數(shù)學(xué)-專題08 全等三角形中的角平分線模型（原版）

專題08全等三角形中的角平分線模型【模型展示】特點(diǎn)CCＣOBＢAAAＮＭ利用角平分線圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。結(jié)論三邊對(duì)應(yīng)相等的三角戲是全等三角形ＣＯＢ（SSS）、全等三角形對(duì)應(yīng)角相等ＣＯＢ【模型證明】解決方案角平分線+垂直兩邊型角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)作角兩邊垂直段構(gòu)成的兩個(gè)RT三角形全等．【證明】∵OC為∠AOB的角平分線，D為OC上一點(diǎn)DE⊥OA，DF⊥OB∴∴DE=DF角平分線+垂直角平分線型構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。

角平分線+平行線如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥ON，交OM于點(diǎn)Q。結(jié)論：△POQ是等腰三角形?！咀C明】∵PQ∥ON∴∠PON=∠OPQ又∵OP是∠MON的平分線∴∠POQ=∠PON∴∠POQ=∠OPQ∴△POQ是等腰三角形【題型演練】一、單選題1．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC④BA+BC=2BF其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④2．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；

⑤∠BGE的大小為定值．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．13．如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題4．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長是________．

5．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．6．如圖所示，的外角的平分線CP與的平分線相交于點(diǎn)P，若，則_______．三、解答題7．如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．8．已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．

9．如圖所示，在四邊形中，平分，求證：．10．已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．11．在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長；②如圖2，若，求的大?。?2．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．

13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．14．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．15．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．求證：BC=AB+CD．

16．如圖，ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．17．如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．18．四邊形中，，連接．（1）如圖1，若平分，求證：．（2）如圖2，若，，求證：．（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長度．19．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．

20．如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．2求證：．21．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問題:作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E：(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為__________.(