模型20 加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型（學(xué)生用）

PAGE1模型介紹模型介紹對于費(fèi)馬點(diǎn)問題，大家已經(jīng)見得比較多了，相信都能熟練解決，如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題，費(fèi)馬點(diǎn)問題屬于權(quán)為1的特殊情況.加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題解決方法類似，也是通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，只不過要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法.【類型一單系數(shù)類】當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度，一種是旋轉(zhuǎn)放縮.【類型二多系數(shù)類】其實(shí)當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的.經(jīng)過嘗試，我們會發(fā)現(xiàn)，以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：R1.將最小系數(shù)提到括號外；R2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；R3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形.例題例題精講【例1】．已知，如圖在△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝5，AC＝6，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)D，連接DA、DB、DC，則DA+DB+DC的最小值是．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，P是邊長為2的等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值．【變式1-2】．已知：AC＝4，BC＝6，∠ACB＝60°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求BP+2AP+PC的最小值．【變式1-3】．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2PB+PC的最小值．1．已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，∠B＝30°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值．2．求的最小值．3．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝120°），求AD+BD+CD的值．4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝6，BC＝4，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)．則PA+PB+PC的最小值是．

5．法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小．人們稱這個點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為．6．已知：到三角形3個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB＝AC＝，BC＝2，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC＝．

7．?dāng)?shù)學(xué)上稱“費(fèi)馬點(diǎn)”是位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)．現(xiàn)定義：菱形對角線上一點(diǎn)到該對角線同側(cè)兩條邊上的兩點(diǎn)距離最小的點(diǎn)稱為類費(fèi)馬點(diǎn)．例如：菱形ABCD，P是對角線BD上一點(diǎn)，E、F是邊BC和CD上的兩點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足PE與PF之和最小，則稱點(diǎn)P為類費(fèi)馬點(diǎn)．（1）如圖1，在菱形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P是BD上的類費(fèi)馬點(diǎn)①E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，則PE+PF＝．②E為BC上一動點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一動點(diǎn)，且∠ABC＝60°，則PE+PF＝．（2）如圖2，在菱形ABCD中，AB＝4，連接AC，點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，（即PA，PB，PC之和最小），①當(dāng)∠ABC＝60°時，BP＝．②當(dāng)∠ABC＝30°時，你能找到△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P嗎？畫圖做簡要說明，并求此時PA+PB+PC的值．

8．【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，則△ABC的外接圓的半徑值為．【問題解決】如圖2，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【問題解決】如圖3，正方形ABCD是一個邊長為3cm的隔離區(qū)域設(shè)計圖，CE為大門，點(diǎn)E在邊BC上，CE＝cm，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個活動崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點(diǎn)A、D為另兩個固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個補(bǔ)水供給點(diǎn)Q，使得Q到A、D、P三個崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值．（保留根號或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)≈1.7，10.52＝110.25）．

9．已知△ABC為等邊三角形，邊長為4，點(diǎn)D、E分別是BC、AC邊上一點(diǎn)，連接AD、BE，且AE＝CD．（1）如圖1，若AE＝2，求BE的長度；（2）如圖2，點(diǎn)F為AD延長線上一點(diǎn)，連接BF、CF，AD、BE相交于點(diǎn)G，連接CG，已知∠EBF＝60°，CE＝CG，求證：BF+GE＝2CF；（3）如圖3，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一動點(diǎn)，順次連接PA、PB、PC，請直接寫出PA+PB+2PC的最小值．

10．如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn)，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．（1）證明：EF＝DF；（2）如圖2，點(diǎn)M是ED上一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時，若CD⊥AD，GD＝4，請問在△ACD內(nèi)部是否存在點(diǎn)P使得P到△ACD三個頂點(diǎn)距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試說明理由．

11．（1）知識儲備①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC＝PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．（2）知識遷移①我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離．②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P（要求尺規(guī)作圖）．（3）知識應(yīng)用①判斷題（正確的打√，錯誤的打×）：ⅰ．任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個；ⅱ．任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．②已知正方形ABCD，P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且PA+PB+PC的最小值為，求正方形ABCD的邊長．

12．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）如點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求PB的長．（2）如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′＝PA+PB+PC．（3）已知銳角△ABC，∠ACB＝60°，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，并探究S△ABC與S△ABD的和，S△BCE與S△ACF的和是否相等．

13．（1）閱讀證明①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．②如圖2，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC＝PA．（2）知識遷移根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；第二步：在上取一點(diǎn)P0，連接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A+；第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，線段的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離．（3）知識應(yīng)用已知三村莊A，B，C構(gòu)成了如圖4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使水井P到三村莊A，B，C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小．求輸水管總長度的最小值．

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D在x軸的正半軸上，∠ODB＝30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點(diǎn)的拋物線與x軸相交于A、F兩點(diǎn)（A在F的左側(cè)）．（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長；（3）點(diǎn)P為△ABO內(nèi)的一個動點(diǎn)，設(shè)m＝PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時，線段AP的長．

15．問題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化．問題提出：如圖1，△ABC是邊長為1的等邊三角形，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為折），再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值（化折為直）．問題解決：如圖2，將△BPA繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BP'A'，連接PP'、A'C，記A′C與AB交于點(diǎn)D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP為正三角形，有PB＝P'P．故．因此，當(dāng)A'、P'、P、C共線時，PA+PB+PC有最小值是．學(xué)以致用：（1）如圖3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，則PA+PB+PC的最小值是．（2）如圖4，在△ABC中，∠BAC＝45°，，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，求的最小值．（3）如圖5，P是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，Q為邊BC上一點(diǎn)，連接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值．

16．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx+（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，與拋物線交于另一點(diǎn)R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求拋物線與直線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥AR于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PQ∥x軸交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PH′⊥x軸于點(diǎn)H′，K為直線