四川大學(xué)微積分函數(shù)課件

四川大學(xué)微積分函數(shù)課件2024-01-24REPORTING2023WORKSUMMARY目錄CATALOGUE微積分函數(shù)基本概念微分學(xué)基礎(chǔ)積分學(xué)基礎(chǔ)微分中值定理及其應(yīng)用多元函數(shù)微積分簡介無窮級(jí)數(shù)初步認(rèn)識(shí)PART01微積分函數(shù)基本概念函數(shù)定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是實(shí)數(shù)集的某個(gè)子集，若對(duì)于D中的任意一個(gè)數(shù)x，變量y按照一定的對(duì)應(yīng)法則總有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x)，x∈D。其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)法則稱為函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的性質(zhì)包括有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性等。這些性質(zhì)反映了函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的變化趨勢(shì)和特征。函數(shù)定義與性質(zhì)極限是微積分學(xué)中的基本概念，它描述了一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)處的行為。如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)x無限趨近于x0（或x的絕對(duì)值無限增大）時(shí)，函數(shù)值f(x)無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的極限。極限定義包括極限的四則運(yùn)算法則、夾逼定理、單調(diào)有界定理等。這些法則和定理為求解函數(shù)的極限提供了有效的方法。極限運(yùn)算極限概念及運(yùn)算連續(xù)性與可導(dǎo)性連續(xù)性函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)是指函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值，且函數(shù)在該點(diǎn)有定義。如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱該函數(shù)為連續(xù)函數(shù)?？蓪?dǎo)性函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)是指函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在。導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)值隨自變量變化而變化的速率。如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱該函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)。PART02微分學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)數(shù)的定義通過極限思想，給出了函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，即函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算利用導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合極限的運(yùn)算法則，可以求出一些基本初等函數(shù)在任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，反映了函數(shù)在該點(diǎn)的局部變化特征。導(dǎo)數(shù)定義與計(jì)算微分的計(jì)算通過導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，可以求出函數(shù)在某一點(diǎn)處的微分，進(jìn)而得到函數(shù)的微分表達(dá)式。微分的應(yīng)用微分在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如求曲線的切線方程、法線方程、弧長、面積等。微分的定義微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部線性逼近，即用一個(gè)線性函數(shù)近似代替原函數(shù)在該點(diǎn)的局部性質(zhì)。微分概念及應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)是指對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù)，反映了函數(shù)更高層次的變化特征。通過歸納法或萊布尼茲公式可以求出高階導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)是指不能直接解出因變量的函數(shù)關(guān)系式，需要通過對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)來得到因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是正確應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和鏈?zhǔn)椒▌t。隱函數(shù)求導(dǎo)PART03積分學(xué)基礎(chǔ)通過分割、近似、求和、取極限的方法，將曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算。定積分的定義包括可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式、估值定理等，這些性質(zhì)在定積分的計(jì)算和應(yīng)用中起到重要作用。定積分的性質(zhì)建立了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系，使得定積分的計(jì)算可以通過求原函數(shù)的方法來實(shí)現(xiàn)。微積分基本定理010203定積分概念及性質(zhì)直接積分法對(duì)于基本初等函數(shù)，可以直接套用積分公式進(jìn)行求解。換元法通過變量代換，將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單的不定積分進(jìn)行計(jì)算。分部積分法對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的乘積的不定積分，可以通過分部積分公式進(jìn)行求解。不定積分求解方法廣義積分的性質(zhì)包括收斂性、絕對(duì)收斂與條件收斂等，這些性質(zhì)在判斷廣義積分的斂散性時(shí)起到重要作用。含參變量積分的性質(zhì)包括連續(xù)性、可微性、可積性等，這些性質(zhì)在含參變量積分的計(jì)算和應(yīng)用中起到重要作用。含參變量積分的概念當(dāng)積分號(hào)下含有參數(shù)時(shí)，稱該積分為含參變量積分。它在解決一些實(shí)際問題時(shí)具有重要作用。廣義積分的概念包括無窮限廣義積分和無界函數(shù)廣義積分，它們?cè)趯?shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。廣義積分與含參變量積分PART04微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理概述01微分中值定理是微積分學(xué)中的基本定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理等。02這些定理在解決函數(shù)性質(zhì)、不等式證明和函數(shù)圖像描繪等問題中具有重要作用。通過微分中值定理，可以揭示函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的整體性質(zhì)與局部性質(zhì)之間的聯(lián)系。03洛必達(dá)法則與泰勒公式洛必達(dá)法則是求解未定式極限的一種有效方法，通過分子分母分別求導(dǎo)來簡化極限計(jì)算。泰勒公式是用多項(xiàng)式逼近光滑函數(shù)的重要工具，它將一個(gè)函數(shù)表示為一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的形式。洛必達(dá)法則與泰勒公式在微積分學(xué)中占有重要地位，對(duì)于理解函數(shù)的性質(zhì)和進(jìn)行數(shù)值計(jì)算具有重要意義。函數(shù)單調(diào)性與極值判斷01函數(shù)單調(diào)性描述了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)增減的性質(zhì)，可以通過求導(dǎo)來判斷。02函數(shù)極值是指在某個(gè)區(qū)間內(nèi)函數(shù)取得的最大值或最小值，可以通過一階和二階導(dǎo)數(shù)測(cè)試來判斷。03掌握函數(shù)單調(diào)性和極值判斷的方法對(duì)于理解函數(shù)的形態(tài)和性質(zhì)以及解決實(shí)際應(yīng)用問題具有重要意義。PART05多元函數(shù)微積分簡介多元函數(shù)定義設(shè)D為一個(gè)非空的n元有序數(shù)組的集合，f為某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則。若對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)∈D，通過對(duì)應(yīng)規(guī)則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則f為定義在D上的n元函數(shù)。包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。解析法、表格法和圖像法。多元函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的表示方法多元函數(shù)概念及性質(zhì)要點(diǎn)三偏導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二全微分定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依賴于Δx,Δy而僅與x,y有關(guān)，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，0是高階無窮小，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是全微分存在的充分條件。要點(diǎn)三偏導(dǎo)數(shù)與全微分多元函數(shù)極值定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的點(diǎn)P(x,y)，如果都適合不等式f(x,y)<f(x0,y0)（或f(x,y)>f(x0,y0)），則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)有極大值（或極小值）。多元函數(shù)最值定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D上有定義，如果存在點(diǎn)P0∈D，使得對(duì)于任意點(diǎn)P∈D都有f(P)≤f(P0)（或f(P)≥f(P0)），則稱函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上有最大值（或最小值），并且稱f(P0)為最大值（或最小值）。求多元函數(shù)極值與最值的方法包括無條件極值求法（直接法、拉格朗日乘數(shù)法）和有條件極值求法（化為無條件極值、拉格朗日乘數(shù)法）。多元函數(shù)極值與最值PART06無窮級(jí)數(shù)初步認(rèn)識(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷比較判別法、比值判別法、根值判別法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法、絕對(duì)收斂與條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算、級(jí)數(shù)的結(jié)合與重排常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷030201冪級(jí)數(shù)的定義、收斂半徑與收斂域冪級(jí)數(shù)的基本概念泰勒級(jí)數(shù)、麥克勞林級(jí)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算、冪級(jí)數(shù)的逐