移.個

單位，

故選：B.

6.計算cos20°cos80°+sin160°cos10°=()

A.—B.返C.1D.-3^

2222

【分析】利用誘導公式，兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡求值得

解.

解：cos20°cos80°+sinl60°coslO°

=cos20°cos80°+sin20°sin80°

=cos(80°-20°)

=cos60°

故選：A.

TTTT

7.函數(shù)/(x)=Asin(a)x+(p)(A>0,a)>0,-一了〈年〈5)的部分圖象如圖所示，則

/⑴=()

6363

【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出4由周期求出3,由五點法作圖求出＜p的值,

從而得到函數(shù)的解析式.

解：由圖象可得4=1,再根據(jù)為=號-”=自，可得7=2,

4362

所以3=2券=TT,

再根據(jù)五點法作圖可得nx"+6=0,求得巾=-卷，

JT

故函數(shù)的解析式為f（x）=sin（ITX--）.

6

故選：C.

JT

8.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（―x+（p）+k.據(jù)

m）的最大值為（）

C.8D.10

【分析】由題意和最小值易得女的值，進而可得最大值.

解：由題意可得當sin（―x+（p）取最小值-1時,

6

函數(shù)取最小值ymin=-3+%=2,解得2=5,

7T、

?，?)?=3sin(-^x+(p)+5,

，當當sin(―x+(p)取最大值1時,

6

函數(shù)取最大值"〃ar=3+5=8.

故選：C.

TTJT*

9.函數(shù)￡6)=$曲2乂-/正。52乂在區(qū)間［號-,彳］上的零點之和是()

71717T7T

A.-B.—C.—D.—

3366

【分析】利用輔助角公式化積，求得函數(shù)的零點，作和得答案.

兀

解：f(x)=sin2x-V3cos2x=2sin(2x--)>

o

,7TTTk兀,

由2x^一丁二k兀，kwZ,得x=-^—+―--,^EZ.

362

??仁「兀兀1--71兀

/丁，彳］,..X-y，飛■.

則函數(shù)f(x)=sin2x-?cos2x在區(qū)間［義，上的零點之和是千斗二號

22000

故選：D.

10.在△OAB中，04=08=2,即=2?，動點P位于直線0A上，當證.而取得最小值

時，向量近與說的夾角余弦值為()

A377R277rV21nV21

7773

【分析】取AB的中點C,則m.而=記-［足2=而2-3,要使得正.聞最小，只

需I玩I最小，由此能求出結果.

解：如圖所示，取A8的中點C,則包,麗1?瓦?二玩2-3,

則要使得瓦?而最小，只需I而I最小，

而此時，CPLOA,此時可根據(jù)已知條件0A=0B=2,48=2?,

解得幺=2，PB=^2L,PC=?

222

???記?麗=京-3=-/

9

PA?PB~~4

.\cos<pX.pB>=V21

|PA|-|PBIV213~T~

~2~'~2

故選：c.

二、填空題(每小題5分，共25分)

11.tan2010°的值為返.

一3一

【分析】因為2010°=5X360°+210°而210°=180°+30°所以根據(jù)三角函數(shù)的誘導

公式得到即可.

解：tan2010°=tan(5X360°+210°)=tan(180°+30°)=tan30°=返

_3

故答案為返

3_

12.若。為第四象限的角，且sin8=-《，則cos0=地；sin26=-生但.

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cos。，進而利用二倍角的正弦函數(shù)公

式可求sin20的值.

解：為第四象限的角,且sin"]，

O

2

.?.cos0=7i-sine=-^>

o

sin20=2sin0cos0=2X(--)

__339

故答案為：乎，-平.

39

13.設向量W，己滿足|；|=2,后=3,1>=60°,則會(W+E)=7.

【分析】利用已知條件，通過向量的數(shù)量積化簡求解即可.

解：向量a，b滿足?a1=2,lfcj=3,Va，b>=60°，則a，(a+b)=[2+a.E=4+2

x3X-1=7.

故答案為：7.

14.如圖，在矩形A8CO中，A8=2,8C=&,點E為BC的中點，點/在邊C￡>上，若旋

,AF=1>則曲標的值是2

a

【分析】建立直角坐標系，由已知條件可得尸的坐標，進而可得向量的坐標，可得數(shù)量

積

解：建立如圖坐標系；

則A(0,0),B(2,0),C(2,&),E(2,孝)，F(xiàn)(x,&)；

*'?AB=⑵0),的=(x,5/2)，AE=⑵；

-'?AB*AF=2jc=1=>x=p

?二標?屈=2x+l=1+1=2；

故答案為：2

15.把函數(shù)y=sin2x的圖象沿x軸向左平移丁個單位，縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標

6

不變)后得到函數(shù)y=f(x)圖象，對于函數(shù)y=f(x)有以下四個判斷：

JT

①該函數(shù)的解析式為y=2sin(2x+—)；

0

②該函數(shù)圖象關于點(I彳T,0)對稱；

O

③該函數(shù)在［0,冬TT］上是增函數(shù)；

6

④函數(shù)y=f(x)+a在［0,彳］上的最小值為則a=2?.

其中，正確判斷的序號是②④.

TT

【分析】根據(jù)函數(shù)丫=4$仙(3X+CP)的圖象變換規(guī)律求得了(x)=2sin(2x+—),由此

可得①不正確.求出函數(shù)的對稱中心為(W-三，0),可得②正確.

26

CjrTTJT

求出函數(shù)的單調增區(qū)間為伙TT-55，加+五］,依Z,可得③不正確.由于當花［0,—］

時，求得/(x)+〃的最小值為-F+a=F，可得。的值，可得④正確.

解：把函數(shù)y=sin2r的圖象沿x軸向左平移首個單位，縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐

標不變)后，

得到函數(shù)y=/(x)=2sin2(x+——)=2sin(2x+——)的圖象，

63

TT

由于/(x)=2sin(2x+—),故①不正確.

o

令2x+3=E，依Z,求得、=塔-各，kez,故函數(shù)的圖象關于點(粵-F，0)

32626

對稱，

TT

故函數(shù)的圖象關于點(丁，0)對稱，故②正確.

O

TTTTTT5TT7T

2kn---^2x+--,kwz,可得加-加+7^,kwz,

故函數(shù)的增區(qū)間為伙IT-等，聞+*|,依Z,

TT

故函數(shù)在［0,?。萆喜皇窃龊瘮?shù)，故③不正確.

6

當xe［0,時，2計冬日：，斗I，故當〃+冬=等時，/(X)取得最小值為-M，

乙000OO

函數(shù)y=/(x)+”取得最小值為-V34-0—V31

故a=-2?,故④正確.

故答案為：②④.

三、解答題(6小題，共85分)

16.已知向量之=(1,0),b=(-l,2).

(1)求2Z+E的坐標；

(2)求a?(a-b>

【分析】利用向量加法、數(shù)乘以及數(shù)量積的坐標運算公式計算即可.

解：⑴因為之=(1,0)，b=(-l,2).

所以2l+E=2(1，0)+(-1,2)=(2,0)+(-1,2)=(1,2)；

(2)a?(a-b)=(1，0)?(2,-2)=1X2+OX(-2)=2.

jrq

17.己知aC(0,-T-),且sina=三.

2b

jr

(I)求sin(a的值；

(II)求cos2-^-+tan(~^_+a)的值.

【分析】(I)根據(jù)同角的三角函數(shù)的關系，以及兩角差的正弦公式即可求出,

(II)根據(jù)二倍角公式和兩角和的正切公式即可求出.

【解答】解（I）：因為a￡（0,sinO.=-^-?

25

所以cosCI.=71-sin2a.=-F-

所以sin（a-千）=^^（sina-cosa

Q4

（II）：因為sina二m，cosQ.=—,

55

而I”__sinCl3

所以tana=-.

cosCL4

2a,冗△、1+cosCl1+tanCl79

所以cos三+tan（k+a）=-^^F疝

10

九1

18.已知一--<x<0,siru:+cosx=—.

25

(I)求siar-cosx的值；

2

(II)求sin2x+2sinx的值.

1-tanx

【分析】(1)通過同角三角函數(shù)的基本關系式化簡求出(simr-cosx)2的值，通過工的

范圍求出結果即可.

(2)通過化簡表達式，直接利用(1)的結果求解即可.

解：（1）由siar+cosx=—,平方得sin2x+2sirLrcosx4-cos2x=z—

525

B|J2sinxcosjc=—V（siav-cosx）2=1-2sinxcosx=-^-

2525

兀

又<----<x<0,sinx<0,cosx>0,sinr-cosx<0,

2

故sinx-cosx=---??；

5

.cn-22si.nxcosx+2si.n2x?/..\

力sin2x+2sinx_---------；----------2osinxcosx（cosx+sinx；

y---;-----------—smx：

1-tanx1------cosx-smx

cosx

“1乂5_24

XTX7-175

19.己知函數(shù)f(x)=V2sin|cos|-V2sin2-1.

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(x)在區(qū)間［-1T,0］上的最小值.

【分析】(I)運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡/(X),再由正弦函數(shù)的周

期，即可得到所求；

(II)由X的范圍，可得X+2的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質，即可求得最小值.

4

解：(I)/(x)=V2sin-|<os-|--V2sin2y

&?V2、

=--sinx--—(1-cosx)

22_

.兀，.兀y/~2

=sirucos—+cosxsin-------

442

=sin(x+匹)-返，

42

則/(X)的最小正周期為2n；

(II)由-nWxWO,可得

即有-

則當時，sin(尤+二)取得最小值-1,

44

則有/(x)在區(qū)間［-m0］上的最小值為-1-堂.

JT

20.已知函數(shù)f(x)=、巧sin2x+2cos?x+ir在區(qū)間10，上的最大值為6.

TT

(1)求常數(shù)機的值以及函數(shù)/(x)當在［0,時的最小值.

JT

(2)將函數(shù)/(X)的圖象向下平移4個單位，再向右平移」7個單位，得到函數(shù)g(x)

4

的圖象.

(i)求函數(shù)g(x)的解析式：

TT

(ii)若關于x的方程2g(x)7=0在托［0,七］時，有兩個不同實數(shù)解，求實數(shù)f

的取值范圍.

【分析】(1)由題意利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域

和值域，求得根的值，可得函數(shù)的最小值.

(2)(i)由題意利用函數(shù)尸Asin(3x+<p)的圖象變換規(guī)律，得出結論.

(ii)由題意可得，方程sin(2%-3)=［,在xe［O,時，有兩個不同實數(shù)解,

再利用正弦函數(shù)的圖象和性質，求得，的范圍.

7r

解：(1)?函數(shù)f(x)=?sin2x+2cos2x+ir=?sin2x+cos2x+l+,w=2sin(2x+—)

+1+〃?，

在區(qū)間［0,上，2x+?日工，?］,

2bob

7TTTjr

故當2x+=-=-^-時，最大值為6=2+1+如.*.w=3,B|Jf(x)=2sin(2x+—-)+4.

626

兀7冗

故當您+丁=一時，函數(shù)/(X)取得最小值為-1+4=3.

66

TT

(2)(i)將函數(shù)/(x)的圖象向下平移4個單位，可得y=2sin(2x+^二)的圖象;

6

JTJT

再向右平移二個單位，得到函數(shù)g(x)=2sin(2x--)的圖象，

43