2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題講次07 平行四邊形的存在性問(wèn)題（教師版）

專題07平行四邊形的存在性問(wèn)題

在幾何中，平行四邊形的判定方法有如下幾條：①兩組對(duì)邊互相平行；②兩組對(duì)邊分別

相等；③一組對(duì)邊平行且相等；④對(duì)角線互相平分；⑤兩組對(duì)角相等。在壓軸題中，往往與

函數(shù)（坐標(biāo)軸）結(jié)合在一起，運(yùn)用到④⑤的情況較少，更多的是從邊的平行、相等角度來(lái)得

到平行四邊形.

典例剖析

L▲

模塊一：已知三點(diǎn)的平行四邊形問(wèn)題

知識(shí)精講

1、知識(shí)內(nèi)容：

已知三點(diǎn)后，其實(shí)已經(jīng)固定了一個(gè)三角形（平行四邊形的一半），如圖AA8C.第四個(gè)

點(diǎn)材則有3種取法，過(guò)3個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線且取相等長(zhǎng)度即可（如圖中3個(gè)物點(diǎn)）.

2、解題思路:

(1)根據(jù)題目條件，求出已知3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)用一點(diǎn)及其對(duì)邊兩點(diǎn)的關(guān)系，求出一個(gè)可能點(diǎn)；

(3)更換頂點(diǎn)，求出所有可能的點(diǎn)；

(4)根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿足要求并作答.

例題解析

例1.如圖，拋物線y=Y+法-。經(jīng)過(guò)直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)/、B,此拋物線與

x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為G拋物線的頂點(diǎn)為〃

(1)求此拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使5兇1c:SMS=5：4的點(diǎn)？的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)"為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，寫(xiě)出使點(diǎn)收4、B、〃為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解析】解：(1)易得,從萬(wàn)坐標(biāo)分別為(0,-3)和(3,0),

代入拋物線解析式得，b=-2,c=3.

???拋物線解析式為：y=f-2x-3；

(2)?.?頂點(diǎn)〃為(1,-4),(點(diǎn)為(-1,0),

5MCD=^DO=8.

?*,Swc=1。,

：.P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為位心=5，

4

即〃點(diǎn)縱坐標(biāo)為±5(拋物線上最小為-4,負(fù)舍).

〃點(diǎn)縱坐標(biāo)為5,

代入拋物線解析式，解得：x=4或x=-2,

尸點(diǎn)為(4,5)或(-2,5)；

(3)過(guò)4、B、，分別作如、/〃、團(tuán)的平行線，

所得的三個(gè)交點(diǎn)即為滿足條件的V的位置，

分別為(~2,-7)、(4,T)、(2,1).

【總結(jié)】本題主要考查函數(shù)背景下的面積問(wèn)題及點(diǎn)的存在性，注意此題中已知三點(diǎn)求第四個(gè)

點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形時(shí)，利用平移的方法求解即可.

例2.如圖，已知拋物線丫=以2+3or+c與y軸交于點(diǎn)G與x軸交于/、8兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)

6的左側(cè))，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,0),tanAOBC=3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)￡在入軸上，點(diǎn)尸在拋物線上，是否存在以力、C、E、產(chǎn)為頂點(diǎn)且以為一邊的平

行四邊形，若存在，寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)拋物線的對(duì)稱軸與交于點(diǎn)0,說(shuō)明以。為圓心，以酸為半徑的圓與直線比1的關(guān)系.

【解析】解：（1）點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,tanZOBC^3.

：.Ot=3,0點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）.將6、C兩點(diǎn)代入了=ax+3ax+c,

拋物線的解析式為y=[x2+\x-3：

（2）/點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,0）,C點(diǎn)為（0,-3）,平行四邊形以/C為一邊,

則它的對(duì)邊為兩邊平行且相等.

設(shè)￡,點(diǎn)的坐標(biāo)為（e,0）分情況討論，

①〃在￡的右下方，則一點(diǎn)坐標(biāo)為（資4,-3）.

將P點(diǎn)代入拋物線方程，可以解得：k7.

②〃在￡的左上方，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（匕4,3）.

將。點(diǎn)代入拋物線方程，解得：1=坐叵，

.?，點(diǎn)為（-3,-3）或卜n+a,3]或（二衛(wèi)二四，31：

（3）直線4。的解析式為y=——3,拋物線得對(duì)稱軸為》=-3,

42

.?.0點(diǎn)坐標(biāo)為，],-"],...圓0的半徑為3標(biāo).

k2878

長(zhǎng)度為絲，0慶。。，...圓。與6C相交.

8

【總結(jié)】本題主要考查函數(shù)背景下的平行四邊形的存在性問(wèn)題，另外考查了直線與圓的位置

關(guān)系，注意利用相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系去判定.

例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=履+6分別與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)4與y軸正

半軸交于點(diǎn)8,口P經(jīng)過(guò)點(diǎn)4點(diǎn)3(圓心戶在x軸負(fù)半軸上)，已知48=10,AP=—.

(1)求點(diǎn)戶到直線的距離；

(2)求直線y=kx+3的解析式；

(3)在口尸上是否存在點(diǎn)0,使以4只B、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)

。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】(1)過(guò)點(diǎn)，作尸。，相，垂足為〃，由垂徑定理，得4〃=DB=5；

7515

在Rt\APD'\',由4〃=5,”=—,得PD=—

44

(2)由ZADP=ZAOB,NPAD=NBAO,得：APAD(八\BAO,

：.OA=8,OB=6,：.A(-8,0),B(0,6)

易得直線解析式為：y=-x+6

(3)在口尸上不存在點(diǎn)0,使以/、P、B、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

"：PA=PB,AB^PA,

以求P、B、。為頂點(diǎn)的是菱形的頂點(diǎn)。只能在陽(yáng)的延長(zhǎng)線上.

延長(zhǎng)加至點(diǎn)0,使如=DQ,AD=DB,且尸￡>_L4?得菱形

但PQ=2PD='大于半徑PA,

4

...點(diǎn)。在口P外，

即在口P上不存在點(diǎn)0,使以4P、B、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

【總結(jié)】本題主要考查函數(shù)背景下與圓相結(jié)合的問(wèn)題，注意利用圓的有關(guān)定理解決相應(yīng)問(wèn)題,

第（3）問(wèn)中注意利用菱形性質(zhì)去判定.

模塊二：存在動(dòng)邊的平行四邊形問(wèn)題

知識(shí)精講

1、知識(shí)內(nèi)容：

在此類問(wèn)題中，往往是已知一條邊，而它的對(duì)邊為動(dòng)邊，需要利用這組對(duì)邊平行且相等

列出方程，進(jìn)而解出相關(guān)數(shù)值.更復(fù)雜的有，一組對(duì)邊的兩條邊長(zhǎng)均為變量，需要分別表示

后才可列出方程進(jìn)行求解.

2、解題思路：

（1）找到或設(shè)出一定平行的兩條邊（一組對(duì)邊）；

（2）分別求出這組對(duì)邊的值或函數(shù)表達(dá)式；

（3）列出方程并求解；

（4）返回題面，驗(yàn)證求得結(jié)果.

例題解析

例4.（2020寶山二模）如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=℃2_2以-3ag<0）

與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線/:y=fcc+b與y軸負(fù)半軸

交于點(diǎn)C,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為。，且CO=4AC

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線/的函數(shù)表達(dá)式（其中晨沙用含a的式子表示）

（2）點(diǎn)E是直線/上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若A4CE的面積的最大值為工，求a的值；

4

（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)。在拋物線上，當(dāng)以點(diǎn)A、。、P、Q為頂點(diǎn)的

四邊形為矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】（1）令y=0,即辦2一2"一3a=0，解出x的值即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo);根據(jù)CO=4AC

表示出D點(diǎn)的坐標(biāo)（4,5a）,結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可算出直線解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)（加，。（加+1）（加-3））,然后結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出

%￡?=&（加-3）x+a（加-3）,再利用割補(bǔ)法表示出三角形ACE的面積，根據(jù)配方法求最值

即可算出a的值；

（3）分別以AD為對(duì)角線或AD為邊進(jìn)行分類討論，再結(jié)合矩形的對(duì)邊平行和一個(gè)內(nèi)角是

90°,利用勾股定理計(jì)算出a的值，進(jìn)而確定P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】（1）令y=0,則以2-2以一3a=0,解得x=l或3,

I點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)，.?.A（-l,0）；

如圖1,作DFJ_x軸于F點(diǎn),

OAAC

CD^4AC,OA=1,

.,.0F=4,即D點(diǎn)坐標(biāo)為（4,5a）,將A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b,得

—%+Z?=0k=a

n

4k+b=5ab=a

，直線/：y=ar+a

（2）如圖1,作ENJ_y軸于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)E（桃。（加+1）（加-3））,

yAE=k}x+bi,可得

=tz(m-3)x+tz(m-3)

設(shè)AE與y軸交點(diǎn)為M,則M(0,々(機(jī)-3)),

MC=a^m-3)-a,NE=m,

-s口ACE=S口AC"+S"M=-3)-a]+(m-3)-a]/〃,

3?25

n即nScnACE=Wa(一-

VAACE的面積的最大值為2,

4

2552

即----a=-,解得a=—

845

(3)由y=依2-2以一3a,可得對(duì)稱軸為x=l,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,m),

①若AD為矩形一條邊，如圖2,

則號(hào)一Xp=4一々，即4—1=一1一4，可得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4,代入拋物線方程，

可得Q點(diǎn)坐標(biāo)(-4,21a),.?.?='"+%=5a+21a=26”，

；.P點(diǎn)坐標(biāo)(1,26a),

?.,四邊形ADPQ為矩形,□NADP=90°,

AD2+PD2=AP2.

AD?=[4-(-1)了+(5〃)2=25+25/,pp2=(4-1)2+(5?-26a)2=9+441?2,

6=(-1)?+(26?)2=4+676/,

25+254+9+441/=4+676/na=±立，

7

I—//—、

?<0,."=一業(yè)，；.P點(diǎn)坐標(biāo)為1,———,

7I7)

②若AD為矩形的一條對(duì)角線，如圖3,則AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為

??.Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,—3a),進(jìn)而可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,8a),

:四邊形ADPQ為矩形,□NAPD=90°,

?*-AP2+PD2=AD2，

人尸=(-1-呼+(8a丫=4+64/,吁=(4_1J+伽_8a『=9+9a2,

AD2=[4-(-l)]2+(5?)2=25+25a2,

：.4+64o2+9+9a2=25+25/=>a-±-,

2

a<0,a=—5,；.P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—4)

26日'

綜上可得，P點(diǎn)坐標(biāo)為1，-或（1，-4）.

7

7

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何面積及矩形存在性的綜合問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法把

面積表示出來(lái)，通過(guò)配方法求面積最值，及結(jié)合矩形的性質(zhì)求解點(diǎn)的坐標(biāo).

例5.（2020崇明二模）已知拋物線y=or2+加—4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）,3（4,0）,與）’軸交于

點(diǎn)C,點(diǎn)。是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，連接AC、BC、CD、BD.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出對(duì)稱軸；

（2）當(dāng)5.“=45w七時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是X軸上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、D、E、F

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo).

【整體分析】

(1)根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，即可寫(xiě)出對(duì)稱軸；

(2)連接。,求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)求出5^=8,設(shè)D(X,X2-3X-4),

根據(jù)四邊形列出關(guān)于的方程,解方程即可求出

S0c08=SR0cD+S^OBD=SAO8c+tsBCD=16,X

D點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)分兩種情形：如圖2中，當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí)，根據(jù)DF=AE=1,求解即可.如

圖3中，當(dāng)AE,DF是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),

再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.

【滿分解答】

(1)y=ax2+bx-4經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-1,0),5(4,0),

a-b-4=0fa=1

[16a+4b-4^0'"[^=-3'

3

y=x2-3x-4,對(duì)稱軸為直線x=一.

2

(2)連接。。,

y=f-3x—4經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，，C(0,-4),

A(-LO),3(4,0),/.OA=1,03=OC=4,

又???ZAOC=NBOC=90°,/.S堤加=-xlx4=2,S.BOC='x4x4=8,

***SgcD=4sA40c,「.SgcD=8,

設(shè)D(x,x2—3x-4),

2

O在第四象限，.?.x>0,X-3X-4<0，

一S|四邊形OCD8=S、ocD+S&OBD

11

=—x4x+—x4(-x9+3x+4)

=-2x2+8x4-8，

,**S四邊形ocw=S^OBC+S^cz)=8+8=16,

2

/.-2x+8x+8=16?Xj=x2=2,/.D(2,-6).

（3）如圖2中，當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí),

V

圖2

VDF/7AE,D(2,-6)：.F(1,-6),ADF=1,AAE=1,

???E(0,0),或E'(-2,0).

如圖3中，當(dāng)AE,DF是平行四邊形的對(duì)角線時(shí),

?..點(diǎn)D與點(diǎn)F到x軸的距離相等，.?.點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為6,

當(dāng)y=6時(shí)，6=X2-3X-4,

解得x=-2或5,；.F(-2,6)或(5,6),

,—\+n—2+2—1+n5+2

設(shè)E(n,0),則有------=------或------=-----,

2222

解得n=l或8,AE(1,0)或(8,0),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0)或(1,0)或(8,0)或(-2,0).

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形

的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)川分類討論的思想思考

問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

例6.如圖，拋物線＞=-』/+法+0與/軸交于點(diǎn)水0,1）,過(guò)點(diǎn)4的直線與拋物線交于另

4

一點(diǎn)8（3,|）,過(guò)點(diǎn)8作8dx軸，垂足為C.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作月Ux軸，交直線于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,

設(shè)0的長(zhǎng)度為勿.

①當(dāng)點(diǎn)。在線段8上（不與點(diǎn)。、，重合）時(shí)，試用含勿的代數(shù)式表示線段AM的長(zhǎng)度；

②聯(lián)結(jié)CMBN,當(dāng)而為何值時(shí)，四邊形寬斷為平行四邊形？

【解析】（1）將從6代入拋物線，可解得拋物線的解析式為卜=-（必+12%+1

（2）由題目中條件，易得直線4?的解析式為y=gx+l.

①,"點(diǎn)坐標(biāo)為（加，0）,〃點(diǎn)坐標(biāo)為（h，-m+\）,

2

/.PM=-m+1;

2

②?：BC//MN,：.只需要MN=%1即能使秘州為平行四邊形.

當(dāng)點(diǎn)P在線段0C上時(shí),

T7??D個(gè)5....517.1.515

乂?￡>C=—,MN=—tn2H---機(jī)+1—in—\——m2~\-----m,

244244

——nr+—m=—?解得：加=1或〃z=2；

442

當(dāng)點(diǎn)P在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

*,521552155

MN=—m----m,艮|J一祖~---m=一，

44442

解得：叫=土乎(不合題意，舍去)，嗎=電叵，

綜上所述，當(dāng)用的值為1或2或士匚叵時(shí)，四邊形式祕(mì)V為平行四邊形.

2

【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時(shí)要注意解析式的確定，并且注意分類討

論的數(shù)學(xué)思想.

例7.如圖，已知拋物線了=一/+區(qū)+。經(jīng)過(guò)4(0,1)、8(4,3)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求tan/4?。的值；

(3)過(guò)點(diǎn)8作比工”軸，垂足為C,在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段4?于點(diǎn)N,

交拋物線于點(diǎn)M若四邊形松◎?yàn)槠叫兴倪呅?，求點(diǎn)"的坐標(biāo).

【解析】解：(1)將46兩點(diǎn)代入拋物線，可得拋物線解析式為)，=-丁+2》+1；

2

(2)過(guò)力作力必加于〃，可得5aAz口國(guó)=2.

又丁8O=，42+32=5,AAH=-.

5

又?:AO=。4?+22=2卮：.￡?//=J(2A/5)2-PJ=y

2

tanZ.ABO=——：

11

(3)9：BC//y軸，J加〃p軸，：.BC//MN.

要使拗④為平行四邊形，只需要除業(yè)V即可.

直線"的解析式為y=”l.

9

設(shè)"點(diǎn)為（〃,〃+1）,則"點(diǎn)為（〃,++

2-

2

又:給3,A/?/=-n24--n4-l--n-l=3.

22

解得：〃=1或〃=3（與材在對(duì)稱軸左側(cè)矛盾，舍）.

Q

，照點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-）,

2

【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，注意銳角三角比的運(yùn)用及平行四邊形的存在性的

討論.

例8.如圖，在用A4BC中，Zf=90°,AC=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)夕從點(diǎn)/開(kāi)始沿邊/C向點(diǎn)

C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)0從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊"向點(diǎn)6以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)、P作.PDUBC,交四于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)國(guó)?點(diǎn)只0分別從點(diǎn)4、C同時(shí)出發(fā),

當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒（合0）.

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=,PD=；

（2）是否存在力的值，使四邊形/W為菱形？若存在，求出力的值；若不存在，說(shuō)明理由，

并探究如何改變點(diǎn)0的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形如8。在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)0的速度.

4

【解析】（1）Q8=8-2r,=

（2）不存在.要使/W為菱形，首先它應(yīng)該是平行四邊形,

419

:.PFBQ,即8-2/=4.解得：r=—.

35

此時(shí)P￡>=3,ITOBD=10-AZ）=10--r=6.

53

???此時(shí)不為菱形，不存在r使得功制為菱形.

設(shè)。的速度為p時(shí)，存在「使得必制為菱形，

45

???QB=8-討，PD=-t,BD=W一一t.

33

:?PD=BD，即3=10-3,解得：t=—,

333

PD=QB,即，=8-，丫，解得：v=—.

9315

即當(dāng)點(diǎn)0的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，經(jīng)過(guò)3秒，四邊形/w是菱形.

153

【總結(jié)】本題主要考查幾何圖形背景下的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一方面要注意動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，另一方

面要注意對(duì)動(dòng)點(diǎn)的存在性進(jìn)行討論.

壓軸精練

1.已知平面直角坐標(biāo)系xfiy（如圖），一次函數(shù)y=』x+3的圖像與y軸交于點(diǎn)4點(diǎn),〃在正

-4

比例函數(shù)y=gx的圖像上，且柳9=物.二次函數(shù)y=x?+fer+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)4、M

（1）求線段4"的長(zhǎng)；

（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式：

（3）如果點(diǎn)8在y軸上，且位于點(diǎn)/下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)〃在一次函

數(shù)y=28+3的圖像上，且四邊形/版是菱形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

4

y“

1-

IIII______iiiiii.

。1x

【解析】（1）〃點(diǎn)應(yīng)在切的垂直平分線上，力點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）,在直線y=T上，

又點(diǎn)"在正比例函數(shù)y=gx的圖像上，點(diǎn)為（11），??.4"的長(zhǎng)為孚；

（2）將4、"分別代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=d+法+c,

解得解析式為：y=x2--x+3;

2

（3）根據(jù)四邊形48"四個(gè)頂點(diǎn)的順序可知，〃點(diǎn)在/點(diǎn)右上方，C在右下方,

且如/4?(即平行于y軸)，...設(shè)〃點(diǎn)為卜,《肛+3),則C點(diǎn)為(〃,〃2-g-+3

；4BCD為菱形,CD-AD.

；.1〃+3-/72+g〃—3=/。+(?〃)>解得:n=0(舍)或“=2.

；.C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).

【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及菱形的存在性，注意利用性質(zhì)確定點(diǎn)的坐

標(biāo).

2.在平面直角坐標(biāo)系x行中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(T,0)的拋物線曠=-丁+云+3與y軸交于點(diǎn)G

點(diǎn)8與點(diǎn)4點(diǎn)。與點(diǎn)C分別關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.

(1)求6的值以及直線49與x軸正方向的夾角；

(2)如果點(diǎn)￡是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)6作跖平行于*軸交直線/〃于點(diǎn)區(qū)且b在后的

右邊，過(guò)點(diǎn)/作用，/〃于點(diǎn)C,設(shè)〃的橫坐標(biāo)為w,AE/P的周長(zhǎng)為/,試用加表示人

(3)點(diǎn)"是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是y軸上一點(diǎn)，0是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，如果以/、〃、P、

0為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求該矩形的頂點(diǎn)。的坐標(biāo).

y=-d+2x+3,對(duì)稱軸直線*=1;：.C(0,3),D(2,3),A(-1,0),

二直線加解析式為：y=x+1,與x軸正方向的夾角為45°；

(2)''E(m,-m2+2m+3),F(-nr+2m+2,-nr+2m+3),

：.EF=-m2+m+2

'：AEFG為等腰直角三角形，/=EF+FG+EG=EF+4￡F+*EF=(及+1)EF,

A/=(V2+1)(-m2+/九+2)=-(夜+1)病+(夜+[)機(jī)+2夜+2.

(3)4(—1,0),.)/(1,4),設(shè)⑷/的中點(diǎn)為M則\(0,2)

①當(dāng)陽(yáng)/為對(duì)角線時(shí)，

?.*ZAPM=90°,:.PN=AN=MN=1AM=后,

2

:.QN=PN=50在y軸上，,Q(0,2+75),Q2(0,2-^5)；

②當(dāng)加為邊時(shí)，

cosZPW=^-,MV=5

5

59

RN=_,P、(0,-)

3232

AP3KM絲XQ'HA,(-2,1)

7

同理(2,—)

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng),解題時(shí)要運(yùn)用幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)，并且注意對(duì)方法的歸納總結(jié).

2.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，直線y=-4m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)力、B,點(diǎn)、

。在線段四上，且九°8=25.”.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含有加的代數(shù)式表示)；

(2)將&4OC沿X軸翻折，當(dāng)點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在拋物線y=立V+2〃a+〃?上時(shí)，

183

求該拋物線的表達(dá)式；

(3)設(shè)點(diǎn)"為(2)中所求拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)以/、0、G”為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形

時(shí)，清直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解析】解：(1)將*=0代入直線解析式，可得占點(diǎn)為(0,-4加.

將尸=0代入后，可得力點(diǎn)為(6,0).

過(guò)，作CDLOB于D,作區(qū)L出于E.

■:S^OB=2stMc,:.BC=AC.易證，△BCD^ACAE-

BD=CE,CD=AE....C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2加；

(2)由題意,C點(diǎn)為(3,2m).

，將「點(diǎn)代入y+2㈤（?+機(jī)，解得：機(jī)=-9.

■1832

，拋物線的解析式為：丫=@》2一@工一且.

■1832

（3）由題意，使得從0、C、M構(gòu)成平行四邊