人教A版（2019）必修第二冊(cè) 第六章 6.3.1 平面向量基本定理（教學(xué)課件）

第六章

§6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義.2.掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量.3.會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的

向量a，

實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)

向量的一個(gè)基底.知識(shí)點(diǎn)平面向量基本定理不共線任一有且只有一對(duì)所有思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.平面內(nèi)任意兩個(gè)向量都可以作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.(

)2.基底中的向量不能為零向量.(

)3.平面向量基本定理中基底的選取是唯一的.(

)4.若e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))可以表示該平面內(nèi)所有向量.(

)√×√×2題型探究PARTTWO例1

(多選)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中，能作為基底的是A.e1＋e2和e1－e2

B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2

D.e1和e1＋e2一、平面向量基本定理的理解√√√解析選項(xiàng)B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2與3e1－4e2共線，∴不能作為基底，選項(xiàng)A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底.反思感悟考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線.此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示.跟蹤訓(xùn)練1

已知向量{a，b}是一個(gè)基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y＝_____.3解析因?yàn)閧a，b}是一個(gè)基底，所以a與b不共線，所以x－y＝3.二、用基底表示向量解因?yàn)镈C∥AB，AB＝2DC，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，延伸探究本例中，若設(shè)BC的中點(diǎn)為G，則

＝________.反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意點(diǎn)(1)根據(jù)平面向量基本定理可知，同一平面內(nèi)的任何一個(gè)基底都可以表示該平面內(nèi)的任意向量.用基底表示向量，實(shí)質(zhì)上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.(2)基底的選取要靈活，必要時(shí)可以建立方程或方程組，通過(guò)方程或方程組求出要表示的向量.a＋b2a＋c三、平面向量基本定理的應(yīng)用例3

如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值.∵A，P，M和B，P，N分別共線，由平面向量基本定理，反思感悟若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得.則λ＋μ＝_____.3隨堂演練PARTTHREE1.(多選)設(shè)點(diǎn)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組可作為該平面其它向量基底的是√√12345123452.下列三種說(shuō)法：①一個(gè)平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)組不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的.其中，說(shuō)法正確的為A.①②

B.②③C.①③

D.①②③√√12345A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0√1234512345課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識(shí)清單：(1)平面向量基本定理.(2)用基底表示向量.(3)平面向量基本定理的應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū)：忽視基底中的向量必須是不共線的兩個(gè)向量.4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.(多選)若{e1，e2}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是A.{e1－e2，e2－e1}B.{2e1－e2，e1－

e2}C.{2e2－3e1，6e1－4e2}D.{e1＋e2，e1＋3e2}√√√12345678910111213141516解析選項(xiàng)A中，兩個(gè)向量為相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，則e1－e2，e2－e1為共線向量；選項(xiàng)C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，為共線向量.根據(jù)不共線的向量可以作為基底，知只有選項(xiàng)D中的兩向量可作為基底.√12345678910111213141516123456789101112131415163.如果{e1，e2}是平面α內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列說(shuō)法正確的是A.若存在實(shí)數(shù)λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B.對(duì)空間任意向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α內(nèi)D.對(duì)于平面α內(nèi)任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無(wú)數(shù)對(duì)√12345678910111213141516解析B錯(cuò)，這樣的a只能與e1，e2在同一平面內(nèi)，不能是空間任意向量；C錯(cuò)，在平面α內(nèi)任意向量都可表示為λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α內(nèi)；D錯(cuò)，這樣的λ1，λ2是唯一的，而不是無(wú)數(shù)對(duì).√12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415166.已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)____________________.(－∞，4)∪(4，＋∞)解析若能作為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則a與b不共線.a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，123456789101112131415168.已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示為a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示為a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，則λ＝_____，μ＝______.1234567891011121314151612345678910111213141516解方法一設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，123456789101112131415161234567891011121314151610.設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：{a，b}可以作為一個(gè)基底；證明假設(shè)a＝λb(λ∈R)，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2).所以λ不存在.故a與b不共線，可以作為一個(gè)基底.12345678910111213141516(2)以{a，b}為基底表示向量c＝3e1－e2.解設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以c＝2a＋b.12345678910111213141516綜合運(yùn)用√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析連接CD，OD，圖略，∵點(diǎn)C，D是半圓弧

的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴

＝

，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO，12345678910111213141516A.AB邊中線的中點(diǎn)

B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.△ABC的重心

D.AB邊的中點(diǎn)√即AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心).1234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究123456789101112131415166解析如圖，以O(shè)A，OB所在射線為鄰邊，OC為對(duì)角線作?OMCN，使得M在直線OA上，N在直線OB上，∠COM＝30°，∠OCM＝90°，即λ＝4，μ