高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（人教A版2019選擇性必修一）專題3.13直線與拋物線的位置關系-重難點題型精講

專題3.13直線與拋物線的位置關系重難點題型精講1．直線與拋物線的位置關系(1)直線與拋物線的三種位置關系：(2)設直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關于x的方程.

①若k≠0，當>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；

當=0時，直線與拋物線相切，有一個交點；

當<0時，直線與拋物線相離，無交點.

②若k=0，直線與拋物線只有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.

因此直線與拋物線只有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.2．弦長問題設直線與拋物線交于A,B兩點，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).3．拋物線的焦點弦問題拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標).設過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標準方程形式下的弦長公式為：4．拋物線的切線過拋物線=2px(p>0)上的點P的切線方程是.

拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).5．直線與拋物線中的最值問題求與拋物線有關的最值的常見題型是求拋物線上一點到定點的最值、求拋物線上一點到定直線的最值，解與拋物線有關的最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與到準線的距離的轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數(shù)式，借助目標函數(shù)最值的求法解決.6．拋物線有關的應用問題(1)解答與拋物線有關的應用問題時，除了要準確把握題意，了解一些實際問題的相關概念，同時還要注意拋物線的定義及性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系的靈活應用.

(2)實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.【題型1判斷直線與拋物線的位置關系】【方法點撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)直線與拋物線的三種位置關系，進行判斷，即可得解.【例1】（2022·全國·高二課時練習）直線y=kx?1+2與拋物線A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【解題思路】直線y=kx?1+2過定點1,2，在拋物線【解答過程】直線y=kx?1+2過定點∵12∴1,2在拋物線x2∴直線y=kx?1+2與拋物線故選：A．【變式11】（2022·全國·高二課時練習）已知直線l過點(0,?4)，且與拋物線y2=8x有且只有一個公共點，則符合要求的直線l的條數(shù)為（A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)直線與拋物線的位置關系判斷．【解答過程】當直線l平行于x軸（即拋物線的）時，直線l與拋物線只有一個公共點，直線l與拋物線的軸不平行時，由于(0,?4)在拋物線的外部（與焦點在不同區(qū)域），因此過點有的拋物線的切線有兩條．綜上，符合要求的直線l有3條．故選：D．【變式12】（2021·全國·高二專題練習）拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，AA．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【解題思路】求出直線AF的中垂線方程，代入y2=2px，可得【解答過程】設A?p2,a，F(xiàn)p2,0，則AF的中點坐標為0,a2，kAF∴Δ=4a2?4a故選：B.【變式13】（2021·全國·高二專題練習）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【解題思路】先求出拋物線C1的方程，再利用平移變換得出拋物線C3，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，根據(jù)根的判別式即可得出結(jié)論．【解答過程】解：圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標為（﹣2，1），代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，∴a＝4，∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3：y＝4x2，聯(lián)立x+16y?1=0y2=4x，消xΔ=256+1=257>0所以直線l與拋物線C3相交，故選：A．【題型2弦長問題】【方法點撥】①解決弦長問題，一般運用弦長公式.而用弦長公式時，若能結(jié)合根與系數(shù)的關系“設而不求”，可大大簡化運算過程.②涉及弦長問題，應聯(lián)立直線與拋物線的方程，并設法消去未知數(shù)y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，由韋達定理得到(或)，代入到弦長公式即可.【例2】（2021·江蘇·高三階段練習）已知A，B在拋物線y2=4x上，且線段AB的中點為M(1，1)，則|AB|＝（A．4 B．5C．15 D．2【解題思路】設A(x1,y1),B(x【解答過程】由題意，設A(x線段AB的中點為M(1，1)，故x1且y1兩式相減得：y1故kAB故直線AB的方程為：y?1=2(x?1)，即y=2x?1，將直線與拋物線聯(lián)立：y2即4xΔ=則|AB|=(故選：C.【變式21】（2022·江蘇南通·模擬預測）已知直線y=x?2與拋物線y2=4x交于A,B兩點，P為AB的中點，O為坐標原點，則OP2A．2 B．?2 C．4 D．?4【解題思路】直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組求得交點A,B坐標，再求得中點P坐標，計算出OP，PA即可得．【解答過程】由y=x?2y2=4x得x2?8x+4=0則y1=2+23所以A(4+23,2+23AB=P為AB的中點，則PA=P(4,2)，OP=所以OP2故選：D．【變式22】（2023·全國·高三專題練習）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線C:y2=4x，一條平行于x軸的光線l1從點P8,4射入，經(jīng)過C上的點A反射后，再經(jīng)C上另一點B反射后，沿直線lA．7 B．174 C．214 【解題思路】根據(jù)題意可知A(4,4)和拋物線C的焦點為F(1,0)，由此可知直線AB的方程為y=43(x?1)，將直線AB【解答過程】由題意可知，l1又光線l1從點P8,4射入，經(jīng)過C上的點所以A(4,4)，又拋物線C的焦點為F(1,0)，所以直線AB的方程為y=4?03?1(x?1)聯(lián)立方程y=43(x?1)y2=4x所以B14,?1故選：D．【變式23】（2022·湖南岳陽·高二期末）已知直線l與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點，若OA?OBA．4 B．42 C．8 D．【解題思路】根據(jù)已知條件設出直線的方程與拋物線聯(lián)立方程組，再利用韋達定理得出根的關系，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標運算及弦長公式即可求解.【解答過程】由題意可知，直線l不可能與x軸平行，設直線l的方程為x=my+n(n≠0)，由{y2=4xx=my+n，消去設A(x1,所以x1因為OA?OB=0，所以x1x|AB|==(1+當且僅當m2=0即m=0時，|AB|取的最小值為所以|AB|的最小值為8,故選：C.【題型3拋物線的焦點弦問題】【方法點撥】根據(jù)拋物線的焦點弦公式，結(jié)合具體條件，進行求解即可.【例3】（2022·湖南·高三期末（文））已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點F且傾斜角為45°的直線l與拋物線分別交于A?BA．1 B．3 C．6 D．8【解題思路】由題意可得直線l與的方程為y=x?1，代入拋物線方程得x2?6x+1=0，根據(jù)韋達定理與焦半徑的公式即可求出【解答過程】解：由題意可知F(1,0)，所以直線l與的方程為y=x?1，聯(lián)立直線方程和拋物線方程y=x?1y2=4x設A(則x1所以AB=|AF|+|BF|=故選：D.【變式31】（2022·河南·高三開學考試（文））過拋物線y2=4x的焦點F的直線l交拋物線于A,B兩點，若AB的中點M的橫坐標為2，則線段AB的長為（A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】結(jié)合拋物線的弦長公式求得正確答案.【解答過程】設點A,B的橫坐標分別為x1,x由過拋物線的焦點的弦長公式知：AB=故選：C.【變式32】（2022·河南·高三階段練習（文））直線y=x?1過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F，且與C交于A、B兩點，則|AB|=A．6 B．8 C．2 D．4【解題思路】聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)拋物線的焦點坐標，結(jié)合焦點弦長公式求解即可【解答過程】因為拋物線C:y2=2px(p>0)又直線y=x?1過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F，所以p=2，拋物線C的方程為y2=4x，由y=x?1y2故選：B.【變式33】（2022·全國·模擬預測（文））入射光線由點A5,23出發(fā)，沿x軸反方向射向拋物線C：y2=4x上一點P，反射光線PQ與拋物線C交于點Q，則A．4 B．163 C．2 D．【解題思路】根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)，結(jié)合拋物線的焦點弦公式求解即可【解答過程】易得P的縱坐標為23，代入y2=4x可得P3,23.根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)可得，因為入射光線由點A5,23出發(fā)，沿x軸反方向射向拋物線，故反射光線PQ經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F1,0，故PQ的斜率為233?1故選：B.【題型4拋物線中的面積問題】【方法點撥】拋物線中的面積問題主要有三角形面積和四邊形面積問題，三角形面積問題的解題步驟是：聯(lián)立直線與拋物線方程，求出弦長，再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，利用三角形面積公式求解即可；四邊形面積問題可化為兩個三角形面積來求解.【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C:x2=2py(p>0)上一點P6,y(1)求拋物線C的方程；(2)過點F且斜率為?33的直線l與拋物線C交于A，B兩點，點M為拋物線C準線上一點，且MA?【解題思路】（1）由題知2y（2）結(jié)合（1）得直線l的方程為x+3y?33=0，進而與拋物線方程聯(lián)立得A，B的坐標分別為(23,1)，(?63,9)，再設M的坐標為(t,?3)，進而結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算t=?3【解答過程】（1）解：因為拋物線C:x2=2py(p>0)上一點P6,y所以，拋物線的定義得|PF|=y所以，2y0=y所以，拋物線的方程為x2（2）解：由（1）知點F(0,3)，所以直線l的方程為x+3所以，聯(lián)立方程x+3y?33=0設Ax1,y1，Bx2點A，B的坐標分別為(23,1)，設點M的坐標為(t,?3)，則MA=(23?t,4)所以MA?MB=(23?t)(?6所以|AB|=|AF|+|BF|=y點M到直線l的距離為d=|t?63|2，故d=當d=732時，△MAB的面積為當d=932時．△MAB【變式41】（2022·全國·高二課時練習）已知點Px,y到定點M0,12的距離比它到(1)求點P的軌跡C的方程；(2)在（1）的條件下，且y≥0時，過軌跡C的焦點且傾斜角為45°的直線交軌跡C于點A、B，求△AOB的面積．【解題思路】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡求得P點的軌跡C的方程.（2）求得直線AB的方程，利用弦長公式、點到直線的距離公式求得三角形AOB的面積.【解答過程】（1）依題意x2+y?1兩邊平方得x2x2?兩邊平方得x4整理得x4=2y?可得x2=2y或當x=0時，②轉(zhuǎn)化為y?12=?此時①轉(zhuǎn)化為y?12=所以P點的軌跡C的方程為x2=2y或（2）當y≥0時，軌跡C的方程為x22p=2,p=1,p2=12所以直線AB的方程為y?12=由y=x+12x2=2y設Ax1,所以AB=原點O到直線2x?2y+1=0的距離為12所以三角形AOB的面積為12【變式42】（2022·河南·高二期末（文））已知拋物線C:x2=2pyp>0上的點t,4到焦點(1)求拋物線C的方程；(2)過點F作兩條互相垂直的直線l1與l2，直線l1交C于M，N兩點，直線l2交C于P，【解題思路】（1）根據(jù)圓的半徑及拋物線的定義可得方程；（2）分別聯(lián)立兩條直線與拋物線，可得線段MN與PQ長度，進而可得面積，結(jié)合基本不等式可得最小值.【解答過程】（1）由題設知，拋物線的準線方程為y=?p2，由點t,4到焦點F的距離等于圓x2+y2?2x+4y?31=0的半徑，而x2+y2?2x+4y?31=0可化為（2）由題意可知，直線l1與直線l2的斜率都存在，且焦點F坐標為因為l1⊥l2，不妨設直線l1的方程為y=kx+2聯(lián)立x2=8yy=kx+2，得x設Mx1,y1，N所以MN=同理，得PQ=8所以四邊形MPNQ的面積S=12MNPQ=1所以四邊形MPNQ的面積的最小值是128．【變式43】（2022·上海市高三階段練習）如圖，已知點F1,0為拋物線y2=2pxp>0的焦點．過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點A在第一象限，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側(cè)，記△AFG，△CQG的面積分別為S(1)求p的值及拋物線的準線方程；(2)設A點縱坐標為2t，求S1S2(3)求S1S2【解題思路】（1）由焦點坐標確定p的值和準線方程即可；（2）設出直線方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達定理求得面積的表達式，再用2t代換y1（3）根據(jù)已求的函數(shù)關系式，結(jié)合基本不等式即可求得S1S2【解答過程】（1）因為點F1,0為拋物線y2=2px所以p2=1，即p=2，準線方程（2）設Ax設直線AB的方程為y=kx?1,k≠0，與拋物線方程k2x2y1設點C的坐標為CxxG=x1+x2令yG=0可得：y3=?4由斜率公式可得：kAC直線AC的方程為：y?y令y=0可得：xQ故S1且S2由于y3=?4由y1+y2=則S1S2令y1=2t，得即S1S2關于t（3）設m=t2?2當且僅當m=3m，即m=3，t=即S1S2此時k=4y1y12?4【題型5拋物線中的定點、定值、定直線問題】【例5】（2022·江蘇南京·高三階段練習）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點為F，過點P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點．當l經(jīng)過點F時，點A(1)求p的值；(2)是否存在定點T，使得TA?TB為常數(shù)？若存在，求出點【解題思路】（1）結(jié)合中點坐標公式表示出點A的坐標帶入拋物線的方程即可求出結(jié)果；（2）設出直線的方程與拋物線聯(lián)立，進而結(jié)合根與系數(shù)的關系得到TA?TB的表達式，從而可得【解答過程】（1）因為Fp2,0,P0,2，且點A恰好為線段PF中點，所以Ap4,1（2）設Tm,n，可知直線l斜率存在；設l：y=kx+2，聯(lián)立方程得：y2=22所以y1又：TA====4?2令4m+42?22n=04?22m=0【變式51】（2022·上海市高二期末）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，P(?1,0)，過F作直線l交拋物線C于A(1)若直線l的斜率為1，求線段AB的中點坐標；(2)設直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB，求證：【解題思路】（1）根據(jù)拋物線和直線的位置關系，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理來求交點坐標的中點坐標即可；（2根據(jù)題意假設直線方程，再聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，對所需證明的式子化簡即可.【解答過程】（1）根據(jù)題意點F（1，所以l的方程為y=x?1，聯(lián)立拋物線方程y=x?1y根據(jù)韋達定理有x1+x2=6,所以y1所以A,B中點坐標為(x1+（2）根據(jù)題意直線l與拋物線有兩個交點，所以直線l的斜率不可能為0，設直線l方程為x=my+1，聯(lián)立拋物線方程有x=my+1y據(jù)韋達定理有y1kPA+k所以kPA【變式52】（2022·四川·教科所三模（理））設拋物線E：y2=2pxp>0，以N(1)求拋物線E的方程；(2)過點N的兩條直線分別與曲線E交于點A，B和C，D，且滿足NA=λNB，NC=λND，求證：線段【解題思路】（1）設N到l的距離為d，由題意可得：d2+822（2）設Bx1,y1，Dx2,y2，由NA=λNB，表示出A點的坐標，代入拋物線的方程結(jié)合題意可得?λy【解答過程】(1)E：y2=2pxp>0的準線設N到l的距離為d，由已知得d2+822=52，∴E的方程為y(2)設Bx1∵NA=λNB，∴xA?2=λx代入y2=4x∴λ∴λ∵點N在拋物線內(nèi)部，∴λ<0，1?λ≠0，∴?λ同理?λ∴y1，y2是關于y的方程∴y1+y∴BD的中點在直線y=1上．【變式53】（2022·全國·高二課時練習）如圖，F(xiàn)是拋物線y2=2pxp>0的焦點，Q是準線與x軸的交點，斜率為k的直線l(1)當k取不同數(shù)值時，求直線l與拋物線公共點的個數(shù)；(2)若直線l與拋物線相交于A、B兩點，求證：kFA(3)在x軸上是否存在這樣的定點M，對任意的過點Q的直線l與拋物線相交于A、B兩點，均能使得kMA?k【解題思路】（1）求得直線l的方程并代入拋物線的方程，對k進行分類討論，由此求得正確答案.（2）結(jié)合根與系數(shù)關系，計算出kFA（3）設Mt,0，求得kMA?kMB【解答過程】（1）拋物線y2=2pxp>0的焦點為F設l:y=kx+p2，代入y2當k=0，直線l的方程為y=0，與y2=2px的交點為原點0,0，直線l與拋物線有當k≠0，Δ=?4若Δ>0，即k∈?1,0∪0,1，直線若Δ=0，即k=±1時，直線l與拋物線有1若Δ<0，即k<?1或k>1，直線l（2）由于直線l與拋物線有兩個交點，由（1）得k∈?1,0設交點Ax1,由①得x1kFA+k所以kFA（3）若存在滿足條件的點Mt,0，使得k則k=k2=p僅當t=0，即M0,0時，kMA?【題型6拋物線有關的應用問題】【方法點撥】利用拋物線解決實際問題的基本步驟：①建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?；②求出拋物線的標準方程；③根據(jù)拋物線的方程及定義、直線與拋物線的位置關系來解決實際應用問題.【例6】（2022·全國·高二課時練習）某單行隧道橫斷面由一段拋物線及一個矩形的三邊組成，尺寸如圖所示（單位：m），某卡車載一集裝箱，車寬3m，車與集裝箱總高4.5m，此車能否安全通過隧道？說明理由．【解題思路】建立平面直角坐標系，求出拋物線方程，當車走中間時x=1.5，代入拋物線求縱坐標，與車貨總高比較即可.【解答過程】以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，如圖，則點A的坐標為3,?3．設拋物線的標準方程為x2=?2py（將點A的坐標代入上式，得9=6p，即2p=3．所以拋物線的標準方程為x2將x=1.5代入拋物線的標準方程，得y=?0.75，則5?0.75=4.25<4.5．這說明，即使集裝箱處于隧道的正中位置，車與集裝箱的總高也會高于BD，所以此車不能安全通過隧道．【變式61】（2022·安徽·高二期末）如圖是一拋物線型機械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點深度4cm，口徑長為12cm．(1)以頂點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖），求該拋物線的標準方程；(2)為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點深度減少1cm，求此時該磨具的口徑長．【解題思路】（1）設拋物線的標準方程為x2=2py，由題意可得拋物線過點6,4，將此點代入方程中可求出（2）設此時的口徑長為2aa>0，則拋物線過點(a,3)，代入拋物線方程可求出a【解答過程】(1)由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的標準方程為x2因為頂點深度4，口徑長為12，所以該拋物線過點6,4，所以62=2p×4，得2p=9，所以拋物線方程為(2)若將磨具的頂點深度減少1cm，設此時的口徑長為2a則可得a2=9×3，得a=33【變式62】（2022·江蘇南通·高二期末）如圖，馬路l南邊有一小池塘，池塘岸MN長40米，池塘的最遠端O到l的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現(xiàn)要在池塘的周邊建一個等腰梯形的環(huán)池塘小路AB,BC,CD，且AB,BC,CD均與小池塘岸線相切，記∠BAD=θ.（1）求小路的總長，用θ表示；（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區(qū)域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時，tanθ【解題思路】（1）建立合適的平面直角坐標系，求出小池塘的邊界拋物線方程，然后設出直線AB的方程，和拋物線聯(lián)立，可求出切點坐