河南省商丘名校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2022—2023學(xué)年下期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合B，再利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】解：由，即，解得，所以，所以．故選：A．2.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程求解步驟，可得答案.【詳解】，，，易得切線(xiàn)方程為，故選：C．3.北斗七星自古是我國(guó)人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開(kāi)陽(yáng)、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗．一名天文愛(ài)好者從七顆星中隨機(jī)選三顆進(jìn)行觀測(cè)，則玉衡和天權(quán)都未被選中的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由古典概型的概率計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】玉衡和天權(quán)都沒(méi)有被選中的概率為，故選：D．4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，充分性成立，，時(shí)無(wú)意義，不成立，必要性不成立，因此應(yīng)充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，解題時(shí)需判斷兩個(gè)命題的真假．5.設(shè)隨機(jī)變量，其中，則的值為（）A.0 B. C.1 D.的不確定值【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得，可得答案.【詳解】由題正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)?，，根?jù)對(duì)稱(chēng)性可得，即，故選：C．6.現(xiàn)有完全相同的甲，乙兩個(gè)箱子（如圖），其中甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．某人先從兩個(gè)箱子中任取一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球，則摸出的球是黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件概率的定義，結(jié)合全概率公式，可得答案.【詳解】記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，由全概率公式得．故選：B．7.代數(shù)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.20 B. C.10 D.【答案】A【解析】【分析】利用，結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)分析.【詳解】，故需要求展開(kāi)式中的和的系數(shù)，則含的項(xiàng)應(yīng)為：，所以系數(shù)為.故選：A8.已知，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，由其單調(diào)性可得，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，可設(shè)，則，即單調(diào)遞增，由，由，所以，于是有，又，故，所以，故選：C．二、選擇題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.某服裝公司對(duì)15月份服裝銷(xiāo)量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：月份編號(hào)x12345銷(xiāo)量y（萬(wàn)件）5096142185227若與線(xiàn)性相關(guān)，其線(xiàn)性回歸方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.線(xiàn)性回歸方程必過(guò) B.C.相關(guān)系數(shù) D.6月份的服裝銷(xiāo)量一定為272.9萬(wàn)件【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，由回歸直線(xiàn)過(guò)樣本中心點(diǎn)判斷，對(duì)于B，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程求解，對(duì)于C，由的值分析判斷，對(duì)于D，將代入回歸方程求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋跃€(xiàn)性回歸方程必過(guò)，所以A正確；對(duì)于B，由線(xiàn)性回歸直線(xiàn)必過(guò)，所以，解得，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以相關(guān)系數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以可預(yù)測(cè)6月份的服裝銷(xiāo)量約為272.9萬(wàn)件，所以D錯(cuò)誤．故選：AB．10.若在定義域上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】設(shè)，由題意可知，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由，則可知在上有變號(hào)零點(diǎn)，設(shè)，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其零點(diǎn)分別為、，則，又因?yàn)?、至少一個(gè)為正數(shù)，從而可知、都為正數(shù)，且，因?yàn)?，則只要，解得，故選：CD.11.通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)相同數(shù)量的不同性別的大學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明，得知有的男大學(xué)生“不看”，有的女大學(xué)生“不看”，若有的把握認(rèn)為性別與是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為（）附：，其中．0.100.0100.0012.7066.63510.828A.150 B.170 C.192 D.210【答案】CD【解析】【分析】設(shè)男女大學(xué)生各有人，依題意得到列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可得到不等式，解得的取值范圍，即可判斷.詳解】設(shè)男女大學(xué)生各有人，根據(jù)題意畫(huà)出列聯(lián)表，如下圖：看不看合計(jì)男女合計(jì)所以，因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為性別與對(duì)產(chǎn)品是否滿(mǎn)意有關(guān)，所以，解得，結(jié)合選項(xiàng)，可知CD符合題意．故選：CD12.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于AB，利用基本不等式結(jié)合分析判斷即可，對(duì)于C，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，對(duì)于D，先利用基本不等式求出的最小值，再利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B不正確；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故D正確；故選：ACD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.將6本不同的書(shū)分成兩堆，每堆至少兩本，則不同的分堆方法共有_________種．【答案】25【解析】【分析】由題意可得，有兩種分組方法，然后分別計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題知，共有兩種分法：這種分法數(shù)為種；這種分法數(shù)為種，所以，共有25種．故答案為：14.函數(shù)的最大值為_(kāi)_________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得到其極大值，即最大值，即可得到結(jié)果.【詳解】易知時(shí)，時(shí)，，在單增，單減，則在取得極大值，即最大值，．故答案為：15.若命題“函數(shù)無(wú)極值”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】因?yàn)椋瑹o(wú)極值，則可得恒成立，即可求解.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)無(wú)極值，所以方程恒成立，所以只需，解得，即．故答案為：16.已知函數(shù)，若且，則最小值是________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得到與相切并且與平行的直線(xiàn)方程，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由得，令得，得切點(diǎn)坐標(biāo)，則可得切線(xiàn)方程為，即，再令，得，于是符合題意的，因此：．故答案為：.四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得到求解；（2）將時(shí)，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)都成立求解.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，得，解得或，所以此不等式的解集為．小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可得對(duì)都成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.已知函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．（1）求；（2）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)參數(shù)的取值范圍，分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，由題意，建立方程，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的步驟，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．故只需，解得．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，由，所以切點(diǎn)為，又，故切線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)得：.19.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和濃度（單位：），得下表：PM2.5濃度濃度3218468123710（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：PM2.5濃度濃度并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由古典概型概率公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，得到列聯(lián)表，通過(guò)計(jì)算，即可判斷.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天空氣中的PM2.5濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150的天數(shù)為，因此該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：PM2.5濃度濃度64161010

零假設(shè)為：該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度無(wú)關(guān)．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得：．由于，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)有個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）求得，令，分析可知直線(xiàn)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，再結(jié)合極值點(diǎn)的定義驗(yàn)證即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，且該函?shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．【小問(wèn)2詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)，則，由，得，列表如下：減極小值增當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.作出函數(shù)與的大致圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有個(gè)極值點(diǎn)．所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.21.某校開(kāi)展“學(xué)習(xí)二十大，永遠(yuǎn)跟黨走”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽．每人可參加多輪答題活動(dòng)，每輪答題情況互不影響、每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對(duì)，方可進(jìn)行第二組答題，否則本輪答題結(jié)束．已知甲同學(xué)第一組每道題答對(duì)的概率均為，第二組每道題答對(duì)的概率均為，兩組題至少答對(duì)3題才可獲得一枚紀(jì)念章．（1）記甲同學(xué)在一輪比賽中答對(duì)的題目數(shù)為，請(qǐng)寫(xiě)出的分布列，并求；（2）若甲同學(xué)進(jìn)行了4輪答題，求甲同學(xué)恰好獲得2枚紀(jì)念章的概率．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）先確定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，利用期望公式求；（2）先求甲同學(xué)每一輪獲得紀(jì)念章的概率，進(jìn)而可得，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式求甲同學(xué)恰好獲得2枚紀(jì)念章的概率.【小問(wèn)1詳解】由題意，X可取0，1，2，3，4．，，，，，則的分布列為：01234．【小問(wèn)2詳解】每一輪獲得紀(jì)念章的概率為，設(shè)4輪答題獲得紀(jì)念章的數(shù)量為，則，，即甲同學(xué)則獲得2枚紀(jì)念章的概率是．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分，兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）方程要化為，令，則可得關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，畫(huà)出圖象結(jié)合圖象求解即可.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)椋?，得，①?dāng)時(shí)，恒有，得在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由，得，在上，有單調(diào)遞增；在上，有單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時(shí)，