2023-2024學(xué)年廣東省深圳市福田實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市福田實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列深圳交通的標(biāo)志圖案中，是軸對稱圖形的是（）A．深圳巴士 B．深圳東部公交 C．深圳航空 D．深圳地鐵2．2024年央視春晚主題、主標(biāo)識近日正式發(fā)布，本次龍年春晚主題為“龍行龖龖（dá），欣欣家國”，請問2024的相反數(shù)是（）A． B．﹣2024 C．2024 D．3．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．4ab﹣ab＝4 C．（a+1）2＝a2+1 D．（﹣a3）2＝a64．小明、小剛、小桐和小凱比賽誰投球比較遠(yuǎn)，每人投3次，結(jié)果如圖所示．這四名同學(xué)中，（）投球的平均成績大約是8米．A．小明 B．小剛 C．小桐 D．小凱5．如圖，直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，3），B（4，0），則不等式ax+b＞0的解集是（）A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜36．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）會徽，選擇其中兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，則tanC的值為（）A． B． C． D．7．某種柑橘果肉清香、酸甜適度，深受人們的喜愛，也是饋贈親友的上佳禮品．首批柑橘成熟后，某電商用3500元購進(jìn)這種柑橘進(jìn)行銷售，面市后，線上訂單猛增，供不應(yīng)求，該電商又用2500元購進(jìn)第二批這種柑橘，由于更多柑橘成熟，單價比第一批每箱便宜了4元，但數(shù)量與第一批的數(shù)量一樣多，求購進(jìn)的第一批柑橘的單價．設(shè)購進(jìn)的第一批柑橘的單價為x元，根據(jù)題意可列方程為（）A． B． C． D．8．我市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，當(dāng)∠MAC為（）度時，AM∥BE．A．15 B．65 C．70 D．1159．如圖，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作圓弧分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)E，若BE＝1，則△AEC的面積為（）A．1 B．2 C． D．210．如圖，正方形ABCD的邊長為12，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是對角線AC上一點(diǎn)，且，在CD上取點(diǎn)G，使得∠FEG＝45°，EG交AC于H，則CH的長為（）A．4 B． C． D．二、填空題（每小題3分，共15分）11．分解因式：3m3﹣12m＝．12．二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣3圖象的對稱軸為直線．13．如圖，菱形OBAC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），則k的值為．14．如圖，△ACD是圓內(nèi)接三角形，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，連結(jié)AB，BD，BD與AC交于點(diǎn)E，且滿足AB＝AC，∠BAC＝∠CAD．若CD＝2，AD＝3，則CE＝．15．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿著直線AE翻折得到△AFE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在線段DE上，線段AF的延長線交邊CD于點(diǎn)G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于．三、解答題（共55分）16．計(jì)算：．17．第19屆杭州亞運(yùn)會開幕式以文化為底色，融科技之力與藝術(shù)之美，繪出滿是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化意韻的動人畫卷．在運(yùn)動員人場儀式上，展示國家姓名的花窗背景鑲嵌著梅、蘭、竹、菊圖案，中心場地不時切換出梅、蘭、竹、菊的精致刺繡樣式，以君子之風(fēng)迎八方來客，為“同住亞細(xì)亞”的廣闊胸懷添上生動注腳．為了讓學(xué)生深入了解中國文化，李老師將以下4張卡片背面朝上放在桌面上，邀請同學(xué)上講臺隨機(jī)抽取一張卡片，并向大家介紹卡片上圖案對應(yīng)的含義．（1）小辰隨機(jī)抽取一張卡片，抽中“蘭”的概率為；（2）若小雅先從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張（不放回），然后小希從剩下的卡片中隨機(jī)抽取一張，請你用畫樹狀圖或列表的方法，求她們兩人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的概率．18．新年平安，多“盔”有你．在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進(jìn)價為每頂40元，售價為每頂68元，平均每周可售出100頂．商店計(jì)劃將頭盔降價銷售，每頂售價不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價2元，平均每周可多售出40頂．設(shè)每頂頭盔降價x元，平均每周的銷售量為y頂．（1）平均每周的銷售量y（頂）與降價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式是：；（2）若該商店希望平均每周獲得4000元的銷售利潤，則每頂頭盔應(yīng)降價多少元？19．如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，交BA的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．20．深圳市某景觀公園計(jì)劃修建一個人工噴泉，從垂直于地面的噴水槍噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水流距噴水槍的水平距離為x米，距地面的豎直高度為y米，獲得數(shù)據(jù)如表：x（米）00.523.55y（米）2.2532.250小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小華的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑曲線畫出該函數(shù)的圖象；（2）直接寫出水流最高點(diǎn)距離地面的高度為米；（3）求該拋物線的表達(dá)式；（結(jié)果用一般式表示）（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：該景觀公園準(zhǔn)備在距噴水槍水平距離3米處修建一個大理石雕塑，使噴水槍噴出的水流剛好落在雕塑頂端，則大理石雕塑的高度約為米．（結(jié)果精確到0.1米）21．【問題背景】（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師拿出一個由五個邊長均為1的小正方形連成的L形教具，如圖1，將它放入一個直角三角形中，已知∠BCA＝90°，∠B＝30°，頂點(diǎn)D、E、F、G剛好落在三邊上，求AB的長；【問題提出與解決】（2）小穎同學(xué)受到啟發(fā)，將該教具放入如圖2所示的直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A、B、C分別落在坐標(biāo)軸上，提出問題：如果反比例函數(shù)圖象經(jīng)過頂點(diǎn)D，求k的值；（3）小明同學(xué)也受到啟發(fā)，畫了一個圓，如圖3，將該教具放入圓內(nèi)，使圓經(jīng)過其頂點(diǎn)A、B、C，提出問題：求該圓的面積．22．【經(jīng)驗(yàn)積累】如圖①，在正方形ABCD中，E是AB上任意一點(diǎn)，連接DE，CE，過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F．（1）求證AD2＝DF?DE．（2）（Ⅰ）求證△CDF∽△EDC；（Ⅱ）若，則的值為．【方法遷移】（3）如圖②，C是∠AOB平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP⊥OA，垂足為P，Q是直線OB上的一個動點(diǎn)．若∠AOB＝60°，CP＝2，則的最大值為．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列深圳交通的標(biāo)志圖案中，是軸對稱圖形的是（）A．深圳巴士 B．深圳東部公交 C．深圳航空 D．深圳地鐵【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．解：選項(xiàng)A、B、C不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．選項(xiàng)D能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．2024年央視春晚主題、主標(biāo)識近日正式發(fā)布，本次龍年春晚主題為“龍行龖龖（dá），欣欣家國”，請問2024的相反數(shù)是（）A． B．﹣2024 C．2024 D．【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．解：2024的相反數(shù)是﹣2024，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．4ab﹣ab＝4 C．（a+1）2＝a2+1 D．（﹣a3）2＝a6【分析】分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、合并同類項(xiàng)法則、完全平方公式、冪的乘方法則，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得出正確答案．解：A，a3?a2＝a3+2＝a5，故A選項(xiàng)錯誤，不合題意；B，4ab﹣ab＝3ab，合并同類項(xiàng)結(jié)果錯誤，故B選項(xiàng)錯誤，不合題意；C，（a+1）2＝a2+2a+1，故C選項(xiàng)錯誤，不合題意；D，（﹣a3）2＝a3×2＝a6，故D選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查同底數(shù)冪的乘法、合并同類項(xiàng)、完全平方公式、冪的乘方，熟練掌握各運(yùn)算法則并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．小明、小剛、小桐和小凱比賽誰投球比較遠(yuǎn)，每人投3次，結(jié)果如圖所示．這四名同學(xué)中，（）投球的平均成績大約是8米．A．小明 B．小剛 C．小桐 D．小凱【分析】三次的距離中超過8米和低于8米的部分比較接近時，所投球的平均成績大約是8米．解：由題意可知，小明和小桐的投球的平均成績小于8米，小剛的投球的平均成績大于8米，只有小凱投球的平均成績大約是8米．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，正確識圖是解答本題的關(guān)鍵．5．如圖，直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，3），B（4，0），則不等式ax+b＞0的解集是（）A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3【分析】寫出函數(shù)圖象在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．解：∵直線y＝ax+b（a≠0）過點(diǎn)A（0，3），B（4，0），當(dāng)x＜4時，y＞0，∴不等式ax+b＞0的解集為x＜4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．6．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）會徽，選擇其中兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，則tanC的值為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)AB＝3x，則BC＝3x，由sin∠AOB＝，可得BO＝7x，因tanC＝，可得tanC的值．解：設(shè)AB＝3x，則BC＝3x，∵sin∠AOB＝，∴BO＝7x，∴tanC＝＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握正切、正弦的定義．7．某種柑橘果肉清香、酸甜適度，深受人們的喜愛，也是饋贈親友的上佳禮品．首批柑橘成熟后，某電商用3500元購進(jìn)這種柑橘進(jìn)行銷售，面市后，線上訂單猛增，供不應(yīng)求，該電商又用2500元購進(jìn)第二批這種柑橘，由于更多柑橘成熟，單價比第一批每箱便宜了4元，但數(shù)量與第一批的數(shù)量一樣多，求購進(jìn)的第一批柑橘的單價．設(shè)購進(jìn)的第一批柑橘的單價為x元，根據(jù)題意可列方程為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)單價比第一批每箱便宜了4元，數(shù)量與第一批的數(shù)量一樣多，可以列出相應(yīng)的分式方程，本題得以解決．解：由題意可得，＝，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．8．我市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，當(dāng)∠MAC為（）度時，AM∥BE．A．15 B．65 C．70 D．115【分析】根據(jù)已知易得：AB∥CD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB＝70°，最后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得當(dāng)∠MAC＝∠ACB＝70°時，AM∥BE，即可解答．解：∵AB∥l，CD∥l，∴AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝60°，∵∠BAC＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，∴當(dāng)∠MAC＝∠ACB＝70°時，AM∥BE，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作圓弧分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC于點(diǎn)E，若BE＝1，則△AEC的面積為（）A．1 B．2 C． D．2【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝∠BAD＝90°，求得∠ACB＝30°，由作圖知，AE是∠BAC的平分線，得到∠BAE＝∠CAE＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AE＝CE，過E作EF⊥AC于F，求得EF＝BE＝1，求得AC＝2CF＝2，解直角三角形得到AB＝，BC＝3，于是得到結(jié)論．解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，由作圖知，AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，過E作EF⊥AC于F，∴EF＝BE＝1，∴AC＝2CF＝2，∴AB＝，BC＝3，則EC＝3﹣1＝2，∴△AEC的面積＝××2＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查矩形的性質(zhì)，作圖﹣基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的定義和性質(zhì)及直角三角形30°角所對邊等于斜邊的一半．10．如圖，正方形ABCD的邊長為12，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是對角線AC上一點(diǎn)，且，在CD上取點(diǎn)G，使得∠FEG＝45°，EG交AC于H，則CH的長為（）A．4 B． C． D．【分析】如圖，過點(diǎn)F作FT⊥AB于點(diǎn)T．解直角三角形求出EF，設(shè)EH＝x，F(xiàn)H＝y(tǒng)，利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程組解決問題．解：如圖，過點(diǎn)F作FT⊥AB于點(diǎn)T．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC＝12，∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝AB＝12，∵＝，∴AF＝4，∵FT⊥AB，∴∠FAT＝∠AFT＝45°，∴AT＝FT＝4，∵AE＝EB＝6，∴ET＝AE﹣AT＝6﹣4＝2，∴EF＝＝＝2，設(shè)EH＝x，F(xiàn)H＝y(tǒng)．∵∠EHF＝∠AHE，∠HEF＝∠EAH＝45°，∴△EHF∽△AHE，∴＝＝，∴＝＝，解得x＝3，y＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3，y＝5是方程的解，∴FH＝5，∴CH＝AC﹣AF﹣FH＝12﹣4﹣5＝3．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題（每小題3分，共15分）11．分解因式：3m3﹣12m＝3m（m﹣2）（m+2）．【分析】利用提公因式和平方差公式進(jìn)行因式分解．解：3m3﹣12m＝3m（m2﹣4）＝3m（m﹣2）（m+2）．故答案為：3m（m﹣2）（m+2）．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．12．二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣3圖象的對稱軸為直線．【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線求解即可．解：二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣3圖象的對稱軸為直線．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．掌握二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸公式為是解題關(guān)鍵．13．如圖，菱形OBAC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），則k的值為32．【分析】利用點(diǎn)C坐標(biāo)求出菱形邊長為5，繼而求出點(diǎn)A坐標(biāo)得到反比例函數(shù)解析式中的k值即可．解：延長AC交x軸于點(diǎn)D，∵C（4，3），∴OD＝4，CD＝3，∴OC＝AC＝5，∴A（4，8），∴k＝xy＝4×8＝32，反比例函數(shù)圖象在第一象限，∴k＝32，故答案為：32．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖，△ACD是圓內(nèi)接三角形，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，連結(jié)AB，BD，BD與AC交于點(diǎn)E，且滿足AB＝AC，∠BAC＝∠CAD．若CD＝2，AD＝3，則CE＝1．【分析】由ASA判定△ABE≌△ACD，得到AE＝AD＝3，由△CDE∽△CAD，推出CD：CA＝CE：CD，得到2：（3+CE）＝CE：2，即可求出CE的長．解：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD＝3，∵∠CDE＝∠BAC，∠CAD＝∠BAC，∴∠CDE＝∠CAD，∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴CD：CA＝CE：CD，∴2：（AE+CE）＝CE：2，∴2：（3+CE）＝CE：2，∴CE＝1或CE＝﹣4（舍去）．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，關(guān)鍵是證明△ABE≌△ACD（ASA），得到AE＝AD＝3，證明△CDE∽△CAD，得到2：（3+CE）＝CE：2．15．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿著直線AE翻折得到△AFE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在線段DE上，線段AF的延長線交邊CD于點(diǎn)G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于．【分析】延長BC，AG交于點(diǎn)H，設(shè)BE＝3x，EC＝2x，由平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折疊的性質(zhì)可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通過證明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝，F(xiàn)G＝AG﹣AF＝，即可求解．解：如圖，延長BC，AG交于點(diǎn)H，∵BE：EC＝3：2，∴設(shè)BE＝3x，EC＝2x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝5x，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵將△ABE沿著直線AE翻折得到△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝5x，∴DF＝2x，∵AD∥BC，∴△ADF∽△HEF，∴＝，∴＝，∴EH＝，AF＝FH，∴CH＝EH﹣EC＝x，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HCG，∴，∴＝，∴設(shè)AG＝10y，GH＝11y，∴AH＝21y，∴AF＝×2＝，∴FG＝AG﹣AF＝，∴AF：FG＝21：4＝，故答案為．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共55分）16．計(jì)算：．【分析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：＝1+4﹣（﹣1）+2×＝1+4﹣+1+＝6．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．17．第19屆杭州亞運(yùn)會開幕式以文化為底色，融科技之力與藝術(shù)之美，繪出滿是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化意韻的動人畫卷．在運(yùn)動員人場儀式上，展示國家姓名的花窗背景鑲嵌著梅、蘭、竹、菊圖案，中心場地不時切換出梅、蘭、竹、菊的精致刺繡樣式，以君子之風(fēng)迎八方來客，為“同住亞細(xì)亞”的廣闊胸懷添上生動注腳．為了讓學(xué)生深入了解中國文化，李老師將以下4張卡片背面朝上放在桌面上，邀請同學(xué)上講臺隨機(jī)抽取一張卡片，并向大家介紹卡片上圖案對應(yīng)的含義．（1）小辰隨機(jī)抽取一張卡片，抽中“蘭”的概率為；（2）若小雅先從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張（不放回），然后小希從剩下的卡片中隨機(jī)抽取一張，請你用畫樹狀圖或列表的方法，求她們兩人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及她們兩人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．解：（1）由題意得，小辰隨機(jī)抽取一張卡片，抽中“蘭”的概率為．故答案為：．（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中她們兩人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的結(jié)果有：AC，CA，共2種，∴她們兩人抽到的卡片恰好是”梅”和“竹”的概率為＝．【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．18．新年平安，多“盔”有你．在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進(jìn)價為每頂40元，售價為每頂68元，平均每周可售出100頂．商店計(jì)劃將頭盔降價銷售，每頂售價不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價2元，平均每周可多售出40頂．設(shè)每頂頭盔降價x元，平均每周的銷售量為y頂．（1）平均每周的銷售量y（頂）與降價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式是：y＝100+20x；（2）若該商店希望平均每周獲得4000元的銷售利潤，則每頂頭盔應(yīng)降價多少元？【分析】（1）利用平均每周的銷售量＝100+40×，即可找出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用每周的銷售利潤＝每頂?shù)匿N售利潤×每周的銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再結(jié)合降價后每頂頭盔的售價不高于58元，即可確定結(jié)論．解：（1）根據(jù)題意得：y＝100+40×＝100+20x．故答案為：y＝100+20x；（2）根據(jù)題意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，整理得：x2﹣23x+60＝0，解得：x1＝3，x2＝20，當(dāng)x＝3時，68﹣x＝68﹣3＝65＞58，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝20時，68﹣x＝68﹣20＝48＜58，符合題意．答：每頂頭盔應(yīng)降價20元．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．19．如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，交BA的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．【分析】（1）連接OD，根據(jù)三角形中位線定理得到OD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥HG，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)余弦的定義求出⊙O的半徑，根據(jù)三角形中位線定理求出BC，再根據(jù)余弦的定義求出BG，計(jì)算即可．【解答】（1）證明：連接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，OD＝BC，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線HG是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，則OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD＝，即＝＝，解得：x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cosB＝，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的判定、三角形中位線定理、銳角三角函數(shù)的定義，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．20．深圳市某景觀公園計(jì)劃修建一個人工噴泉，從垂直于地面的噴水槍噴出的水流路徑可以看作是拋物線的一部分．記噴出的水流距噴水槍的水平距離為x米，距地面的豎直高度為y米，獲得數(shù)據(jù)如表：x（米）00.523.55y（米）2.2532.250小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小華的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并用平滑曲線畫出該函數(shù)的圖象；（2）直接寫出水流最高點(diǎn)距離地面的高度為3.0米；（3）求該拋物線的表達(dá)式；（結(jié)果用一般式表示）（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：該景觀公園準(zhǔn)備在距噴水槍水平距離3米處修建一個大理石雕塑，使噴水槍噴出的水流剛好落在雕塑頂端，則大理石雕塑的高度約為2.7米．（結(jié)果精確到0.1米）【分析】（1）描點(diǎn)，連線即可；（2）觀察函數(shù)圖象可得答案；（3）用待定系數(shù)法可得解析式；（4）結(jié)合解析式，令x＝3可解得答案．解：（1）描出各組對應(yīng)數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象如下：（2）根據(jù)函數(shù)圖象和表格數(shù)據(jù)可知，對稱軸為直線x＝＝2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），∴水流最高點(diǎn)距離地面的高度為3.0米，故答案為：3.0；（3）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+3，將（5，0）代入解析式得，9a+3＝0，解得a＝﹣，∴拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+3＝；（4）當(dāng)x＝3時，y＝﹣（3﹣2）2+3＝≈2.7，∴大理石雕塑的高度約為2.7米，故答案為：2.7．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．21．【問題背景】（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師拿出一個由五個邊長均為1的小正方形連成的L形教具，如圖1，將它放入一個直角三角形中，已知∠BCA＝90°，∠B＝30°，頂點(diǎn)D、E、F、G剛好落在三邊上，求AB的長；【問題提出與解決】（2）小穎同學(xué)受到啟發(fā)，將該教具放入如圖2所示的直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A、B、C分別落在坐標(biāo)軸上，提出問題：如果反比例函數(shù)圖象經(jīng)過頂點(diǎn)D，求k的值；（3）小明同學(xué)也受到啟發(fā)，畫了一個圓，如圖3，將該教具放入圓內(nèi)，使圓經(jīng)過其頂點(diǎn)A、B、C，提出問題：求該圓的面積．【分析】（1）由題意知GD＝2，GF＝4，GF∥AB，∠B＝30°，再用解直角三角形的方法即可求解；（2）證明△BAO∽△CBF，求出AO＝，BO＝，同理可得AE＝，DE＝，進(jìn)而求解；（3）設(shè)OF＝x，OE＝4﹣x，在Rt△COF中，由勾股定理得：OC2＝CF2+OF2＝（）2+x2，在Rt△BOE中，由勾股定理得：OB2＝BE2+OE2＝（）2+（4﹣x）2，求出x值，進(jìn)而求解．解：（1）如圖所示：由題意知GD＝2，GF＝4，GF∥AB，∠B＝30°，∴∠CFG＝∠B＝30°，∠A＝60°，∴CG＝GF＝2，AG＝＝，∴AC＝+2，則AB＝2AC＝+4；（2）如圖所示：過D作DE⊥x軸于E，由題意知，AB＝1．AD＝4，CF＝