機(jī)械制圖課件第4章：立體的投影

第4章立體的投影第4章立體的投影

任何機(jī)件，不管其形狀多么復(fù)雜，都可看成由棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、圓球等單一幾何形體按一定方式組合而成。圓柱棱柱圓柱圓錐圓球圓環(huán)圓柱4.1平面立體的投影4.2

曲面立體的投影4.3立體的截交線4.4立體的相貫線第4章立體的投影4.1

平面立體的投影4.1.1棱柱4.1.2棱錐

平面立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。因此，繪制平面立體的投影可歸納為繪制各表面和各棱線的投影，而各表面都是由直線段所組成，直線段又都是由其兩端點(diǎn)來(lái)確定。其中可見線的投影用粗實(shí)線畫出，不可見的用虛線畫出。平面立體——表面由平面圍成的立體。ZXYHWVa'b'c'd'd"c"b"a"d(c)(b)aBC1.棱柱的投影

圖示為一正六棱柱，它由上、下兩個(gè)底面（正六邊形）和六個(gè)棱面（長(zhǎng)方形）組成。

由于上、下兩底面均為水平面，所以其水平投影重合并反映實(shí)形。

正面和側(cè)面投影分別為矩形線框。AD棱柱體三視圖的特點(diǎn)：在棱線所垂直的投影面上的投影為反映棱柱底面實(shí)形的多邊形，其余兩投影由矩形線框組成。a’b’c’d’a(b)d(c)a”b”d”c”1.棱柱的投影作圖步驟:①先畫反映六邊形實(shí)形的水平投影；②

按照投影規(guī)律，并根據(jù)六棱柱的高度畫出正面投影；③按照投影規(guī)律畫出側(cè)面投影；④檢查并加深圖線。正六棱柱三視圖的畫法：a'b'c'd'd"c"b"a"d(c)(b)aABCDZXYHWVm'n'n"m"nmN棱柱表面上取點(diǎn)和取線M

在立體表面上取點(diǎn)時(shí)，必須首先確定該點(diǎn)是在平面立體的哪一個(gè)表面上。若點(diǎn)在某個(gè)表面上，則該點(diǎn)的投影必在該表面的各同面投影范圍內(nèi)。若該表面的投影可見，則該點(diǎn)的同面投影也可見；反之為不可見。a’b’n’c’d’n”m’am”m(b)d(c)na”b”d”c”棱柱表面上取點(diǎn)和取線

已知正六棱柱表面上點(diǎn)M的正面投影及點(diǎn)N的水平投影，分別求它們的其余兩面投影。

請(qǐng)同學(xué)們思考：

如果將已知點(diǎn)加上括號(hào)，會(huì)是什么結(jié)果？ZXYHWVa'Sb'sBs'baAcCb”(c”)s”a”2.棱錐的投影

圖示為一正三棱錐，它由底面△ABC和三個(gè)棱面△SAB、△SBC、△SAC所組成。

其底面為水平面，它的水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影分別積聚成一直線。

棱面△SAC為側(cè)垂面，因此側(cè)面投影積聚成一直線，水平投影和正面投影都是類似形。棱面△SAB和△SBC為一般位置平面，它的三面投影均為類似形。棱錐體三視圖的特點(diǎn)：在底面所平行的投影面上的投影輪廓為反映棱錐底面實(shí)形的多邊形，其余兩投影由三角形線框組成。a’ss’s”c’b’baa”(c”)cb”2.棱錐的投影正三棱錐三視圖的畫法：作圖步驟:①先畫三棱錐底面△ABC的三面投影圖；②

根據(jù)三棱錐的高度找出錐頂S的三面投影；③分別連接錐頂S到錐底ABC的同面投影；④檢查、擦去多余線條、加深圖線。a'Sb'sBs'baAcCb”(c”)s”a”m'mm”MZXYHWV1'122'棱錐表面上取點(diǎn)

組成棱錐體的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。特殊位置平面上點(diǎn)的投影，可利用該平面投影的積聚性直接作圖。一般位置平面上點(diǎn)的投影，可通過在平面上作輔助線的方法求得。ⅠⅡa’ss’s”b’baa”(c”)cb”m’1’1nm”棱錐表面上取點(diǎn)

已知正三棱錐表面上點(diǎn)M的正面投影及點(diǎn)N的水平投影，分別求它們的其余兩面投影。

mc’a’ss’s”b’baa”(c”)cb”m’22’nn”m”棱錐表面上取點(diǎn)

已知正三棱錐表面上點(diǎn)M的正面投影及點(diǎn)N的水平投影，分別求它們的其余兩面投影。

(n’)mn’c’請(qǐng)同學(xué)們思考：

如果將已知點(diǎn)加上括號(hào)，會(huì)是什么結(jié)果？4.2

曲面立體的投影

工程中常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體?；剞D(zhuǎn)面是由一條母線（直線或曲線）圍繞軸線回轉(zhuǎn)而形成?；剞D(zhuǎn)面上任一位置的母線稱為素線，母線上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡均為垂直于軸線的圓，稱為緯圓。

由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的立體，稱為回轉(zhuǎn)體。

主要有圓柱、圓錐、球、圓環(huán)等。

1.圓柱軸線母線素線圓柱體三面投影分析

從上往下看在H面上的投影為一個(gè)圓周：它既是圓柱面的頂圓和底圓的重合投影，反映頂圓和底圓的實(shí)形，又是圓柱面的積聚投影。

從前往后看在V面的投影是一個(gè)矩形：上下兩條水平線分別是頂圓和底圓的投影，長(zhǎng)度為圓周的直徑。左右兩條直線為圓柱面V面投影的外形線（最左和最右素線），也是前半圓柱面和后半圓柱面的分界線。

從左向右看在W面的投影是一個(gè)矩形：上下兩條水平線分別是頂圓和底圓的投影，長(zhǎng)度為圓周的直徑。左右兩條直線為圓柱面W面投影的外形線（最前和最后素線），也是左半圓柱面和右半圓柱面的分界線。

軸線⊥H面，所以在H面上的投影積聚為一點(diǎn)，用兩條互相垂直的點(diǎn)畫線的交點(diǎn)來(lái)表示；軸線//V面和W面，所以在V面與W面的投影反映實(shí)長(zhǎng)。

一直線（母線）繞與其平行的軸線旋轉(zhuǎn)一周，形成圓柱面。（2）圓柱的三視圖軸線與H面垂直軸線與V面垂直軸線與W面垂直圓柱體三視圖的特點(diǎn)：在軸線所垂直的投影面上的投影為一圓周，另二個(gè)投影為大小相同的矩形。ZXYHWVm’mm”M（3）圓柱表面上取點(diǎn)當(dāng)圓柱軸線垂直于側(cè)面時(shí)，圓柱面的側(cè)面投影具有積聚性，圓柱面上點(diǎn)的側(cè)面投影一定重影在側(cè)面圓周上，因此利用圓柱表面的積聚性就能求出圓柱表面上的點(diǎn)投影。完成圓柱體表面指定點(diǎn)的另兩投影。

m’m”m(n)(n’)k’n”(k)k”注意判斷所求點(diǎn)的可見性！n（3）圓柱表面上取點(diǎn)圓錐體三面投影分析

從上往下看在H面上的投影為一個(gè)圓：圓周是底圓的投影，反映了底圓的實(shí)形；圓周以及圓周之內(nèi)的整個(gè)圓是圓錐面的投影；錐頂在H面的投影即為這個(gè)圓的圓心。

從前往后看在V面上的投影為一個(gè)等腰三角形：底邊是底圓的積聚投影，長(zhǎng)度為底圓的直徑；兩腰為圓錐面上的外形線（最左和最右素線），也是前半圓錐面和后半圓錐面的分界線。軸線母線素線

從左往右看在W面上的投影為一個(gè)等腰三角形：底邊是底圓的積聚投影，長(zhǎng)度為底圓的直徑；兩腰為圓錐面上的外形線（最前和最后素線），也是左半圓錐面和右半圓錐面的分界線。

軸線⊥H面，所以在H面上的投影積聚為一點(diǎn)，用兩條互相垂直的點(diǎn)畫線的交點(diǎn)來(lái)表示；軸線//V面和W面，所以在V面與W面的投影反映實(shí)長(zhǎng)。

一直線（母線）與軸線相交，并繞該軸線旋轉(zhuǎn)一周，則形成圓錐面。2.圓錐圓錐體三視圖的特點(diǎn)：在軸線所垂直的投影面上的投影為一圓周，另二個(gè)投影為大小相同的等腰三角形。（2）圓錐的三視圖軸線與H面垂直軸線與V面垂直軸線與W面垂直前左最左素線最右素線最前素線最后素線ZXYHWVa’Ss’ss”a”c”caACc’m’mm”（3）圓錐表面上取點(diǎn)M兩種求解方法：方法二：輔助素線法方法一：輔助圓法（緯圓法）（3）圓錐表面上取點(diǎn)完成圓錐體表面指定點(diǎn)的另兩投影。

s’s”s3’2’32mm’m”nn”1’1n’()作圖步驟:①輔助圓法求M點(diǎn)：過m’點(diǎn)作水平線2’3’，它的水平投影為一直徑等于2’3’的圓，圓心為s，由m’作OX的垂線，與輔助圓的交點(diǎn)即為m。然后再按點(diǎn)的投影規(guī)律由m’和m作出m”。②輔助素線法求M點(diǎn)：連接s’m’，并延長(zhǎng)到與底面的正面投影相交于1’，求得s1；再由m’根據(jù)點(diǎn)在線上的投影規(guī)律，求出m；然后再由m’和m求出m”。③

求N點(diǎn):

由于N點(diǎn)在圓錐的最后素線上，故不需用上述兩種方法，直接根據(jù)點(diǎn)在線上的投影原理便可求得。ZXYHWVa’c’b’acbc”a”b”A（平行于V面）（主視輪廓線）B（平行于H面）（俯視輪廓線）C（平行于W面）（左視輪廓線）3.圓球（2）圓球的三視圖前上左左前上前后半球的分界線前后半球的分界線前后半球的分界線上下半球的分界線上下半球的分界線上下半球的分界線左右半球的分界線左右半球的分界線左右半球的分界線（3）圓球表面上取點(diǎn)完成圓球表面指定點(diǎn)的另兩投影。

m’m”m(n’)k”M注意：圓球表面求點(diǎn)只能用輔助圓法?。?）圓球表面上取點(diǎn)完成圓球表面指定點(diǎn)的另兩投影。

m’m”m(n’)k”M注意：圓球表面求點(diǎn)只能用輔助圓法！（3）圓球表面上取點(diǎn)完成圓球表面指定點(diǎn)的另兩投影。

m’m”m(n)(n’)k”(n”)kk’M注意：圓球表面求點(diǎn)只能用輔助圓法！4.3立體的截交線一、截交線概述二、平面與平面立體相交三、平面與曲面立體相交

立體被平面截切，截切的平面稱截平面，截平面與立體表面的交線稱截交線。截交線具有兩個(gè)基本性質(zhì)：封閉性和公有性。

依據(jù)立體表面性質(zhì)不同，立體的截交線可分為：平面立體截交線和曲面立體截交線。一、截交線概述

平面截切平面立體，在平面立體表面留有的交線，稱為平面立體的截交線。2、平面體截交線的形狀是由直線段圍成的平面多邊形。（封閉）㈠平面體截交線的性質(zhì)：1、平面體截交線是截平面與平面立體表面的公有線。3、平面多邊形的頂點(diǎn)是平面立體棱線與截平面的交點(diǎn)，邊是截平面與平面立體各表面的交線。二、平面與平面立體相交P㈡平面立體截交線的求法1、線面交點(diǎn)法2、面面交線法

將平面立體上參與相交的各條棱線與截平面的交點(diǎn)求出，然后將同一棱面上的兩交點(diǎn)依次連接起來(lái)，即為所求的截交線。

將平面立體上參與相交的各棱面與截平面的交線求出，這些交線圍成的平面就是截交線。1234SABCD㈢平面立體求截交線的作圖步驟：2、空間分析4、畫出截交線的投影

分析截平面與立體的相對(duì)位置，確定截交線的形狀。

3、投影分析

分析截平面、立體表面與投影面的相對(duì)位置，確定截交線的投影特性。

運(yùn)用線面交點(diǎn)法或面面交線法，求出截交線的投影。5、整理立體的棱線投影1、補(bǔ)全原始三面投影【例題1】完成五棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間分析2、投影分析3、投影作圖4、整理圖線——截交線為平面五邊形

截平面為正垂面，截交線的正面投影落在截平面的積聚性投影上；水平投影和側(cè)面投影可以通過求出五邊形的頂點(diǎn)獲得（類似形）。1′2′3′4′5′513421〞2〞3〞4〞5〞【例題2】完成棱柱體被截切后的水平投影和側(cè)面投影。5″4″3″2″1″12453676″7″1′2′3′4′5′6′7′1、空間分析：截交線為平面幾邊形？

——平面七邊形2、投影分析：

截交線的正面投影？

——落在截平面的積聚性投影上；截交線的水平投影？——其中六條邊落在六棱柱棱面的積聚性投影上，另一條邊為截平面與棱柱頂面相交的一條正垂線。3、投影作圖：4、整理圖線：【例題3】求正四棱錐被截切后的水平和側(cè)面投影。1、空間分析立體表面交線的形狀？

5邊形、4邊形、5邊形2、投影分析

截交線的正面投影落在截平面的積聚性投影上；1′2′10′3′9′4′8′5′7′6′1210391″2″10″9″3″8″4″847″5″6″675

水平截平面截切的交線平行于四棱錐相應(yīng)底邊；

側(cè)平截平面截切的交線平行于四棱錐前后棱線。3、投影作圖4、整理圖線【例題4】完成四棱臺(tái)上部開槽后的水平投影和側(cè)面投影空間分析

水平截平面與四棱臺(tái)四個(gè)棱面相交，交于四條邊；兩個(gè)側(cè)平截平面均與四棱臺(tái)三個(gè)面相交，分別交于三條邊；截平面之間有二條交線。（2個(gè)4邊形、6邊形）1′2′5′6′7′8′4′3′9′10′12562〞6〞1〞5〞4〞7〞3〞8〞10〞9〞3478109整理棱線投影

平面截切回轉(zhuǎn)體，在回轉(zhuǎn)體表面留有的交線，稱為回轉(zhuǎn)體的截交線。㈠回轉(zhuǎn)體截交線性質(zhì)

1、截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的公有線。截交線上的點(diǎn)為截平面與回轉(zhuǎn)體表面的公有點(diǎn)。

2、截交線的形狀通常為平面曲線，特殊情況下可含有直線段。截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面性質(zhì)和截平面與回轉(zhuǎn)體的相對(duì)位置。二、平面與回轉(zhuǎn)立體相交㈡回轉(zhuǎn)體截交線的求解方法與步驟2、空間分析

分析回轉(zhuǎn)體的幾何形狀，以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置，確定截交線的形狀。3、投影分析

分析截平面、回轉(zhuǎn)體表面與投影面的相對(duì)位置，確定截交線的投影特性。4、投影作圖

若截交線為非圓曲線或非直線段時(shí)，運(yùn)用回轉(zhuǎn)體表面取點(diǎn)取線方法，先作出截交線上的特殊點(diǎn)，在需要的地方補(bǔ)充一般點(diǎn)，然后用光滑曲線連接各點(diǎn)。5、整理回轉(zhuǎn)體輪廓線

檢查回轉(zhuǎn)體被截切后的輪廓素線。1、補(bǔ)全三視圖特殊點(diǎn)：（2）截交線的積聚投影與軸線的交點(diǎn)。（1）截交線的積聚投影與粗實(shí)線的交點(diǎn)。（3）如果是橢圓，應(yīng)找出橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)。

依據(jù)截平面與圓柱體軸線的相對(duì)位置不同，截交線的形狀有以下三種：圓矩形橢圓1、圓柱體的截交線圓柱體截交線為橢圓的投影特性：1、當(dāng)

＜45°截交線橢圓的長(zhǎng)軸投影后，仍為投影橢圓的長(zhǎng)軸；

＜45°

＞45°

＝45°2、當(dāng)

＞45°截交線橢圓的長(zhǎng)軸投影后，成為投影橢圓的短軸；3、當(dāng)

＝45°截交線橢圓的長(zhǎng)軸投影后，與短軸相等，橢圓的投影成為圓。【例題1】作出圓柱體被截切后的水平投影。c′d′d〞c〞a〞b〞ab1、空間分析

分析截平面與圓柱體軸線的相對(duì)位置，確定截交線的形狀——橢圓。2、投影分析

截交線的正面投影和側(cè)面投影分別落在截平面和圓柱面的積聚性投影上，要求的是截交線水平投影。3、投影作圖4、整理輪廓線a′b′dc【例題2】完成圓柱體被截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間分析分析截平面與立體的相對(duì)位置——水平面截切，截交線為矩形；——側(cè)平面截切為圓弧。2、投影分析

分析截平面與投影面的相對(duì)位置。1′(3′)2′(4′)3、投影作圖（求水平投影）4、整理輪廓素線——截交線的正面投影落在水平截平面和側(cè)平截平面的積聚性投影上；——截交線的側(cè)面投影落在圓柱面和水平截平面的積聚性投影上；要求的是水平投影。1〞(2〞)3〞(4〞)12341′(3′)2′(4′)1〞(2〞)3〞(4〞)【例題3】完成圓柱體截切后的側(cè)面投影?！纠}4】完成圓柱體截切后的側(cè)面投影。

依據(jù)截平面與圓錐體軸線的相對(duì)位置不同，截交線的形狀有以下五種：2、圓錐體的截交線【例題1】完成圓錐截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間與投影分析

截交線為橢圓，截交線的正面投影落在截平面的積聚性投影上，要作出橢圓的水平投影和側(cè)面投影。2、投影作圖

運(yùn)用錐面取點(diǎn)方法作出橢圓長(zhǎng)短軸端點(diǎn)、特殊點(diǎn)、一般點(diǎn)，用曲線光滑連接各點(diǎn)。3、整理輪廓線【例題2】完成圓錐截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間與投影分析

截交線形狀為拋物線。拋物線的正面投影落在截平面的積聚性投影上，求作拋物線的水平投影和側(cè)面投影。2、投影作圖

運(yùn)用錐面取點(diǎn)方法作出拋物線頂點(diǎn)、底端點(diǎn)、特殊點(diǎn)和一般點(diǎn)，用曲線光滑連接各點(diǎn)。3、整理輪廓線【例題3】完成圓錐截切后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間與投影分析

截交線為圓弧和兩根直線段，兩截平面間有一條交線。截交線的正面投影落在截平面的正面積聚性投影上，求作截交線的水平投影和側(cè)面投影。2、投影作圖

截交線圓弧的水平投影反映圓弧的實(shí)形。3、整理輪廓線【例題4】完成圓錐截穿孔后的水平投影和側(cè)面投影。1、空間與投影分析

截交線為圓弧、橢圓弧和直線段組成的空間曲線，三條截平面間的交線。截交線的正面投影落在截平面的正面積聚性投影上。2、投影作圖

分別求解各個(gè)截平面的截交線，截交線上的點(diǎn)可運(yùn)用錐面取點(diǎn)方法獲得。3、整理輪廓線瀏覽三維動(dòng)畫

平面截切圓球，其截交線的形狀為圓。當(dāng)截平面平行于投影面時(shí)，則截交線圓的投影反映實(shí)形；當(dāng)截平面垂直于投影面時(shí)，則截交線圓的投影為直線段；當(dāng)截平面傾斜于投影面時(shí)，則截交線圓的投影為橢圓。3、圓球的截交線【例題1】完成圓球截切后的水平投影和側(cè)面投影?！纠}2】完成半球被截切后的水平投影和側(cè)面投影。

組合回轉(zhuǎn)體通常由多個(gè)基本回轉(zhuǎn)體組合形成，求解這類形體截交線時(shí)，應(yīng)首先分析組合回轉(zhuǎn)體是由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成，以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。4、組合回轉(zhuǎn)體的截交線439(8”)ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩ1’(10’)2’(9’)3’(7’)(8’)16’5’4’102687510”1”2”3”7”5”6”9”(4”)【例3】完成銑床頂針的三面投影圖。作圖步驟①作完整立體的側(cè)面投影和水平投影；②分段求出截交線上的點(diǎn)并光滑連線；③加深輪廓線，注意判斷可見性，擦去多余線條?！纠?】完成連桿頭的三面投影圖。11’2’3’2”3”作圖步驟①作完整立體的正面投影；③求出圓臺(tái)截交線上的點(diǎn)并連線；②求出圓柱及圓球截交線；④加深截交線及輪廓線，注意判斷可見性?！纠}1】完成組合回轉(zhuǎn)體截切后的側(cè)面投影?？臻g與投影分析

組合回轉(zhuǎn)體是由同軸半球、圓柱體和圓臺(tái)組合而成。截平面為側(cè)平面，組合回轉(zhuǎn)體截交線由半園、直線段和雙曲線組成，其正面投影落在截平面的正面積聚性投影上，【例題2】完成組合回轉(zhuǎn)體截切后的正面投影?！纠}6】完成圓柱體穿三棱柱孔后的側(cè)面投影?！纠}3】完成圓球穿孔后的水平投影和側(cè)面投影。3.5

相貫線

兩立體表面相交時(shí)形成的交線，稱為相貫線。根據(jù)立體的幾何性質(zhì)不同可分為：兩平面立體相交；平面立體與曲面立體相交以及兩曲面立體相交。在實(shí)際中，常見的是兩曲面立體相交時(shí)求相貫線的問題。這里著重討論圓柱、圓錐、圓球等回轉(zhuǎn)體相交時(shí)相貫線的性質(zhì)及作圖方法。相貫線實(shí)例（1）相貫線的性質(zhì)（2）相貫線的畫法相貫線是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)。一般情況下，相貫線是封閉的空間曲線，在特殊情況下是平面曲線或直線。求相貫線的實(shí)質(zhì)，就是求兩回轉(zhuǎn)體表面上一系列共有點(diǎn)。先求特殊位上的點(diǎn)，然后求一般位置上的點(diǎn)，最后按順序連接，可見的線段畫粗實(shí)線，不可見的線段畫虛線。3.5

相貫線3.5

相貫線3.5.1利用投影的積聚性求相貫線3.5.2利用輔助平面法求相貫線2.5.3相貫線的簡(jiǎn)化畫法2.5.4相貫線的特殊情況2.5.5相貫線的尺寸注法2、相貫線的作圖步驟：1、根據(jù)兩立體表面的積聚性，找出相貫線的積聚投影（一面或兩面）。2、找出相貫線上的特殊點(diǎn)：（1）與粗實(shí)線的交點(diǎn)。（2）與軸線的交點(diǎn)。3、求出特殊點(diǎn)的投影：運(yùn)用立體表面求點(diǎn)的方法求出特殊點(diǎn)的投影。4、適當(dāng)補(bǔ)充一般點(diǎn)。5、用光滑的曲線連接起來(lái)，可見的畫粗實(shí)線，不可見的畫虛線，并整理曲面體的輪廓素線。3.5.1

利用投影的積聚性求相貫線【例3-11】求正交兩圓柱的相貫線。當(dāng)兩圓柱軸線正交時(shí)，相貫線的兩面投影具有積聚性，此時(shí)可按表面取點(diǎn)的方法作出共有點(diǎn)的第三