山西省2021屆高三模擬考試數(shù)學(xué)理科試題（一）及答案

2021年高三年級(jí)模擬試題

數(shù)學(xué)試卷(理工類)

一、選擇題

1、己知(l+Dz=2i,則復(fù)數(shù)z=()

A.l+iB1-iC.-1+iD.-1-i

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

答案：A

2、己知全集U=R,集合M={x|(x-l)(x+3)<0},N=[x||x|<1},則下圖陰影部分表示的集

合是()U

A.[-l,l)B,(-3,l]C.(-8,3)3-l,+8)D.(-3,-l)

考點(diǎn)：集合之間的簡(jiǎn)單運(yùn)算

答案：DI一

3、在單調(diào)遞減等比數(shù)列{}中，若4=1,。2+/=|，則4=()

A.2B.4C.也D.2M

考點(diǎn)：數(shù)列的運(yùn)算

答案：B

4、已知函數(shù)/(x)=log2X，若在[1,8]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)為，則不等式1?/(40)?2成立的

概率是()

4、B,1C,-D.1

4272

考點(diǎn)：幾何概型

答案：C

5、執(zhí)行如右圖所示程序框圖，則輸出()

A、208、14C、10D、7

考點(diǎn)：讀程序框圖

答案：C

6、已知函數(shù)/(x)=sin(s+e)(0>0,|"|<5)的最小正周期是乃，若將其圖像向右平移

2個(gè)單位后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的圖像()

3

A、關(guān)于直線》=￡對(duì)稱B、關(guān)于直線％=紅對(duì)稱

1212

。、關(guān)于點(diǎn)(卷,0)對(duì)稱D、關(guān)于直線(：5,())對(duì)稱

考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像及性質(zhì)

答案：B

7、已知在圓x2+y2-4y+2y=0內(nèi)，過點(diǎn)E(1,0)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD,則

四邊形ABCD的面積為

A、B、6.C、45D、2A/15

考點(diǎn)：圓與直線位置關(guān)系

答案：D

8、已知某空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是

A、16B、32C、32D、48

考點(diǎn)：由三視圖求體積

答案：C

9、已知實(shí)數(shù)a,b滿足2"=3,3"=2,則函數(shù)/(x)=優(yōu)+x-匕的零點(diǎn)所在的區(qū)間是

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(l,2)

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)問題

答案：B

x>2

10、已知實(shí)數(shù)滿足條件<x+y44若目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最小值為5,其最大

-2x+y+c>0

A.10B.12C.14D.15

考點(diǎn)：線性規(guī)劃

答案：A

11、已知點(diǎn)O為雙曲線C的對(duì)稱中心，過點(diǎn)O的兩條直線4與4的夾角為60°,直線4與雙

曲線c相交于點(diǎn)4,川，直線4與雙曲線。相交于點(diǎn)&也，若使|A4|=|&因成立的直

線4與4有且只有一對(duì)，則雙曲線。離心率的取值范圍是

77

考點(diǎn)：雙曲線離心率的求解

答案：A

12、已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為凡=（一1）"（2〃一1）85^+1（〃€”），其前〃項(xiàng)和為S“,

則S"=

A.-3（）B.-60C.90D.120

考點(diǎn)：數(shù)列前〃項(xiàng)和的求解

答案：D

二、填空題

13.已知向量落5滿足Q萬一9（萬+5）=6,且同=2,忖=1,則日與5的夾角為

答案：120°

14、已知"9展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則其展開式中常數(shù)項(xiàng)是

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理

答案：60

15、已知在直角梯形ABCD中，46,4。,。。_14。,48=24。=2。。=2將已知在直

角梯形沿AC折疊成三棱錐D-ABC,當(dāng)三棱錐。-ABC體積取最大值時(shí)其外接球的體

積為____________

考點(diǎn)：球的內(nèi)切問題

答案：—

3

3

16、己知定義在R上的奇函數(shù)/（x）滿足/（1一幻=/（幻,/（一2）=-3,數(shù)列｛4｝的前n

項(xiàng)和為S“，且q=—l,S“=2%+〃（〃eN*）,則/（%）+/（4）=

考點(diǎn)：構(gòu)造數(shù)列和函數(shù)的對(duì)稱性及周期性.

答案：3

三、解答題

JT

17、已知。，"c分別是AABC的角A,B,C所對(duì)的邊，且c=2,C=—。

3

（I）若AABC的面積等于6,求。力；

(II)若sinC+sin(5-A)=2sin2A，求A的值。

-rrJT

解：(I)c=2,C=—,由余弦定理得4="+"-2abeos—=/+從一。

33

???A43C的面積等于日：LbsinC=6,:.ab=4。(4分

2

a~+b--ab=4/，-

聯(lián)立4，解得a=2,b=26分

ab=4o

(II)vsinC+sin(B-A)=2sin2A,/.sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,

sinBcosA—2sinAcosA。...........................................8分

rr

①當(dāng)cosA=0時(shí)，貝必=一。...........................................9分

2

②當(dāng)cosAwO時(shí),sin3=2sinA,由正弦定理得力二2。,

cr+/-ab=44/

聯(lián)立V解得

b=2a

.222H乃人冗

b~=Q~+C~C=—,A=—,

36

綜上所述，A=2或A=2。...........................................12分

26

18、

某工廠為了檢查一條流水線的生產(chǎn)情況，從該流水線上隨機(jī)抽取40件產(chǎn)品，測(cè)量這些

產(chǎn)品的重量（單位：克），整理后得到如下的頻率分布直方圖（其中重量的分組區(qū)間分別為

（490,495],（495,500）,（500,505）,（505,510）,（510,515]）

（I）若從這40件產(chǎn)品中任取兩件，設(shè)X為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求隨機(jī)變量X

的分布列；

（II）若將該樣本分布近似看作總體分布，現(xiàn)從該流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有兩件

產(chǎn)品的重量超過505克的概率。

頻率/組距

解：

(I)根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為[(0.01+0.05)x5]x4()=I2

由題意得隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2

P(X=0)=§=至,p(x=l)=^^=—,p(x=2)=^=—

1/或1301/C：。6517130

.一.隨機(jī)變量X的分布列為

X012

P632811

13065130

(II)由題意得該流水線上產(chǎn)品的重量超過505克的概率為0.3

設(shè)Y為該流水線上任取5件產(chǎn)品重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，則Y\J5(5,0.3)

故所求概率為P"=2)=*x0.32x0.73=0.3087

19、(本小題滿分12分)

如圖，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)面AAiBiB±底面ABC,側(cè)棱人1與底面ABC

的所成角為6?！?AAI=2,底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)G為AABC的重心，點(diǎn)E

在BC1上，且BE=1BCI.

3

(1)求證：GE〃平面AA1B1B；

(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳角二面角的余弦值；

解析：

(1)證明：連接B1E,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,連接ABi,AF

ABC-AiBKi是三棱柱，,BC//Big,二AEFB-AEB^i,

1BEEFBF1

又BE=§BCL麗=麗=函

1

:.BF=-BC,，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)。

GFBF1

,/點(diǎn)G是AABC的重心，...點(diǎn)G在AF上，且0=俞-=彳，

AGEBiz

:.GE//ABi，.GE//平面AAiBiB;

(2)證明：過點(diǎn)A1作Ai°±AB,垂足為0,連接oc,

:側(cè)面AAiBiB±底面ABC,A!01底面ABC,ZAtAB=60°

丫AAi=2,AA0=l,VAB=2,二點(diǎn)o是AB的中點(diǎn)

又,/點(diǎn)G是正三角形ABC的重心

二點(diǎn)G在0C上，0C1AB,

?:AjO±底面ABC,/.AiO±OB,AjO±0C

以O(shè)為圓心，分別以O(shè)C,OB,OA為x,y,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由

題意可得：A(0,-1,0),B(0,1,0),C(鄧,0,0),Ai(0,0,")，Bi(0,2,"祗1,我,

設(shè)n=(x,y,z)是平面BIGE的一個(gè)法向量，則

那°

y+yz=0,

n±GE,

nJ_B^E,:,飛2聲

^x-y--z=0,

令z=A/3,則x=A/3,y=-1,/.n=(R-1,后

由（1）知兩=（°，°-避）是平面ABC的一個(gè)法向量,

設(shè)平面BiGE與底面ABC所成銳二面角為亂則有:

m-n\/五

cos0=---——=.

|m|?|n|7

X2y2i

20、已知橢圓+==1（。＞。＞0）的左右焦點(diǎn)6,6其離心率為e=，，點(diǎn)P為橢圓上的

a~b~2

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，公尸耳場(chǎng)內(nèi)切圓面積的最大值為網(wǎng)

3

⑴求a,b的值

⑵若A、B、C,。是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，且滿足耳4//耳。,48//耳。,水：8。=0,

求|林|+|而|的取值范圍。

解析：（1）當(dāng)P為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)△2"鳥內(nèi)切圓面積的最大值設(shè)AP打工內(nèi)切圓半徑r,

5.=1/用"。叫人”1與+電1+m)“看2c"

e=—.?.〃=2c,/.b=2A/3,a=4

2

（2）?.?耳A//耳。，耳8//耳。,A。80=0,.?.直線AC,或）垂直相交于點(diǎn)可由（1）橢圓

22

方程土+21=1...F(-2,0)

16121

①直線AC,BD有一條斜率不存在時(shí)\AC\+\BD\=6+8=14

②當(dāng)AC斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)方程丁=-%+2）,A（x,必）,C（x2,%）則AC是方程組的

兩組解

-i6k2

Xi+%=----------7

x2丁3t4k',\AC\-24(二+1)

—+—=1

161216-—483+4/

x.x--------—

y-Z(x+2)23+4公

BD方程y=—(x+2)同理

k

22

土+匕=1

24(二+1)

1612|兩=

y=-1(%+2)4+3k2

K

168(r+1>

\AC\+\BD\^

(4+3公)(3+4公)

設(shè)f=+1(%H0)J>1

—.—.168t-\1---96

\AC\+\BD\=-------vr>l.-.0<—<-.MC|+|BD|e[—,14]

12+=，47

r

—.—,96

由①②IAC\+\BD\的取值范圍[亍,14]

2

21>已知函數(shù)f(x)=x+a(x4-Inx\aGR.

(I)若當(dāng)。=-1時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(X)>；(e+l)a,求。的取值范圍。

解：

(I)由題意得X￡(0,+8),

2y2_1

當(dāng)a=-1時(shí)，則y(x)=x2-x-Inx,f'(x)=--------

x

令1(x)<0,則0<x<l;令1(x)NO,則x-1；

.,./(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),單調(diào)增區(qū)間是口,”)。

(II)①當(dāng)a=()時(shí)，f(x)=x2,顯然符合題意：

-i-l

②當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)0<%<6"<1時(shí)，

/(x)<l+a+alnx<l+a+a(-l--)<O<-(e+l)a,不符合題意;

a2

、t,八trtC./、4~CIX+Cl

③當(dāng)a<0時(shí)，則f(x)=----------,

X

令f\x)=0，則存在x0e(0,+oo)，使得2芯+ax0+a=0,即/(％)=0,

令f'(x)<0,則0cx</；令/(x)>0,則x〉/,

x=x

'''/(),nin=/Uo)o+a(x()+In%)=-4(-?0-l)+21nx0],

/(x)>；(e+l)a,x0+21nx0-(e+2)<0,0<x0<e

2XQ+ax0+a=Q,a=--生-e(-■空-,0)

x0+1e+1

2e2

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍(-------,0]

e+1

22.選修4-1：幾何證明選講

如圖，已知點(diǎn)C是以為直徑的半圓。上一點(diǎn)，過C的直線交A8的延長(zhǎng)線于E,

交過點(diǎn)A的圓。的切線于點(diǎn)。，BC//OD,AD=AB=2.

(1)求證：直線。。是圓。的切線；

(2)求線段￡?的長(zhǎng).

答案：(1)證明：連接OC,???AD是圓。的切線，.?.NDAO=90°

BCHOD,:.ZAOD=ZOBC,NDOC=ZBCO

OB=OC,ZOBC=NBCO,

ZAOD=ADOC,

又OA=OC,OD=OD,：GOCDsDOAD,

ZDCO=ZDAO=90°,，OC1DC,

二直線DC是圓。的切線；

EBEC

(2)設(shè)EB=x,,：BC//OD,：.——=—,

BOCD

。。是圓0的切線，；.DC=DA=2,

???BO=-AB=l,：.EC=2x,

2

由(1)得，直線EC是圓。的切線，.?.EC2=EB.EA,

02

/.4x2=x(x+2),.\EB=x=—.

23.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=1+6cos。

在直角坐標(biāo)系X0V中，曲線G的參數(shù)方程為[y=6sinJ(其中。為參數(shù))，點(diǎn)"

是曲線￡上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線。2上，且滿足而=2麗.

(1)求曲線。2的普通方程；

TT

(2)以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線e=g與曲線G、G

分別交于A、8兩點(diǎn)，求|A8].