充分條件與必要條件

復(fù)習(xí)回顧

在初中，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的可以判斷真假的陳述句叫作命題，判斷為真的命題叫真命題，判斷為假的命題叫假命題。

在命題中我們會(huì)經(jīng)常遇到“若p,則q”的命題，其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論。充分條件與必要條件探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1：下面“若，則”的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？（1）若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)平行四邊形是菱形；（2）若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；（3）若，則；（4）若平面的兩條直線和均垂直于直線,則。假真假真探究發(fā)現(xiàn)思考：對(duì)于命題“若，則”，有時(shí)是真命題，有時(shí)是假命題。如果“若，則”是真命題，則條件與結(jié)論有何關(guān)系？歸納：對(duì)于命題“若，則”，如果由經(jīng)過(guò)推理能推出，也就是說(shuō)，如果成立，則一定成立。換句話來(lái)說(shuō)，只要有條件就能夠充分地保證結(jié)論成立，這時(shí)，我們稱是成立的充分條件。探究發(fā)現(xiàn)

一般地，“若，則”是真命題，是指由經(jīng)過(guò)推理能推出，這時(shí)，我們就說(shuō)由可推出，記作：，并且說(shuō)“是成立的充分條件”請(qǐng)用充分條件來(lái)敘述（1）（4）中條件和結(jié)論的關(guān)系？

對(duì)于（2）（3）,考慮其逆命題是否成立？如果成立，請(qǐng)用充分條件來(lái)說(shuō)明？問(wèn)題1：下面“若，則”的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？（1）若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)平行四邊形是菱形；（2）若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；（3）若，則；（4）若平面的兩條直線和均垂直于直線,則。對(duì)于充分條件還可以這樣來(lái)理解：條件是結(jié)論成立的充分條件。探究發(fā)現(xiàn)例題分析

例1：下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中的是的充分條件？（1）若四邊形的兩組對(duì)角相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；（2）若兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似；（3）若四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直；（4）若，則；（5）若，則；（6）若、為無(wú)理數(shù)，則為無(wú)理數(shù)。解：（1）（2）（3）（5）命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，即“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”。這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎？例題分析下列命題均為真命題：①若四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；②若四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；③若四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，則這個(gè)四邊形是平行四邊形。

例1中命題（1）及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理。

一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件。探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題2：既然判斷定理提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件，那么性質(zhì)定理又能提供相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的什么條件呢？如：若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB//CD，那么AB//CD是四邊形ABCD成為平行四邊形的什么條件呢？探究發(fā)現(xiàn)請(qǐng)用必要條件來(lái)敘述問(wèn)題2中條件和結(jié)論的關(guān)系？問(wèn)題2：若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB//CD

“若，則”是真命題，是指由經(jīng)過(guò)推理能推出，這時(shí)，我們就說(shuō)由可推出，記作：，并且說(shuō)“是的必要條件”（AB//CD是四邊形ABCD成為平行四邊形的必要條件）探究發(fā)現(xiàn)下列說(shuō)法對(duì)嗎？“”是“”成立的必要條件；“”是“”成立的必要條件；“”是“”成立的必要條件；“”是“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解”成立的必要條件。

對(duì)于必要條件還可以這樣來(lái)理解：結(jié)論是條件成立的必要條件。例題分析例2：下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中是的必要條件？（1）若四邊形為平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等；（2）若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的三邊成比例；（3）若四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形；（4）若，則；（5）若，則；（6）若為無(wú)理數(shù)，則、為無(wú)理數(shù)。解：（1）（2）（4）命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件，即“這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等”。這樣的必要條件是唯一的嗎？如果不唯一，你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個(gè)其他的必要條件嗎？例題分析下列命題都是真命題：①若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；②若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等；③若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分。

例2中命題（1）及上述命題①②③均為平行四邊形的性質(zhì)定理。

一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件。充分條件與必要條件的關(guān)系

“若，則”是真命題，是指由經(jīng)過(guò)推理能推出，即，則可以說(shuō)“是成立的充分條件”，也可以說(shuō)“是的必要條件”。

如果舍去、則還可以說(shuō)“條件是結(jié)論的充分條件，結(jié)論是條件的必要條件”，分別與判斷定理和性質(zhì)定理相對(duì)應(yīng)。例題分析例3：填空（1）是成立的

條件；（2）若，則是偶函數(shù)；那么是的

條件.充分充分、必要?jiǎng)泳殻簩懗龀闪⒌?/p>