微積分基礎(chǔ)公式寶典課件

微積分基礎(chǔ)公式[寶典課件目錄極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分積分與原函數(shù)中值定理與泰勒公式不定積分與定積分常微分方程與級(jí)數(shù)01極限與連續(xù)VS對(duì)于給定的數(shù)列，如果當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)x(n)趨于某一確定的數(shù)a，則稱a為數(shù)列的極限。極限的性質(zhì)極限具有唯一性、有界性、局部保號(hào)性、局部不等式性質(zhì)、迫斂性等性質(zhì)。極限的數(shù)列定義極限的定義與性質(zhì)對(duì)于兩個(gè)收斂的序列，可以像普通算術(shù)一樣進(jìn)行四則運(yùn)算。極限的四則運(yùn)算如果lim(x→x0)f(x)=A，且lim(x→x0)g(x)=B，那么lim(x→x0)f(x)g(x)=A×B。極限的乘法法則極限的運(yùn)算連續(xù)復(fù)利的定義連續(xù)復(fù)利是指在極短的時(shí)間間隔內(nèi)（例如瞬間）進(jìn)行復(fù)利計(jì)算。連續(xù)復(fù)利公式連續(xù)復(fù)利的公式為F=P×e^(rt)，其中F為終值，P為本金，r為年利率，t為時(shí)間（單位為年）。連續(xù)復(fù)利公式02導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值隨自變量改變的速度，是函數(shù)變化的局部線性近似。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值隨自變量改變的速度，體現(xiàn)函數(shù)變化的局部性質(zhì)。導(dǎo)數(shù)定義基于極限，核心是局部逼近思想。導(dǎo)數(shù)性質(zhì)包括可加性、可導(dǎo)性、可線性組合等?？偨Y(jié)詞詳細(xì)描述導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)總結(jié)詞導(dǎo)數(shù)計(jì)算涉及基本導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則。詳細(xì)描述導(dǎo)數(shù)計(jì)算包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本導(dǎo)數(shù)公式，以及鏈?zhǔn)椒▌t、乘積法則、冪函數(shù)求導(dǎo)法則等。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算總結(jié)詞微分是函數(shù)值隨自變量改變的近似值，是函數(shù)變化的局部線性近似。要點(diǎn)一要點(diǎn)二詳細(xì)描述微分定義基于極限，核心是局部逼近思想。微分性質(zhì)包括可加性、可微性、可線性組合等。微分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系密切，微分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。微分的定義與性質(zhì)03積分與原函數(shù)積分的定義積分是求和的無(wú)限累加，它可以將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)直線的面積或者一個(gè)曲線下方的面積。積分的性質(zhì)積分的性質(zhì)包括可加性、可減性、可乘性和可除性，這些性質(zhì)在計(jì)算積分時(shí)非常有用。積分的定義與性質(zhì)積分計(jì)算的方法包括換元法、分部積分法和部分分式法等，這些方法可以用于計(jì)算不同類(lèi)型的積分。積分計(jì)算的方法常見(jiàn)函數(shù)的積分包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，這些函數(shù)的積分在微積分中非常重要。常見(jiàn)函數(shù)的積分積分的計(jì)算原函數(shù)的概念原函數(shù)是指一個(gè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)等于另一個(gè)函數(shù)g(x)，即f'(x)=g(x)，那么f(x)就叫做g(x)的原函數(shù)。原函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)的性質(zhì)包括單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性等，這些性質(zhì)在解決微分方程等問(wèn)題時(shí)非常重要。原函數(shù)的概念與性質(zhì)04中值定理與泰勒公式羅爾定理若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則必存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。應(yīng)用：證明某些特殊函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。拉格朗日中值定理若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則必存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。應(yīng)用：揭示函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化率與其在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值之間的關(guān)系。柯西中值定理若函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在開(kāi)區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，且g'(x)≠0,則必存在ξ∈(a,b)，使f'(ξ)/g'(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。應(yīng)用：研究復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分中值定理。中值定理及其應(yīng)用VS如果函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)鄰域內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意x∈包含x0的鄰域內(nèi)，有f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)。應(yīng)用：近似計(jì)算、誤差估計(jì)、方程根的近似解、不等式的證明、函數(shù)的極值研究等。麥克勞林公式當(dāng)函數(shù)f(x)具有直到n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，若f(x0)=f'(x0)=...=f(n-1)(x0)=0，且f(n)(x0)\neq0，則存在某個(gè)ξ∈(x0,x)，使得f(n)(ξ)=(-1)^n/n!，進(jìn)而得到f(x)=(-1)^n/n!*Rn(x)。應(yīng)用：研究高階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，探討高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和性質(zhì)。泰勒公式泰勒公式及其應(yīng)用麥克勞林公式：若函數(shù)f(x)具有直到n階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=f'(0)=...=f(n-1)(0)=0，則必有某個(gè)ξ∈(0,x)，使得f(n)(ξ)=(-1)^n/n!，進(jìn)而得到f(x)=(-1)^n/n!*Rn(x)。應(yīng)用：研究高階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，探討高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和性質(zhì)。麥克勞林公式及其應(yīng)用05不定積分與定積分不定積分是微積分學(xué)中的一個(gè)重要概念，它是一組函數(shù)的總和，這些函數(shù)具有相同的導(dǎo)數(shù)。不定積分的定義不定積分具有一些重要性質(zhì)，例如，常數(shù)倍的積分值相同，加減函數(shù)的積分值也相同。不定積分的性質(zhì)不定積分的定義與性質(zhì)換元法通過(guò)引入新的變量來(lái)簡(jiǎn)化積分計(jì)算的方法。常見(jiàn)函數(shù)的積分表列出了一些常見(jiàn)函數(shù)的積分表達(dá)式，方便直接使用。分部積分法通過(guò)將函數(shù)分解為兩個(gè)部分來(lái)簡(jiǎn)化積分計(jì)算的方法。不定積分的計(jì)算定積分的定義定積分是另一種類(lèi)型的積分，它表示一個(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的總值。定積分的性質(zhì)定積分具有一些重要性質(zhì)，例如，常數(shù)倍的積分值相同，加減函數(shù)的積分值也相同。此外，定積分的值只取決于被積函數(shù)的類(lèi)型和積分的區(qū)間，而與積分的具體表達(dá)式無(wú)關(guān)。定積分的定義與性質(zhì)06常微分方程與級(jí)數(shù)常微分方程是描述一個(gè)變量隨時(shí)間變化的方程，其中包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。常微分方程定義線性方程、非線性方程、時(shí)變方程、常系數(shù)方程等。常見(jiàn)類(lèi)型分離變量法、降階法、代入法、積分變換法等。解法常微分方程及其解法123級(jí)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加，每一項(xiàng)都有一個(gè)系數(shù)，系數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零。級(jí)數(shù)定義幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)等。常見(jiàn)類(lèi)型收斂性、發(fā)散性、絕對(duì)收斂、條件收斂等。級(jí)數(shù)性質(zhì)級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)01柯西準(zhǔn)則、比值法、根值法等。判斷收斂性02裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、倒序相