2022-2023學(xué)年天津市和平區(qū)雙菱中學(xué)九年級(jí)（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022-2023學(xué)年天津市和平區(qū)雙菱中學(xué)九年級(jí)（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（每小題3分，共36分）1．（3分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．斐波那契螺旋線 B．笛卡爾心形線 C．趙爽弦圖 D．科克曲線2．（3分）不透明袋子中裝有5個(gè)紅球、3個(gè)綠球，這些球除了顏色外無其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是（）A． B． C． D．3．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．84．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠05．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣（m﹣2）x+4圖象的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則m的值一定不是（）A．2 B．6 C．﹣2 D．06．（3分）如圖，已知OA為⊙O的半徑，弦BC⊥OA于點(diǎn)P，若BC＝8，AP＝2，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．10 D．7．（3分）一次聚會(huì)，每?jī)蓚€(gè)參加聚會(huì)的人互送一件不同的小禮物，有人統(tǒng)計(jì)一共送了56件小禮物，如果參加這次聚會(huì)的人數(shù)為x，根據(jù)題意可列方程為（）A．x（x+1）＝56 B．x（x﹣1）＝56 C．2x（x+1）＝56 D．x（x﹣1）＝56×28．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為（）A．45° B．50° C．60° D．75°9．（3分）如圖，五角星的五個(gè)頂點(diǎn)等分圓周，把這個(gè)圖形繞著圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，那么這個(gè)角度至少為（）A．60° B．72° C．75° D．90°10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C．若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，﹣3），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，0），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（﹣，） D．（﹣，2）11．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于點(diǎn)F，則∠BAC＝（）A．80° B．85° C．90° D．95°12．（3分）已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，則下列結(jié)論正確的是（）①當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減??；②若圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則﹣1＜a＜0；③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；④若圖象上兩點(diǎn)（，y1），（+n，y2）對(duì)一切正數(shù)n，總有y1＞y2，則1＜m≤．A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④二、填空題（每小題3分，共18分）13．（3分）用一個(gè)圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是．14．（3分）隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動(dòng)支付已成為一種常見的支付方式．在一次購(gòu)物中，馬老師和趙老師隨機(jī)從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付．則兩位老師恰好都選擇“微信”支付的概率為．15．（3分）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，PA＝10cm，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于點(diǎn)C、D，則△PCD的周長(zhǎng)是．16．（3分）如圖，已知⊙O的半徑為3，弦AB、CD所對(duì)的圓心角分別是∠AOB、∠COD，若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD＝4，則弦AB的長(zhǎng)為．17．（3分）若二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3在x＝a或x＝b（a≠b）時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x＝a+b時(shí)，函數(shù)值為．18．（3分）如圖是由小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙P經(jīng)過A，B兩個(gè)格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示）．（1）在圖（1）中，⊙P經(jīng)過格點(diǎn)C，畫圓心P，并畫弦BD，使BD平分∠ABC；（2）在圖（2）中，⊙P經(jīng)過格點(diǎn)E，F(xiàn)是⊙P與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，畫圓心P，并畫弦FG，使FG＝FA．三、解答題（共66分）19．（8分）解下列方程（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．（3）求證：無論m取何值時(shí)，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．20．（8分）如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，5為半徑作⊙O分別與∠EPF的兩邊相交于A、B和C、D，連接OA，且OA∥PE．（1）求AP的長(zhǎng)；（2）若弦AB＝8，求OP的長(zhǎng)．21．（10分）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)為100元時(shí)，每月的銷售量為50件，而銷售單價(jià)每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價(jià)不得低于成本．（1）當(dāng)銷售單價(jià)為90元時(shí)，每月的銷售量為件．（2）若使該商品每月的銷售利潤(rùn)為4000元，并使顧客獲得更多的實(shí)惠，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？22．（10分）如圖，為求出河對(duì)岸兩棵樹A，B間的距離，小坤在河岸上選取一點(diǎn)C，然后沿垂直于AC的直線前進(jìn)了12m到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得∠CDB＝90°．取CD的中點(diǎn)E，測(cè)得∠AEC＝56°，∠BED＝67°，求河對(duì)岸兩樹間的距離．參考數(shù)據(jù)：，，，．23．（10分）如圖，線段AB經(jīng)過⊙O的圓心O，交圓O于點(diǎn)A，C，BC＝1，AD為⊙O的弦，連接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交⊙O于點(diǎn)M．（1）求證：直線BD是⊙O的切線；（2）求線段BM的長(zhǎng)．24．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B（0，6），把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BO′，點(diǎn)A、O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）如圖①，若α＝90°，求AA′的長(zhǎng)；（2）如圖②，若α＝60°，求點(diǎn)O′的坐標(biāo)；（3）如圖③，P為AB上一點(diǎn)，且PA：PB＝2：1，連接PO′、PA′，在△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，求△PO′A′面積的最大值和最小值（直接寫出結(jié)果即可）．25．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)D是第一象限的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．①若DE＝CE，求D點(diǎn)坐標(biāo)；②過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，連接DC、DA，當(dāng)△DEF的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△PAC＝S△ACD，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

2022-2023學(xué)年天津市和平區(qū)雙菱中學(xué)九年級(jí)（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題（每小題3分，共36分）1．（3分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．斐波那契螺旋線 B．笛卡爾心形線 C．趙爽弦圖 D．科克曲線【解答】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（3分）不透明袋子中裝有5個(gè)紅球、3個(gè)綠球，這些球除了顏色外無其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：由于共有8個(gè)球，其中紅球有5個(gè)，則從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率是，故選：D．3．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；故選：C．4．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝22﹣4?k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故選：C．5．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣（m﹣2）x+4圖象的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則m的值一定不是（）A．2 B．6 C．﹣2 D．0【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣（m﹣2）x+4＝（x﹣）2﹣+4，∴該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣+4），∵二次函數(shù)y＝x2﹣（m﹣2）x+4圖象的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，∴＝0或﹣+4＝0，解得m＝2或m1＝﹣2，m2＝6，故選：D．6．（3分）如圖，已知OA為⊙O的半徑，弦BC⊥OA于點(diǎn)P，若BC＝8，AP＝2，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．10 D．【解答】解：如圖，連接OB，設(shè)OB＝OA＝x．∵OA⊥BC，∴PB＝PC＝BC＝4，在Rt△OPB中，OB2＝OP2+PB2，∴x2＝（x﹣2）2+42，∴x＝5，∴⊙O的半徑為5．故選：A．7．（3分）一次聚會(huì)，每?jī)蓚€(gè)參加聚會(huì)的人互送一件不同的小禮物，有人統(tǒng)計(jì)一共送了56件小禮物，如果參加這次聚會(huì)的人數(shù)為x，根據(jù)題意可列方程為（）A．x（x+1）＝56 B．x（x﹣1）＝56 C．2x（x+1）＝56 D．x（x﹣1）＝56×2【解答】解：設(shè)有x人參加聚會(huì)，則每人送出（x﹣1）件禮物，由題意得，x（x﹣1）＝56．故選：B．8．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為（）A．45° B．50° C．60° D．75°【解答】解：設(shè)∠ADC的度數(shù)＝α，∠ABC的度數(shù)＝β；∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴∠ABC＝∠AOC；∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°，∴，解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，故選：C．9．（3分）如圖，五角星的五個(gè)頂點(diǎn)等分圓周，把這個(gè)圖形繞著圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，那么這個(gè)角度至少為（）A．60° B．72° C．75° D．90°【解答】解：因?yàn)槲褰切堑奈鍌€(gè)頂點(diǎn)等分圓周，所以360°÷5＝72°，所以這個(gè)圖形繞著圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，那么這個(gè)角度至少為72°．故選：B．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C．若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，﹣3），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，0），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，） C．（﹣，） D．（﹣，2）【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過點(diǎn)A′作A′F⊥x軸于F．∵B（﹣2，0），C（﹣1，0），B′（1，0），A′（2，﹣3）∴OB＝2，OC＝OB′＝1，OF＝2，A′F＝3，∴BC＝1，CB′＝2，CF＝3，∵△ABC∽△A′B′C，∴＝＝，∴AE＝，∵∠ACE＝∠A′CF，∠AEC＝∠A′FC＝90°，∴△AEC∽△A′FC，∴＝＝，∴EC＝，∴OE＝EC+OC＝，∴A（﹣，），故選：C．11．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于點(diǎn)F，則∠BAC＝（）A．80° B．85° C．90° D．95°【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°得△ADE，∴∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝85°．故選：B．12．（3分）已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，則下列結(jié)論正確的是（）①當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減?。虎谌魣D象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則﹣1＜a＜0；③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；④若圖象上兩點(diǎn)（，y1），（+n，y2）對(duì)一切正數(shù)n，總有y1＞y2，則1＜m≤．A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④【解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），∴y＝0時(shí)，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，又∵當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴a＜0，開口向下，∴當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，故①正確；若圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故②錯(cuò)誤；又∵對(duì)稱軸為直線x＝，1＜m＜2，∴0＜＜，∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，2021離對(duì)稱軸近些，則y1＜y2，故③正確；若圖象上兩點(diǎn)（，y1），（+n，y2）對(duì)一切正數(shù)n，總有y1＞y2，1＜m＜2，∴該函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），（m，0），∴0＜≤，解得1＜m≤，故④正確；故選：D．二、填空題（每小題3分，共18分）13．（3分）用一個(gè)圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2．【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)＝＝4π，∴圓錐的底面半徑為4π÷2π＝2．故答案為：2．14．（3分）隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動(dòng)支付已成為一種常見的支付方式．在一次購(gòu)物中，馬老師和趙老師隨機(jī)從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付．則兩位老師恰好都選擇“微信”支付的概率為．【解答】解：把“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式分別記為：A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）共有9種等可能的結(jié)果，其中兩位老師恰好都選擇“微信”支付的結(jié)果有1種，∴兩位老師恰好都選擇“微信”支付的概率為，故答案為：．15．（3分）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，PA＝10cm，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于點(diǎn)C、D，則△PCD的周長(zhǎng)是20cm．【解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA＝PB＝10，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝10+10＝20（cm），即△PCD的周長(zhǎng)為20（cm），故答案為：20cm．16．（3分）如圖，已知⊙O的半徑為3，弦AB、CD所對(duì)的圓心角分別是∠AOB、∠COD，若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD＝4，則弦AB的長(zhǎng)為2．【解答】解：作直徑AE，連接BE，如圖，∵∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝4，∵AE為直徑，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，AB＝＝＝2．故答案為2．17．（3分）若二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3在x＝a或x＝b（a≠b）時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x＝a+b時(shí)，函數(shù)值為3．【解答】解：∵當(dāng)x＝a或x＝b（a≠b）時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的函數(shù)值相等，∴以a、b為橫坐標(biāo)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，∴a+b＝4，∵x＝a+b，∴x＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝42﹣4×4+3＝3，故答案為：3．18．（3分）如圖是由小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙P經(jīng)過A，B兩個(gè)格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示）．（1）在圖（1）中，⊙P經(jīng)過格點(diǎn)C，畫圓心P，并畫弦BD，使BD平分∠ABC；（2）在圖（2）中，⊙P經(jīng)過格點(diǎn)E，F(xiàn)是⊙P與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，畫圓心P，并畫弦FG，使FG＝FA．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)P，線段BD即為所求作．（2）如圖，點(diǎn)P，線段FG即為所求作．三、解答題（共66分）19．（8分）解下列方程（1）x2+4x﹣1＝0；（2）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．（3）求證：無論m取何值時(shí)，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【解答】（1）解：x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，∴，解得：，；（2）解：（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1），∴（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x+3﹣5）＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2；（3）證明：（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0，整理得：x2﹣5x+6﹣m2＝0，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣m2）＝1+4m2＞0，即無論m取何值時(shí)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．20．（8分）如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，5為半徑作⊙O分別與∠EPF的兩邊相交于A、B和C、D，連接OA，且OA∥PE．（1）求AP的長(zhǎng)；（2）若弦AB＝8，求OP的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵PG平分∠EPF，∴∠EPG＝∠FPG，∵OA∥PE，∴∠POA＝∠FPG，∴∠POA＝∠APO，∴PA＝OA，∵⊙O的半徑為5，∴AP＝5；（2）過O作OH⊥AB，∵OH⊥AB，AB＝8，∴AH＝BH＝4，PH＝PA+AH＝9，在Rt△AOH中：，在Rt△POH中：．21．（10分）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)為100元時(shí)，每月的銷售量為50件，而銷售單價(jià)每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價(jià)不得低于成本．（1）當(dāng)銷售單價(jià)為90元時(shí)，每月的銷售量為100件．（2）若使該商品每月的銷售利潤(rùn)為4000元，并使顧客獲得更多的實(shí)惠，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？【解答】解：（1）由題意可得，當(dāng)銷售單價(jià)為90元時(shí)，銷售量為：（件），故答案為：100；（2）設(shè)售價(jià)為x元，由題意可，，解得：x1＝70，x2＝90，∵使顧客獲得更多的實(shí)惠，∴x＝70，答：銷售單價(jià)應(yīng)定為70元；22．（10分）如圖，為求出河對(duì)岸兩棵樹A，B間的距離，小坤在河岸上選取一點(diǎn)C，然后沿垂直于AC的直線前進(jìn)了12m到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得∠CDB＝90°．取CD的中點(diǎn)E，測(cè)得∠AEC＝56°，∠BED＝67°，求河對(duì)岸兩樹間的距離．參考數(shù)據(jù)：，，，．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，∵E為CD中點(diǎn)，CD＝12m，∴CE＝DE＝6m．在Rt△ACE中，∵，∴AC＝CE?tan56°＝6×＝9（m），在Rt△BDE中，，BD＝DE?tan67°＝6×＝14（m），∵AF⊥BD，∴AC＝DF＝9m，AF＝CD＝12m，∴BF＝BD﹣DF＝14﹣9＝5m．在Rt△AFB中，AF＝12m，BF＝5m，∴AB＝＝＝13（m），∴兩樹間距離為13米．23．（10分）如圖，線段AB經(jīng)過⊙O的圓心O，交圓O于點(diǎn)A，C，BC＝1，AD為⊙O的弦，連接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交⊙O于點(diǎn)M．（1）求證：直線BD是⊙O的切線；（2）求線段BM的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即OD⊥BD，∵OD過O，∴直線BD是⊙O的切線；（2）解：設(shè)OD＝OC＝r，在Rt△BDO中，sin30°＝＝，解得：r＝1，即OD＝1，OB＝1+1＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝＝，連接DM，∵DE是⊙O的直徑，∴∠DME＝90°，即∠DMB＝∠BDE＝90°，∵∠DBM＝∠DBE，∴△BMD∽△BDE，∴＝，∴＝，解得：BM＝，24．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)B（0，6），把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BO′，點(diǎn)A、O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．（1）如圖①，若α＝90°，求AA′的長(zhǎng)；（2）如圖②，若α＝60°，求點(diǎn)O′的坐標(biāo)；（3）如圖③，P為AB上一點(diǎn)，且PA：PB＝2：1，連接PO′、PA′，在△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，求△PO′A′面積的最大值和最小值（直接寫出結(jié)果即可）．【解答】解：（1）如圖①中，∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BO＝BO′＝6，A′O′＝OA＝8∠OBO′＝90°，延長(zhǎng)A′O′交x軸于點(diǎn)E，則∠BO′E＝90°，又∠BOE＝90°∴四邊形BOEO′是矩形，又BO＝BO′，∴四邊形BOEO′是正方形，∴OE＝O′E＝BO＝6，∴A′E＝AO′+O′E＝8+6＝14，∴A′（6，14），∴；（2）如圖②中，過點(diǎn)O′作O′H⊥OB于點(diǎn)H．在Rt△O′BH中，BH＝O′B?cos60＝3，，∴OH