新版高中數(shù)學(xué)人教A版必修2習(xí)題第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系第二章檢測（A）

第二章檢測(A)(時(shí)間:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列命題正確的是()A.沒有公共點(diǎn)的兩條直線是平行直線B.互相垂直的兩條直線是相交直線C.既不平行又不相交的兩條直線是異面直線D.不在同一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線解析:沒有公共點(diǎn)的兩條直線還可能異面,所以A選項(xiàng)不正確;互相垂直的直線還可能是異面直線,所以B選項(xiàng)不正確;D選項(xiàng)中,缺少任一平面內(nèi),所以D選項(xiàng)不正確;很明顯C選項(xiàng)正確.答案:C2.在長方體ABCDA1B1C1D1中,異面直線AB,A1D1所成的角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°解析:由于AD∥A1D1,則∠BAD是異面直線AB,A1D1所成的角,很明顯∠BAD=90°.答案:D3.對(duì)兩條不相交的空間直線a與b,必存在平面α,使得()A.a?α,b?α B.a?α,b∥αC.a⊥α,b⊥α D.a?α,b⊥α解析:對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)a與b是異面直線時(shí),A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,若a,b不相交,則a與b平行或異面,都存在α,使a?α,b∥α,B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,但當(dāng)a與b異面時(shí),不存在平面α,使結(jié)論成立,C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,a?α,b⊥α,一定有a⊥b,但當(dāng)a與b平行時(shí),不存在平面α,使結(jié)論成立,D錯(cuò)誤.答案:B4.給出下列四個(gè)命題:①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行②垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行③若直線l1,l2與同一平面所成的角相等,則l1,l2互相平行其中不正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.0解析:利用特殊的幾何體正方體進(jìn)行驗(yàn)證,我們不難發(fā)現(xiàn)①②③均不正確.故選C.答案:C5.若l為直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是()A.若l∥α,l∥β,則α∥βB.若l⊥α,l⊥β,則α∥βC.若l⊥α,l∥β,則α∥βD.若α⊥β,l∥α,則l⊥β解析:對(duì)于A,若l∥α,l∥β,則α和β可能平行也可能相交,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由線面垂直的性質(zhì)可得,B正確;對(duì)于C,若l⊥α,l∥β,應(yīng)推出α⊥β,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,l與β的位置關(guān)系不確定,l∥β,l?β,l與β相交,都有可能,故D錯(cuò)誤.答案:B6.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,若E是A1C1的中點(diǎn),則直線CE垂直于()A.BD B.ACC.AD D.A1D1解析:由BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,則BD⊥平面ACC1A1.又CE?平面ACC1A1,所以BD⊥CE.答案:A7.如圖,點(diǎn)S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分別是SC和AB的中點(diǎn),則EF的長是()A.1 B.2 C.22 D.解析:取CB的中點(diǎn)D,連接ED,DF,則∠EDF(或其補(bǔ)角)為異面直線SB與AC所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF中,ED=12SB=1,DF=12AC=1,所以EF=答案:B8.已知四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1,底面為正方形,則側(cè)棱與底面所成的角為()A.75° B.60° C.45° D.30°解析:如圖,O為底面ABCD的中心,連接AC,BD,SO,易得SO⊥平面ABCD.所以∠OCS為側(cè)棱SC與底面ABCD所成的角.又由已知可求得OC=22.因?yàn)镾C=1,所以∠OCS=45°答案:C9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,點(diǎn)A∈α,A?l,直線AB∥l,直線AC⊥l,直線m∥α,m∥β,則下列四種位置關(guān)系中,不一定成立的是()A.AC⊥β B.AC⊥mC.AB∥β D.AB∥m解析:如圖,則有AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l?AC⊥m;AB∥l,AB?β?AB∥β.答案:A10.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是線段A1B1,B1C1上與端點(diǎn)不重合的動(dòng)點(diǎn),A1E=B1F,有下面四個(gè)結(jié)論:①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF與AC異面;④EF∥平面ABCD.其中一定正確的是()A.①② B.②③C.②④ D.①④解析:如圖,由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF?平面A1B1C1D1,則EF⊥AA1,所以①正確;當(dāng)E,F分別是線段A1B1,B1C1的中點(diǎn)時(shí),EF∥A1C1,又AC∥A1C1,則EF∥AC,所以③不正確;當(dāng)E,F不是線段A1B1,B1C1的中點(diǎn)時(shí),EF與AC異面,所以②不正確;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF?平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正確.答案:D二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)11.直線l1∥l2,在l1上取2個(gè)點(diǎn),l2上取2個(gè)點(diǎn),由這4個(gè)點(diǎn)能確定平面的個(gè)數(shù)是.

解析:因?yàn)閘1∥l2,所以經(jīng)過l1,l2有且只有一個(gè)平面.答案:112.在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和BC上的點(diǎn),若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,則對(duì)角線AC與平面DEF的位置關(guān)系是.

解析:因?yàn)锳E∶EB=CF∶FB=1∶3,所以EF∥AC.又因?yàn)锳C?平面DEF,EF?平面DEF,所以AC∥平面DEF.答案:平行13.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,直線l過點(diǎn)A且垂直于平面ABC,動(dòng)點(diǎn)P∈l,當(dāng)點(diǎn)P逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)A時(shí),∠PCB的大小會(huì).(填“變大”“變小”或“不變”)

解析:∵l⊥平面ABC,∴l(xiāng)⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴∠PCB=90°.故當(dāng)點(diǎn)P逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)A時(shí),∠PCB的大小不變.答案:不變14.已知長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為正方形,它的體積為3,底面對(duì)角線的長為2,則A1B1與平面AB1C1所成角的大小為.

解析:由已知可求得長方體ABCDA1B1C1D1的底面邊長為1,側(cè)棱長為3.過點(diǎn)A1作A1E⊥AB1于點(diǎn)E,因?yàn)锽1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1E.因?yàn)锳B1∩B1C1=B1,所以A1E⊥平面AB1C1.所以∠A1B1E即為A1B1與平面AB1C1所成的角.因?yàn)锳A1=3,A1B1=1,所以AB1=2,A1E=32因?yàn)閟in∠A1B1E=A1所以∠A1B1E=60°.答案:60°15.如圖,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛1B1C1D1滿足條件時(shí),有A1C⊥B1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種情況即可,不必考慮所有可能的情況).

解析:由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1C1C,即只要B1D1⊥A1C1.此題還可以填寫四邊形A1B1C1D1是菱形、正方形等條件.答案:B1D1⊥A1C1(答案不唯一)三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16.(8分)如圖,PA⊥正方形ABCD所在的平面,經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于PC的平面分別交PB,PC,PD于E,F,G,求證:AE⊥PB.證明因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又ABCD是正方形,所以AB⊥BC.而PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.因?yàn)锳E?平面PAB,所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE.因?yàn)镻C∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.所以AE⊥PB.17.(8分)如圖,已知直三棱柱ABCA'B'C'的底面為等邊三角形,D是AA'上的點(diǎn),E是B'C'的中點(diǎn),且A'E∥平面DBC'.試判斷點(diǎn)D在AA'上的位置,并給出證明.解:點(diǎn)D為AA'的中點(diǎn).證明如下:取BC的中點(diǎn)F,連接AF,EF.設(shè)EF與BC'交于點(diǎn)O,連接DO,易證A'E∥AF,A'E=AF,且A',E,F,A共面于平面A'EFA.因?yàn)锳'E∥平面DBC',A'E?平面A'EFA,且平面DBC'∩平面A'EFA=DO,所以A'E∥DO.在平行四邊形A'EFA中,因?yàn)镺是EF的中點(diǎn)(因?yàn)镋C'∥BF,且EC'=BF),所以點(diǎn)D為AA'的中點(diǎn).18.(9分)如圖,在四棱錐PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求證:DC⊥平面PAC.(2)求證:平面PAB⊥平面PAC.(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF?說明理由.(1)證明因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因?yàn)镈C⊥AC,所以DC⊥平面PAC.(2)證明因?yàn)锳B∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解:棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF.證明如下:取PB中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EF∥PA.又因?yàn)镻A?平面CEF,所以PA∥平面CEF.19.(10分)已知四面體ABCD的棱長都相等,Q是AD的中點(diǎn),求CQ與平面DBC所成的角的正弦值.解:過點(diǎn)A作AO⊥平面BCD,連接OD,OB,OC,可知O是△BCD的中心.作QP⊥OD,如圖.易知QP∥AO,所以QP⊥平面BCD.連接CP,則∠QCP即為所求的角.設(shè)四面體的棱長為a,因?yàn)樵诘冗吶切蜛CD中,Q是AD的中點(diǎn),所以CQ=32a因?yàn)镼P∥AO,Q是AD的中點(diǎn),所以QP=12AO=12a2-33a2=20.(10分)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點(diǎn).(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求證:C1F∥平面ABE;(3)求三棱錐EABC的體積.(1)證明在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因?yàn)锳B⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)證明