2024年高考第一次模擬考試數學（新高考Ⅰ卷02）（考試版A3）

2024年高考數學第一次模擬考試高三數學（新高考I卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內容5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知復數滿足，則（

）A． B． C．2 D．12．已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．某戲曲學院圖書館藏有四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學院的部分學生對《牡丹亭》這部戲曲產生了濃厚的興趣，該戲曲學院圖書館決定購買一批《牡丹亭》戲曲書籍（其他三部數量保持不變）若干本．若要保證購買后在該戲曲學院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率不小于0.6，則該戲曲學院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書籍（

）A．25本 B．30本 C．35本 D．40本4．某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設備，使產生的廢氣經過該設備過濾后排放，以減少對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數量（單位：）與過濾時間（單位：）的關系為（，是正常數）.若經過過濾后減少了的污染物，在此之后為了使得污染物減少到原來的還需要的時長大約為（參考數據：）（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，，P為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）A． B．3 C． D．6．法國數學家傅里葉用三角函數詮釋美妙音樂，代表任何周期性聲音和震動的函數表達式都是形如的簡單正弦型函數之和，這些正弦型函數各項的頻率是最低頻率的正整數倍（頻率是指單位時間內完成周期性變化的次數，是描述周期運動頻繁程度的量），其中頻率最低的一項所代表的聲音稱為第一泛音，第二泛音的頻率是第一泛音的2倍，第三泛音的頻率是第一泛音的3倍…….例如，某小提琴演奏時發(fā)出聲音對應的震動模型可以用如下函數表達：，（其中自變量表示時間），每一項從左至右依次稱為第一泛音?第二泛音?第三泛音.若一個復合音的數學模型是函數（從左至右依次為第一泛音?第二泛音），給出下列結論：①的一個周期為；②的圖象關于直線對稱；③的極小值為；④在區(qū)間上有2個零點.其中正確結論的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．已知正三棱柱的底面邊長為，高為3，截去該三棱柱的三個角（如圖1所示，D，E，F分別是三邊的中點），得到幾何體如圖2所示，則所得幾何體外接球的表面積是（

）A． B． C． D．8．設，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，則下列說法正確的是（

）A．四面體的體積為B．向量在方向上的投影向量為C．直線與直線垂直D．直線與平面所成角的正弦值為10．已知函數，其中e是自然對數的底數，則下列說法中正確的有（

）A．為周期函數B．的圖像關于點對稱C．在區(qū)間上是減函數D．關于x的方程有實數解11．已知為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交拋物線于兩點，則下列結論正確的是（

）A．拋物線的準線方程為 B．直線與拋物線相切C．為定值 D．12．定義在上的函數的導函數為，對于任意實數，都有，且滿足，則（

）A．函數為奇函數B．不等式的解集為C．若方程有兩個根，，則D．在處的切線方程為第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中的系數為，則．14．已知，點在圓上，且，則的取值范圍為．15．已知曲線與曲線（）相交，且在交點處有相同的切線，則.16．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，連接并延長，交拋物線于點，若中點的縱坐標為，則當最大時，．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）已知數列滿足：，數列為等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)求和：．18．（12分）已知中，內角所對的邊分別為，且滿足.(1)若，求；(2)求的取值范圍.19．（12分）如圖，是四棱柱，側棱底面，底面是梯形，，．(1)求證：平面平面；(2)E是底面所在平面上一個動點，是否存在點E使得與平面夾角的正弦值為？若存在，求點E到平面距離的最小值；若不存在，請說明理由．20．（12分）已知函數．(1)試判斷函數的單調性；(2)若在上恒成立，求實數的取值范圍．21．（12分）某中學在運動會期間，隨機抽取了200名學生參加繩子打結計時的趣味性比賽，并對學生性別與繩子打結速度快慢的相關性進行分析，得到數據如下表：性別速度合計快慢男生65女生55合計110200(1)根據以上數據，能否有99%的把握認為學生性別與繩子打結速度快慢有關？(2)現有n根繩子，共有2n個繩頭，每個繩頭只打一次結，且每個結僅含兩個繩頭，所有繩頭打結完畢視為結束.（i）當，記隨機變量X為繩子圍成的圈的個數，求X的分布列與數學期望；（ii）求證：這n根繩子恰好能圍成一個圈的概率為附：0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63522．（12分）已知點是圓：上一動點（為圓心），點的坐標為，線段的垂直平分線交線段于點，動點的