第4章 穩(wěn)定性分析

現(xiàn)代控制理論

——第4章系統(tǒng)穩(wěn)定性分析鄧曉剛dengxiaogang@中國(guó)石油大學(xué)（華東）信息與控制工程學(xué)院自動(dòng)化系ModernControlTheory:Chapter-4穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)最重要的特性系統(tǒng)的穩(wěn)定性：外界干擾作用下偏離平衡狀態(tài)，擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身恢復(fù)到原先平衡狀態(tài)的一種“頑性”線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判定只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，穩(wěn)定的條件是特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部(在左半根平面)勞斯判據(jù)、乃奎斯特判據(jù)非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判定同時(shí)與初始條件和外部擾動(dòng)的大小有關(guān)，無(wú)法使用線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)如何判斷穩(wěn)定性？

李雅普諾夫（Lyapunov)方法（適用于線(xiàn)性、非線(xiàn)性系統(tǒng)）§4.1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義經(jīng)典控制理論中沒(méi)有給出關(guān)于穩(wěn)定性的一般定義，俄國(guó)數(shù)學(xué)家Lyapunov給出了對(duì)任何系統(tǒng)都普遍適用的穩(wěn)定性的一般定義穩(wěn)定性問(wèn)題都是相對(duì)于某個(gè)平衡狀態(tài)而言的，線(xiàn)性定常系統(tǒng)由于只有唯一的一個(gè)平衡狀態(tài)，所以才籠統(tǒng)地講所謂的系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題，對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)則由于可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)，不同的平衡狀態(tài)可能表現(xiàn)不同的穩(wěn)定性，必須逐個(gè)分別加以討論。一、系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)及平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)：狀態(tài)空間中滿(mǎn)足的一個(gè)狀態(tài)。即平衡狀態(tài)的各分量相對(duì)時(shí)間不再發(fā)生變化。自治系統(tǒng)：系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為狀態(tài)軌線(xiàn)：系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程由初始狀態(tài)x0引起的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡，稱(chēng)為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)或狀態(tài)軌線(xiàn)對(duì)于任意系統(tǒng)，不一定存在平衡狀態(tài)，即使存在也不唯一二、李雅普諾夫穩(wěn)定性定義狀態(tài)空間中x0點(diǎn)至xe點(diǎn)之間的距離為：鄰域：點(diǎn)集S(e)表示以xe為中心，以e為半徑的超球體，x∈S(e)表示為||x-xe||≤e，當(dāng)e很小時(shí)，則稱(chēng)S(e)為xe的鄰域有界自由響應(yīng)：若狀態(tài)方程的解F(t;x0,t0)位于球域S(e)內(nèi)，便有

||F(t;x0,t0)-xe||≤e，t≥t0，表明狀態(tài)方程由初始狀態(tài)引起的自由響應(yīng)是有界的Lyapunov根據(jù)自由響應(yīng)是否有界給出四種穩(wěn)定性定義：歐幾里德范數(shù)1.李雅普諾夫意義下穩(wěn)定對(duì)于任意小的實(shí)數(shù)e>0，均存在另一實(shí)數(shù)d(e,t0)>0

，當(dāng)初始狀態(tài)滿(mǎn)足||x0-xe||≤d(e,t0)時(shí)，系統(tǒng)從x0出發(fā)運(yùn)動(dòng)軌跡滿(mǎn)足||F(t;x0,t0)-xe||≤e，t≥t0

，則稱(chēng)該平衡狀態(tài)xe

是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱(chēng)xe是穩(wěn)定的。如果齊次狀態(tài)方程有平衡狀態(tài)xe⑴李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定通常時(shí)變系統(tǒng)的

與t0有關(guān)，時(shí)不變系統(tǒng)的

與t0無(wú)關(guān)。只要

與t0無(wú)關(guān)，這種平衡狀態(tài)稱(chēng)為一致穩(wěn)定的。⑵時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性時(shí)不變系統(tǒng)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定和一致穩(wěn)定必為等價(jià)。⑶李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的實(shí)質(zhì)上是工程意義下的臨界穩(wěn)定。2、漸近穩(wěn)定性如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，軌線(xiàn)不僅不超出S(e)，而且最終收斂于xe，則稱(chēng)這種平衡狀態(tài)xe漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定是一個(gè)局部概念，只確定某個(gè)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性并不意味著整個(gè)系統(tǒng)可以正常運(yùn)行漸近穩(wěn)定性是工程意義下的穩(wěn)定性盡可能擴(kuò)大漸近穩(wěn)定的區(qū)域是重要的。

3、大范圍漸近穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線(xiàn)都具有漸近穩(wěn)定性，則稱(chēng)這種平衡狀態(tài)xe大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)而言，如果平衡狀態(tài)時(shí)漸近穩(wěn)定的，必然是大范圍漸近穩(wěn)定的非線(xiàn)性系統(tǒng)中，平衡狀態(tài)一般只具有小范圍漸近穩(wěn)定⑴一致漸近穩(wěn)定⑵時(shí)不變系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定屬性漸近穩(wěn)定

一致漸近穩(wěn)定⑶小范圍和大范圍漸近穩(wěn)定⑷大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件：xe唯一⑸線(xiàn)性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定屬性漸近穩(wěn)定

大范圍漸近穩(wěn)定⑹漸近穩(wěn)定的工程含義漸近穩(wěn)定＝工程意義下穩(wěn)定4、不穩(wěn)定如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)e>0和任一實(shí)數(shù)d>0，不管d

這個(gè)實(shí)數(shù)多么小，從S(d)內(nèi)出發(fā)的軌線(xiàn)，至少有一個(gè)軌線(xiàn)越過(guò)S(e

)，則稱(chēng)這種平衡狀態(tài)不穩(wěn)定

穩(wěn)定性的概念分析不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱(chēng)系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱(chēng)系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)。為了滿(mǎn)足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱(chēng)系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定§4.2李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法（間接法）,其思想是利用狀態(tài)方程解的特性來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。適用于線(xiàn)性定常、線(xiàn)性時(shí)變及可線(xiàn)性化的非線(xiàn)性系統(tǒng)。線(xiàn)性定常系統(tǒng)：求解特征方程的根非線(xiàn)性系統(tǒng)：線(xiàn)性化處理，求解特征方程一、線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線(xiàn)性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe=0漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值均具有負(fù)實(shí)部以上指的是狀態(tài)穩(wěn)定性(內(nèi)部穩(wěn)定性)，工程中往往更注意輸出穩(wěn)定性(外部穩(wěn)定性)輸出穩(wěn)定性：有界輸入u引起的輸出y是有界的充要條件：傳函的極點(diǎn)全部位于左半s平面。無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性一致[例]分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性和輸出穩(wěn)定性解：求解特征方程特征值為系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于左半S平面，因此系統(tǒng)輸出穩(wěn)定二、非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)將f(x)在平衡點(diǎn)xe鄰域內(nèi)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，得xe為孤立平衡點(diǎn)。雅可比矩陣為高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)若令Dx=x-xe，并取一次近似式，可得系統(tǒng)的線(xiàn)性化方程為李雅普諾夫穩(wěn)定性結(jié)論：①如果A陣的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部,則平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定，②如果A陣的特征值至少一個(gè)為正實(shí)部，則不穩(wěn)定；③如A陣的特征值至少一個(gè)實(shí)部為0，則的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)R(x)來(lái)決定。

試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。例

已知非線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)方程解：令可以求出平衡狀態(tài)，系統(tǒng)有兩個(gè)平衡點(diǎn)xe1=[0,0]T;xe2=[1,1]T在xe1=[0,0]T處將其線(xiàn)性化有其中雅可比矩陣A為其特征值為：l1=1，l2=-1，可判原非線(xiàn)性系統(tǒng)在xe1不穩(wěn)定在xe2=[1,1]T處將其線(xiàn)性化有雅可比矩陣為其特征值為：l1=j，l2=-j，實(shí)部為零，不能應(yīng)用線(xiàn)性化方法判斷原非線(xiàn)性系統(tǒng)在xe2的穩(wěn)定性?！?.3李雅普諾夫第二法基本思路：從能量觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析：1)如果一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的推移逐漸衰減，到達(dá)平衡狀態(tài)時(shí)，能量將達(dá)最小值，則這個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；

2)反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲(chǔ)能越來(lái)越大，則這個(gè)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；

3)如果系統(tǒng)的儲(chǔ)能既不增加，也不消耗，則這個(gè)平衡狀態(tài)就是Lyapunov意義下的穩(wěn)定。

由于實(shí)際系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性，往往不能直觀(guān)地找到一個(gè)能量函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)的能量關(guān)系;

于是Lyapunov定義了一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(x)，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，用其一階微分的符號(hào)特征來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、預(yù)備知識(shí)1.標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)由n維向量x定義標(biāo)量函數(shù)V(x),且V(x)一階導(dǎo)數(shù)存在，V(0)=0，如果x≠0

時(shí)若V(x)>0則稱(chēng)V(x)是正定的若V(x)<0則稱(chēng)V(x)是負(fù)定的若V(x)≥0則稱(chēng)V(x)是半正定的若V(x)≤0則稱(chēng)V(x)是半負(fù)定的若V(x)<0或V(x)>0則稱(chēng)V(x)是不定的分析舉例，判斷下列函數(shù)是否為正定的？

正定的 半正定的 負(fù)定的 半負(fù)定的 不定的2.二次型標(biāo)量函數(shù)設(shè)x=[

x1,x2,

···,xn]T，則實(shí)二次型標(biāo)量函數(shù)記為：V(x)=V(x1,x2,

···,xn)=xTPx

其中，P稱(chēng)為二次型的矩陣(實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣)

二次型函數(shù)在李雅普諾夫穩(wěn)定性判斷中有重要意義。二次型標(biāo)量函數(shù)V(x1,x2,

···,xn)=xTPx，式中P為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣①如果x

0,若xTPx>0,則稱(chēng)二次型函數(shù)V(x)為正定的，同時(shí)稱(chēng)P為正定矩陣，記為P>0。②如果x

0,若xTPx≥0，則稱(chēng)二次型函數(shù)V(x)為半正定的，稱(chēng)P為半正定矩陣，記為P≥0。③如果x

0,若xTPx<0,則稱(chēng)二次型函數(shù)V(x)為負(fù)定的，稱(chēng)P為負(fù)定矩陣，記為P<0。④如果x

0,若xTPx≤0,則稱(chēng)二次型函數(shù)V(x)為半負(fù)定的，稱(chēng)P為半負(fù)定矩陣，記為P≤0。⑤若V既不是半正定又不是半負(fù)定，則稱(chēng)P為不定的。3.希爾維斯特(Sylvester)判據(jù)(P的定號(hào)判別準(zhǔn)則)

i(i=1,2,…,n)為其各階主子行列式：V(x1,x2,

···,xn)=xTPx的符號(hào)判斷取決于P的符號(hào)矩陣P定號(hào)的充要條件是：(1)若

i>0(i=1,2,…,n)，則P為正定的。(2)若

i，則P為負(fù)定的。>0i為偶數(shù)<0i為奇數(shù)(3)若

i，則P為半正定的。

0i=(1,2,…,n-1)=0i=n(4)若

i，則P為半負(fù)定的。0i為偶數(shù)

0i為奇數(shù)=0i=n二、穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為xe=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，滿(mǎn)足f(xe)=0，若可構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)V(x)滿(mǎn)足：①標(biāo)量函數(shù)V(x)對(duì)x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)②

V(x)

是正定的，即V(0)=0，且對(duì)狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)x滿(mǎn)足V(x)>0

③V(x)沿狀態(tài)軌跡方向計(jì)算的時(shí)間導(dǎo)數(shù)V(x)=dV(x)/dt．系統(tǒng)穩(wěn)定性可做如下判斷：

為半負(fù)定的，則平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定——穩(wěn)定判據(jù)；為負(fù)定的；或者為半負(fù)定，但對(duì)任意初始狀態(tài)x(t0)≠0，

對(duì)x≠0，不恒為零，則平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的.如果進(jìn)一步還有||x||→∞時(shí)，V(x)→∞，那么平衡狀態(tài)xe為大范圍漸近穩(wěn)定的——漸近穩(wěn)定判據(jù)；為正定的，則平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定——不穩(wěn)定判據(jù)。[例]設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：由平衡狀態(tài)方程得解得唯一的平衡狀態(tài)為x1=0,x2=0,

即xe=0,

為坐標(biāo)原點(diǎn)。為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，平衡狀態(tài)（0,0）漸近穩(wěn)定。并且||x||→∞，有V(x)→∞，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。選取一正定的標(biāo)量函數(shù)其一階導(dǎo)數(shù)為[例]設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x1=0,x2=0為系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：選取一正定的標(biāo)量函數(shù)≤0半負(fù)定必定滿(mǎn)足李雅普諾夫意義下穩(wěn)定，是否是漸進(jìn)穩(wěn)定呢？且‖x‖→∞，有V(x)→∞。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。結(jié)合①和狀態(tài)方程

x10

即原點(diǎn)，排除！矛盾！結(jié)合②和狀態(tài)方程

對(duì)于x≠0,是否恒為0？可能性①：x20，

x1任意可能性②：x2

-1，

x1任意即對(duì)x≠0,

不恒為0關(guān)于李雅普諾夫函數(shù)的說(shuō)明：(1)普適性。該判據(jù)適用線(xiàn)性和非線(xiàn)性、時(shí)變和時(shí)不變等各類(lèi)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；(2)Lyapunov函數(shù)V(x)不等同于物理意義上的能量，是一個(gè)正定標(biāo)量函數(shù)，可視為一個(gè)廣義能量函數(shù)；(3)系統(tǒng)漸