第02講平面向量的運算（4個知識點方法練創(chuàng)新練成果練）

第02講平面向量的運算（4個知識點+方法練+創(chuàng)新練+成果練）【目錄】【新知講解】知識點1.向量的加法運算知識點2.向量的減法運算知識點3.向量的數(shù)乘運算知識點4.向量的數(shù)量積【方法練】【創(chuàng)新練】【成果練】【知識導(dǎo)圖】【新知講解】知識點1.向量的加法運算1．向量加法的定義定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任意向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up14(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝Aeq\o(B,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→)).平行四邊形法則已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，以eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))為鄰邊作?ABCD，則對角線上的向量eq\o(AC,\s\up14(→))＝a＋b.3．向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．例1．（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則分析求解.【詳解】因為為平行四邊形，所以.故選：B.例2．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量、，用向量加法的三角形法則作出向量．(1)

(2)

(3)

【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）（2）（3）利用平面向量加法的三角形法則可作出向量.【詳解】（1）解：作，，，則即為所求作的向量.（2）解：作，，，則即為所求作的向量.（3）解：作，，，則即為所求作的向量.知識點2.向量的減法運算1．相反向量(1)定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．(2)性質(zhì)：①－(－a)＝a.②對于相反向量有：a＋(－a)＝0.③若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0.2．向量的減法(1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則向量eq\o(BA,\s\up14(→))＝a－b，如圖所示．求作兩個向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量減法的三角形法則：即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．例3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在中，向量是哪兩個向量的和，哪兩個向量的差？【答案】答案見解析【分析】根據(jù)平面向量的加法的三角形法則和減法的三角形法則即可得解.【詳解】，，，，，，，，，，，.知識點3.向量的數(shù)乘運算1．向量的數(shù)乘運算(1)定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．(2)運算律：設(shè)λ，μ為任意實數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)線性運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.2．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.注意：1．實數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運算，但不能進(jìn)行加減運算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．2．λa幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來的|λ|倍，向量eq\f(a,|a|)表示與向量a同向的單位向量．3．判斷兩個向量是否共線，關(guān)鍵是能否找到一個實數(shù)λ，使b＝λa.若λ存在，則共線；λ不存在，則不共線．4．共線向量定理的應(yīng)用①證明向量共線：對于向量a與b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線(平行)．②證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(AC,\s\up14(→))，則A、B、C三點共線．③求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．特別注意：①證明三點共線問題，應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．②若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.5．注意記住以下結(jié)論并能運用(1)若A，B，P三點共線，則eq\o(OP,\s\up14(→))＝xeq\o(OA,\s\up14(→))＋yeq\o(OB,\s\up14(→))且x＋y＝1.(2)在△ABC中，若D為BC的中點，則eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))．(3)在△ABC中，若G為△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.例4．（2021下·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，且A，C，D三點共線，則（

）A． B．2 C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)已知求出.根據(jù)已知可得共線，進(jìn)而得出，代入向量整理得出方程組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，.因為A，C，D三點共線，所以共線，則，使得，即，整理可得.因為，不共線，所以有，解得.故選：D.知識點4.向量的數(shù)量積1．兩向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．(2)特例：①當(dāng)θ＝0時，向量a，b同向．②當(dāng)θ＝π時，向量a，b反向．③當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時，向量a，b垂直，記作a⊥b.2．平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.3．投影向量設(shè)a，b是兩個非零向量，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CD,\s\up14(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up14(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up14(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up14(→))，這種變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up14(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．4．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.5．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.注意：1．兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向量，其值可以為正(當(dāng)a≠0，b≠0,0≤θ＜eq\f(π,2)時)，也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0，b≠0，eq\f(π,2)＜θ≤π時)，還可以為0(當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝eq\f(π,2)時)．2．兩非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模時要靈活運用公式|a|＝eq\r(,a2).3．要注意區(qū)分向量數(shù)量積與實數(shù)運算的區(qū)別(1)在實數(shù)運算中，若ab＝0，則a與b中至少有一個為0.而在向量數(shù)量積的運算中，不能從a·b＝0推出a＝0或b＝0.實際上由a·b＝0可推出以下四種結(jié)論：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在實數(shù)運算中，若a，b∈R，則|ab|＝|a|·|b|，但對于向量a，b，卻有|a·b|≤|a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立．這是因為|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1.(3)實數(shù)運算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數(shù)量積的運算中，若a·b＝a·c(a≠0)，則向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)實數(shù)運算滿足乘法結(jié)合律，但向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線.例5．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一校考階段練習(xí)）在邊長為2的等邊中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】∵，向量與的夾角為120°，∴.故選：D【方法練】一、單選題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)都是單位向量，且，則向量的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等式將移到另一端,兩邊同時平方,由都是單位向量可求出的夾角.【詳解】由，可知，故，所以.設(shè)的夾角為，即，又，所以.故選：C.2．若=，=，與不共線，則∠AOB平分線上的向量為（）

A． B． C． D．，由確定【答案】D【分析】利用向量加法平行四邊形法則以及菱形性質(zhì)即可表示向量.【詳解】解：因為菱形對角線平分對角，所以與∠AOB平分線所在向量共線，所以，由確定，故選：D.二、多選題3．（2023下·甘肅·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列四個等式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由向量的運算律、加法法則及相反向量等判斷各項正誤即可.【詳解】由向量的加法交換律及相反向量知：、，即A、B正確，由，C正確，向量的線性運算(加減、數(shù)乘運算)，結(jié)果應(yīng)為向量，D錯誤．故選：ABC4．（2021下·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）是邊長為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用向量的線性運算并結(jié)合的三邊分別計算即可.【詳解】由已知可得，所以，即，A不正確；由已知得，所以，所以，B、C不正確；，故D正確．故選：ABC．三、填空題5．（2021下·江蘇·高一校聯(lián)考期中）在中，，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用數(shù)量積得到，設(shè)，消去，根據(jù)關(guān)于λ的方程有根，只需，求出t的范圍即可.【詳解】∵，∴.∵，∴，∴，即∴設(shè)，則，代入得：，整理得：，要使關(guān)于λ的方程有根，只需，解得：.所以的取值范圍為.故答案為：【點睛】進(jìn)行向量運算:(1)構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；(2)樹立“基底”意識，利用基向量進(jìn)行運算.6．（2021下·江蘇南京·高一校聯(lián)考期末）在中，若，則=．【答案】【分析】令，然后對兩邊平方化簡可得答案【詳解】解：令（），則由得，,得，因為，所以，故答案為：四、解答題7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）化簡下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)向量的加法減法運算求解即可.【詳解】（1）.（2）8．（2023下·山東濟(jì)南·高一濟(jì)南外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）化簡：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)向量的加減、數(shù)乘運算化簡即可.【詳解】（1）.（2）.【創(chuàng)新練】一、單選題1．（2023下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成.巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的運算以及正六邊形的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】A選項，，A選項錯誤.B選項，設(shè)，則是的中點，則，B選項錯誤.C選項，與的夾角為銳角，與的夾角為鈍角，所以，C選項錯誤.D選項，設(shè)正六邊形的中心為，則，所以，D選項正確.故選：D2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，點T為CD的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量加法的幾何意義計算即可.【詳解】如圖所示，，，即A正確.故選：A二、多選題3．（2023下·湖南益陽·高一安化縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法不正確的有（

）A．若，，則 B．若，則與的方向相同或相反C．若，則 D．若，，則【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的有關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】若，，則，故A正確；對于B，當(dāng)有一個為零向量時不成立，故B錯誤；對于C，當(dāng)與垂直時，可得，但推不出，故C錯誤；對于D，當(dāng)時不成立，故D錯誤，故選：BCD.4．（2022·高一課時練習(xí)）已知實數(shù)m、n和向量，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的線性運算的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，若，則，所以，或，C錯；對于D選項，若，則，所以，，即，D對．故選：ABD.三、填空題5．（2023下·浙江紹興·高二紹興一中?？紝W(xué)業(yè)考試）已知向量，為單位向量，且夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】由條件求出，設(shè)向量與向量的夾角為，將，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的范圍解不等式即可得的取值范圍.【詳解】由得，即，又，則，設(shè)向量與向量的夾角為，則，因為，由已知等式可知，所以，所以，因為，所以，解得.故答案為：6．若，，，則．【答案】【分析】由向量垂直可得，根據(jù)模長公式即可求解.【詳解】由知:知，，所以.故答案為：四、解答題7．（2022·高二課時練習(xí)）如圖，已知四面體ABCD，點E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，化簡下列表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡后的結(jié)果所對應(yīng)的向量．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)向量的加減法法則，直接可求得（1）（2）（3）的答案;【詳解】（1）;（2）;（3）.8．（1）化簡；（2）把滿足，的向量、用、表示出來.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）去括號，合并同類項即可得出結(jié)果；（2）建立方程組，解出和即可.【詳解】（1）原式；（2）由已知得，①②得，①②得，因此，，.【點睛】本題考查向量加減法的運算律，同時也考查了方程思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.【成果練】一、單選題1．（2020上·河南鄭州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量的線性運算以及向量數(shù)量積即可求解.【詳解】∵在梯形中，，，，，，∴．∴則．故選：C．2．（2020下·高一課時練習(xí)）已知向量滿足,向量是與同向的單位向量,則向量在向量上的投影向量為A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)投影的公式以及單位向量的概念求解即可.【詳解】.故在上的投影為.又因為是與同向的單位向量.故在上的投影向量為.故選：A【點睛】本題主要考查了投影的公式以及單位向量的理解等.屬于基礎(chǔ)題型.二、多選題3．（2021上·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．若分別表示的面積，則B．兩個非零向量，若則C．若向量，則線段D．兩個非零向量若，則與共線且反向【答案】AD【分析】A.利用三角形的重心的性質(zhì)判斷；B.舉例判斷；C.舉例判斷；D.由向量模的性質(zhì)判斷.【詳解】A.設(shè)，則，設(shè)，則，即，所以，所以，故正確；B.，則但，故錯誤；C.設(shè)，滿足，但線段，故錯誤；D.因為，所以，化簡得，設(shè)的夾角為，所以，則，所以與共線且反向，故正確；故選：AD4．（2021下·湖南·高一校聯(lián)考期中）定義一種向量運算“⊕”：（為任意向量）．則（）A．B．C．D．當(dāng)是單位向量時，【答案】AD【分析】對于A，由新定義分共線、，為鈍角三種情況討論即可；對于B，C舉反例即可；對于D，由新定義分與不共線和與共線兩種情況討論即可【詳解】當(dāng)共線時，；當(dāng)時，；當(dāng)為鈍角時，，故A正確．當(dāng)均為非零向量且共線時，，故B錯誤．當(dāng)均為非零向量，與均不共線，且時，，，，，故C錯誤．若是單位向量，當(dāng)與不共線時，則；當(dāng)與共線時，則，故D正確．故選：AD三、填空題5．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）若，向量在方向上的數(shù)量投影為－1，則向量與的夾角.【答案】/120°【分析】根據(jù)平面向量投影的定義可得的值，即可得向量與的夾角大小.【詳解】因為向量在方向上的數(shù)量投影為，又，所以，又，所以.故答案為：.6．已知向量的夾角為，則．【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的定義計算作答.【詳解】因向量的夾角為，所以.故答案為：27．（2021·高一課時練習(xí)）若點P在線段AB上（不包括A、B兩點），且，則的取值范圍為；若點P在AB的延長線上，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用向量數(shù)乘概念即得.【詳解】∵點P在線段AB上（不包括A、B兩點），且，∴向量與方向相同，∴，∵點P在AB的延長線上，且，∴向量與方向相反，且，∴.故答案為：.8．（2021·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學(xué)?？家荒＃┮阎獑挝幌蛄康膴A角為，則在上的投影為，．【答案】1【分析】已知模與夾角直接運算求投影及數(shù)量積，求模先求模方.【詳解】單位向量的夾角為，在上的投影為，，．故答案為：；1．【點睛】求向量模的方法：（1）公式法：利用及，把向量模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算；（2）幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等解三角形方法求解.四、解答題9．（2021·高一課時練習(xí)）如圖，已知向量，，請化簡并求作出向量：(32)﹣2().【答案】，作圖答案見解析.【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運算去括號，再由加減運算化簡即可．【詳解】(3)﹣2()=3.作出向量(3)﹣2()如下圖：10．（2020上·高一課時練習(xí)）化簡．（1）．（2