河南省鄭州市第七高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一年級上冊學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題解析

2025屆高一年級上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量測試

數(shù)學(xué)試卷

滿分：150分考試時間：120分鐘

命題人：趙慧娟審題人：王金龍

一、單選題(每小題5分，共8小題，總計(jì)40分)

S=<%-<1■

1.已知集合A="Hx[<2},xJ,aeADB,則。的值可以是()

A.3B.-3C.-D.--

33

【答案】D

【解析】

求得集合A,3,得到AcB，結(jié)合和選項(xiàng)，即可求解.

解：由題意，集合A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B=<x—<1>={x|x<0或x>l},

X

所以An3={x[—2<xv0或l<x<2},

因?yàn)閍wADB,結(jié)合選項(xiàng)可得-'wAnB.

3

故選：D.

2.已知/(X)是定義域?yàn)?一。,+8)的奇函數(shù)，滿足五(1—x)=rd+x).若/⑴=2,貝I]

/(1)+/(2)+/(3)+-.+/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

【答案】C

【解析】

解：分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.

詳解：因?yàn)閒(X)是定義域?yàn)?3,+8)的奇函數(shù)，且尸?！猉)=f(1+X),

所以/(I+x)=-f(x-l).-./(3+x)=-/(%+1)=f{x-1).-.T=4,

因此/(D+/(2)+/(3)+..?+/(50)=14/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+/(2),

因?yàn)?(3)=-/(1)，/(4)=-/(2),所以J(l)+〃2)+f(3)+f(4)=0,

???/(2)=/(—2)=-/(2)/(2)=0,從而/(1)+/(2)+/(3)+…+/(50)=/(1)=2,選C.

點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函

數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

3.函數(shù)〃幻=(6_》_》2%的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.[--,2]B.[-3,--]C.[--,+oo)D.(-oo,-l]

2222

【答案】A

【解析】

/(x)=J(6—x—4丫,由6-%一/2。結(jié)合函數(shù)丁=6—x—f的遞減區(qū)間可得結(jié)果

解：/(x)=(6-x-x2^-^6—X—X2J>

由6—x—20得一3WxW2,又6—x—x?=——]H---，

I2j4

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-今2.

故選：A.

4.已知。+。7=3,下列各式中正確的個數(shù)是()

①/+4-2=7;②/+。-3=18;③q；+/=±6；④+.八=2舊;

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

根據(jù)完全平方和公式，立方和公式分別計(jì)算即可求解.

解：①。2+。-2=(。+。-1)2-2=9-2=7,正確；

②a3+a-3=(a+aT)(q2_]+a-2)=3X(7—1)=18,正確；

③因?yàn)閍+qT=3可知?！?,￡+/>0，儲+>)2=。+2+/=5,

所￡-<十以—7、巧D，故錯誤；

[3_31_1

@a\[a+—-j==ci^+a25)(。一1+(尸)=6(。-1+。一)=2石，正確.

ayJa

故選：c

點(diǎn)評：本題主要考查了平方和公式，立方和公式，屬于容易題.

5.《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕像，它取材于現(xiàn)實(shí)生活中的體育競技活

動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成

TT7T

一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的每只手臂長約丁，肩寬約為丁，“弓，，所在圓的半徑約為L25m,

則如圖擲鐵餅者雙手之間的距離約為()

71B.迪m-5乃

A.—mC.—mD.2m

248

【答案】B

【解析】

由題意知這段弓所在弧長，結(jié)合弧長公式求出其所對圓心角，雙手之間的距離為其所對弦長.

.71717154

解：由題得：弓所在的弧長為:/=—+—+—

448T

所以其所對的圓心角a=-17t

2

4

兩手之間的距離d=2Hsin工=&x1.25AB=—m

44

故選：B

6.a,beR,記max{a,Z?}=<則函數(shù)〃x)=max{|x+1,x2}(%eR)的最小值是()

一3+亞Qi+Vs

DR.---------------D

22-￥

【答案】A

【解析】

討論k+i|2f,卜+1<12時，可得函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最小值.

解：當(dāng)3+1歸即x+lif或x+iv-F解得上手耳1時，

/(x)=max||x+l|,x2|=|x+l|=x+l,函數(shù)單調(diào)遞增，

所以/(x)=匕叵+1=三立；

J\/min22

十時,22

當(dāng)X</(x)=max||x+l|,%|=x,函數(shù)單調(diào)遞減,

小)〉/

當(dāng)x>上手時，/(x)=max{|x+l|,x2}=x2,函數(shù)單調(diào)遞增,

綜上，/(%),=--

JV/mino

故選：A.

2*+2X〉0

7.已知〃力=4:〈力，則關(guān)于。的不等式〃2。)>/(/一3)的解集為()

A.(0,3)B.(-1,3)C.(-3,1)D.(0,1)

【答案】A

【解析】

2a>tz2-3,

先畫出函數(shù)的圖象，再解不等式組即得解.

2a>0

解：解：函數(shù)的圖象如圖所示,

2a>a1-3,_—1<a<3,

=>0<tz<3,

2a>0a>Q

故選：A.

8.已知/（X）是定義域?yàn)椋╫,+8）的單調(diào)函數(shù)，若對任意的X?O,”），都有/[/（x）-log2x]=3,則

函數(shù)＞=2?。┮弧沟牧泓c(diǎn)為（）

X

A.!B.-C.2D.3

23

【答案】A

【解析】

先根據(jù)“X）單調(diào)，結(jié)合已知條件求出“力的解析式，然后再進(jìn)一步研究函數(shù)y=2,?的零點(diǎn).

X

解：解：因?yàn)?（X）是定義域?yàn)椋?,+8）的單調(diào)函數(shù)，且對任意的XG（0,心），都有/（X）—log2刃=3,

故可設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)CG（0,+。），使得/（c）=3,

則設(shè)/（X）-Iog2x=C,所以y（x）=log,x+C,

所以/（。）=1。82。+。=3,則log2c=3-C,

由于函數(shù)y=log?x在（0,+8）上單調(diào)遞增，函數(shù)y=3-%在（0,+8）上單調(diào)遞減，

又log22=l=3-2,所以C=2,

故/（x）=log2x+2=log,（4x）

再令2人）—L=o,xe（O,+s）,得：4x--=0,解得x=±，（負(fù)值舍去）.

xx2

則函數(shù)y=2〃*）—工的零點(diǎn)為;.

X乙

故選：A.

多選題（每小題5分，共4小題，總計(jì)20分）

9.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.對VxwR,x+」一的最小值為1

x+1

B.若出7<0,則1+2的最大值為—2

ba

114

C.若。>0,人>。，則一+

abyjab

-21

D.若正實(shí)數(shù)MV滿足x+2y=l,則一+一的最小值為8

xV

【答案】BD

【解析】

根據(jù)特殊值A(chǔ),由均值不等式判斷BC,根據(jù)“1”的技巧及均值不等式判斷D.

解：對A,取光=—2,無+—-—=-3<1,故A錯誤；

X+1

對B,"<0,則q+2=_（-色-2）4一2、/（-g）?（-2）=-2,當(dāng)且僅當(dāng)a=T?時等號成立，故B正確；

babaVba

11224

對C,因?yàn)樗訲—r-r9而i~~7-<i:，故C錯誤；

ab<ab<ablab

對于D,2+_L=（2+_L）（x+2y）=4+曳+土24+2區(qū)三=8,當(dāng)且僅當(dāng)至=土，即》=」,丁='

時等號成立，故D正確.

故選：BD

2'-1

io.已知函數(shù)下面說法正確有（）

A./（X）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱B./（X）的圖像關(guān)于y軸對稱

C./（x）的值域?yàn)椋ā?,1）D.Vx,,x2￡/?,且.盧%2，/""）二"'J〉。

玉-x2

【答案】ACD

【解析】

判斷了（X）的奇偶性即可判斷選項(xiàng)AB,求/（X）的值域可判斷C,證明/（X）的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)D,即可

得正確選項(xiàng).

解：f（x）=±_!■的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱，

2V+1

/（-幻=2一+[=17^=-/"），所以/（x）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；

2X-1_2J+l-21-3因?yàn)?、＞。，所以2*＞1，所以?！?＜1，

/(x)

2A+1-2'+1

-2所以一1＜1一子，＜1,可得f（x）的值域?yàn)椋ā?,1）,

-2<<0,故選項(xiàng)C正確;

2A+1

設(shè)任意的王＜々,

22_2（2為一2-）

則/(%)-/。2)=1-2&+1)

2為+12*+12』+1（2』+。（2附+1

2(2為一2徇)

因?yàn)?"+1>0,2%+1>0,2*'—2*<0，所以7~~——J<0,

(27+1)(2*+1)

即/（內(nèi)）一/（々）＜。，所以二/（'”）＞0,故選項(xiàng)D正確;

玉一馬

故選：ACD

點(diǎn)評：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法

（1）取值：設(shè)冷々是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且玉＜%2；

（2）作差變形：即作差，即作差/（百）-/（々），并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷

符號的方向變形；

（3）定號：確定差/（%）一/（%2）的符號；

（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義作出結(jié)論.即取值一作差-一變形--定號--下結(jié)論.

11.下列命題中是真命題的有（）

A.存在a,B，使tan（a-/?）=tana-tan/?

B.在AABC中，若sin2A=sin28,則"WC是等腰三角形

C.在AABC中，“力〉8”是"sinA＞sinB”的充要條件

D.在AABC中，若COSA=2,sinB=一則cos。的值為二或巴

1356565

【答案】AC

【解析】

賦值法可以判斷A選項(xiàng)；在AABC中根據(jù)正弦值相等，可得兩角相等或者互補(bǔ)可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)正弦定

51243

理可判斷選項(xiàng)C；先由cosA=—,求得sinA=一，再由sinB=一，結(jié)合大角對大邊求得cosB=—，

131355

最后根據(jù)cosC=-cos(A+8)求值即可判斷選項(xiàng)D.

解：對于A,當(dāng)尸=。時，正確;

TT

對于B,由sin2A=sin25可得24=23或2A+2B=〃，即A=B或A+8=—,所以AABC是等腰三

2

角形或直角三角形，錯誤；

對于C,A>5<=>a>Z?<=>2HsinA>2/?sin3=sinA>sin5(其中R是AAb。外接圓的半徑)，正確；

對于D,因?yàn)閏osA=1，0<A</r,所以sinA=Jl—cos?A=Jl—(得)=

因?yàn)閟inA>sin3,所以由正弦定理得從而/>B-

4,--------

又因?yàn)閟in5=g,所以cos8=J1-sin?63

5

33

從而cosC=一cos(A+B)=sinAsin6-cosAcosB=—,錯誤;

65

故選：AC.

點(diǎn)評：解決判斷三角形的形狀問題，一般將條件化為只含角的三角函數(shù)的關(guān)系式，然后利用三角恒等變換

得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系.另

外，在變形過程中要注意4B,C的范圍對三角函數(shù)值的影響.

Ax+l,x<0

12.已知函數(shù)/(x)=,卜列是關(guān)于函數(shù)y=/[/(x)]+l的零點(diǎn)個數(shù)的判斷，其中正確的是

log2x,x〉0

()

A.當(dāng)攵>0時，有3個零點(diǎn)B.當(dāng)攵<0時，有2個零點(diǎn)

C.當(dāng)A>0時，有4個零點(diǎn)D.當(dāng)A<()時，有1個零點(diǎn)

【答案】CD

【解析】

令y=0得/[/(犬)]=-1，利用換元法將函數(shù)分解為/(X)=/和/(r)=-1,作出函數(shù)/(x)圖象,

利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

解：令y=/[/(x)]+i=。，得/[/(切=-1,設(shè)/co=t,則方程/"(切=-1等價(jià)為了⑺=-

1,

①若k>0,作出函數(shù)/(X)的圖象如圖：???/(/)=-1

，此時方程/(f)=-1有兩個根其中f2<0,0</|<1,由f(X)=?2<0,此時X有兩解，

由/(x)(0,1)知此時x有兩解，此時共有4個解，

即函數(shù)尸加(x)]+1有4個零點(diǎn).

②若%<0,作出函數(shù)/(x)的圖象如圖：??"■(/)=-1,???此時方程/G)=-1有一個根“，其中0<“

<1,

由/(x)="w(0,1),此時x只有1個解，即函數(shù)y=*(x)]+1有1個零點(diǎn).

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵,

屬于難題.

二、填空題(每小題5分，共4小題，總計(jì)20分)

13.已知集合4=卜—|加+2(。+1)%+。=0｝沒有非空真子集，則實(shí)數(shù)。構(gòu)成的集合為.

【答案】｛0｝ujaa~~2\

【解析】

根據(jù)題意可得集合A中元素的個數(shù)為1或0個，再分情況討論即可，注意a=0這種情況.

解：解：因?yàn)榧?=卜€(wěn)1<|田;2+2(0+1?+。=0｝沒有非空真子集，

所以集合A中元素的個數(shù)為1或。個，

當(dāng)集合A中元素的個數(shù)為1個時，

若。=(),則有2x=0,解得x=0,符合題意，

91

若則有△=4(1+1)--4片=0,解得^二一萬，

當(dāng)集合A中元素的個數(shù)為0個時，

eA=4(a+l)2-4a2<0…1

則〈v,解得a<一-，

aw02

綜上a=0或—,

2

即實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為｛0｝。,。。<一；>.

場比安、/fnlJ<

故答案為：｛0｝aa<――>.

14.已知均為實(shí)數(shù)且a,b>-l,a+b+ab=3,則a+4人的最小值為.

【答案】3

【解析】

由a+b+aZ?=3可得（a+l）S+l）=4,再將a+4b變形為（。+1）+4（匕+1）-5,利用基本不等式即可求

解.

解：由a+b+aZ?=3,可得（a+l）（b+l）=4,

因?yàn)椤?。>一1,所以a+l>0,/?+1>0,

則a+4Z?=(a+l)+4(Z?+l)-5>2j(a+l)=4(l+l)-5=3，

小…+1),即a=3

當(dāng)且僅當(dāng)《,八時取等號.

3+1)(0+1)=4b=0

所以a+4b的最小值為3.

故答案為：3

2國x<1

15.已知函數(shù)/(%)=<62_：）［〉］，若方程〃x）=a有四個不相等的實(shí)數(shù)根毛，巧，七，/，則

X；+X；+X；+X：的取值范圍為

【答案】（8,12）

【解析】

由題意可知函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于X=1對稱，畫出函數(shù)“X）的大致圖象，不妨設(shè)E<々<當(dāng)<》4,則

x,+x4=2,x2+x3=2,玉=一々，所以x；+x；+x；+x：=4考+8,再由0<々<1即可求出結(jié)果.

解：解：?..當(dāng)x>l時，f(x)=f(2-x),

/（X）在（一8,1）和（1,4W）上的圖象關(guān)于x=1對稱,

畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示,

不妨設(shè)X,<X2<X3<X4,

由對稱性可知，玉+%=2,x2+x3=2,=-x2,

X1~+x；+石+x：=%2+石+(2—%2+(2+*2)~=4x；+8,

?/0<x2<1,r.8<4x；+8<12,

即x；+E+x；+E取值范圍為(8,12).

故答案為：（8,12）.

16.已知偶函數(shù)fM的定義域?yàn)椋?oo,0）U（0,+oo）,已知當(dāng)々＞玉〉0時，

%"（%）一4/（工2）＞中2（法"一再爐2）,若y（2）=2e2+8,則f（x）＞2x2+|x|e閔的解集為_____,

【答案】（一2,0）u（0,2）

【解析】

X|

由X；/（王）一）＞xIx2（x2e-x/），可得'（"）；卒＞/（%2‘丁21，令g（X）=/（x）[x|e",

X]^2X

從而可得出函數(shù)g（x）在（0,+。）上得單調(diào)性，再判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，結(jié)合/（2）=2e2+8,求得g⑵,

而所求不等式可化為回二口型〉2,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性列出不等式即可得出答案.

廠

解:解：當(dāng)J〉%〉。時，由X"（X1）-6/（工2）＞%工2（工2爐一七。叼），

2

俎/（%）一司9f（X2）-X2e

得------2----＞------2----'

%x2

令g（x）=&「M,當(dāng)x＞0時，g⑺

JTX

則ga）＞g（w）,

所以函數(shù)g（x）在（0,+8）上遞減,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),

/(一X)-卜Me卜M/(X)-W/

則g(T)=g(x),

所以函數(shù)g(x)也是偶函數(shù),

因?yàn)?(2)=2e2+8,所以g(2)=2,

2|v|

不等式/(X)>2X+|X|e可化為〃止產(chǎn)亶>2,

即g(x)>g⑵,

所以國<2,解得一2<x<2,

所以f(x)>2x2+\x\/的解集為(—2,0)"0,2).

故答案為：(―2,0)u(0,2).

三、解答題(共6大題，第17題10分，第18題?第22題每題12分，共70分)

17.函數(shù)/(x)=的定義域?yàn)榧螦,函數(shù)g(x)=(￡)(xN—1)的值域?yàn)榧?,U

(1)求(dA)cB；

(2))若。=［。,2a-1］且C=8,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)(0,1］

⑵(制

【解析】

(1)此題考查集合的運(yùn)算，先求集合A與/(0)=3,然后再求集合的補(bǔ)集與交集；

(2)m,所以討論當(dāng)。=0和CN0兩種情況求范圍.

【小問I詳解】

函數(shù)/(》)=方二的定義域?yàn)橛权D1>0，

VX-1

所以A=(l,+oo),即A=(-00』］,

因?yàn)椤分?,<2.B=(O,2］；

&A)cB=(O』.

【小問2詳解】

因?yàn)镃=8,所以C=0,a>2a—1,解得：a<1.

0<aa>0

3

。關(guān)0時，-aK2Q-1=><a>l得:l<a<-

92

2a—1?2a/

12

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

18./(x)=tan(2x+.)

(1)求函數(shù)/(x)的定義域；

⑵若/仁=2cos2a,求a.

兀kn

【答案】(1)—I---，左eZ：

82

兀

(2)a=—

12

【解析】

(1)由正切函數(shù)的定義域通過換元即可求解；

(2)利用三角函數(shù)的和差角及二倍角公式化簡可得sin2a=g,根據(jù)即可求解.

【小問1詳解】

..兀兀r/r/r7Tkit

由2xH—W—Fkn,kwZ,得xw—I---,Z￡Z,

4282

兀krt

所以F。)的定義域?yàn)閤^-+—,keZ>.

82

【小問2詳解】

由砥

=2cos2a,得tan1a+1=2cos2a,

.兀

sina+

即——y----Y=2(cos2a-sin2a

cosa+：

…E,口sina+cosa

整理得-------；—2(cosa+sina)(cosa-sina),

cos。一sina

因?yàn)樗詓ina+cosawO,

211

因此(cos。-sin=—,即sin2a=—,

22

由二￡(0,：],得2a

所以2a=二，即a=￡.

612

19.命題p：e[l,2],x2+x—a>0,^命題q：“玉:wR,x2+3x+2—6T=0,5.

（1）當(dāng)p為假命題時，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若〃和q中有且只有一個是真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）ci>—

4

（2）aW——

4

【解析】

（1）根據(jù)全稱命題的否定，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

（2）利用分類討論解題思想，可得答案.

【小問1詳解】

由P為假命題，則力為真命題，即土41,2],f+AQvo，

令/（x）=f+x-a,開口向上，則△=l+4a>o,解得a>_；.

【小問2詳解】

由（1）可知，當(dāng)p為真命題時，a<--當(dāng)p為假命題時，a>--.

4;4

當(dāng)4為真命題時，A=9-4（2-a）20,解得當(dāng)（?為假命題時，a<-}

當(dāng)P為真命題，q為假命題時，a<--；當(dāng)p為假命題，q為真命題時，a>---；

44

則P和4中有且只有一個是真命題時，a^--.

4

20.某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益/(x)與投資額x成

正比，其關(guān)系如圖1：投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益g(x)與投資額x的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖

(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益/(x)和g(x)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大

年收益是多少萬元？

【答案】(1)/(x)=0.125x,g(x)=0.5石

(2)當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為16萬元，風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的資金為4萬元時年收益最大，最大值為3萬元.

【解析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法可得；

(2)設(shè)用于投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為x,寫出年收益的解析式，利用換元法可得.

【小問1詳解】

由題意可設(shè)/(x)=mx,g(x)=n4x>

由圖知，函數(shù)f(x)和g(x)的圖象分別過點(diǎn)分0.125)和(1,0.5),

代入解析式可得加=0.125,〃=0.5,

所以/(x)=0.125x,g(x)=0.54

【小問2詳解】

設(shè)用于投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為x,用于投資風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的資金為20-x,年收益為y,

則y=0.125x+0.5>/20-x=-(x+4>/20-x),XG[0,201

8

令1=而1,則,=_：(*_今_20)=_：9—2)2—24],fe[0,2逐]

oo

當(dāng)f=2,即X=16時，ymax=3.

所以當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為16萬元，風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的資金為4萬元時年收益最大，最大值為3萬元.

21.如圖，要在一塊半徑為1m,圓心為60°的扇形紙板AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ,使點(diǎn)P在AB弧

上，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M、N在0B上，設(shè)NBOP=0.平行四邊形MNPQ的面積為S.

（1）求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求S的最大值及相應(yīng)0的值.

【答案】（1）S=sin8cos6—走sin2a（2）當(dāng)。=工時，S有最大值為亞

3I3）66

【解析】

（1）分別過P、Q作PDL0B于D,QEL0B于E,則QEDP為矩形，求出邊長即可求S關(guān)于0的函數(shù)關(guān)系式；

（2）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過0的

范圍求出S的最大值及相應(yīng)的。角.

解：（1）分別過P、Q作PDJ_OB于D,QEL0B于E,則QEDP為矩形，

八

由扇形半徑為lcm,PD=sin0,OD=cos0,在RtZ\0EQ中MN=OD-0E=cos。-巨sin。

3

S-MN-PD-cos?！猑sin。-sin^=sin^cos^----sin20,0e[o,—

I3)3I3

(2)S=sin^cos0-—sin2OS=—sin^^H-—>1-—,丁6w(

33I6j6I3；

八八萬(25乃、,(c八7r\(11

當(dāng)Y時，Sw邛