《常微分方程》理論教學(xué)大綱

PAGEPAGE7《常微分方程》教學(xué)大綱課程名稱常微分方程課程代碼04031216課程性質(zhì)及類別性質(zhì)：□通識(shí)教育課程□學(xué)科專業(yè)基礎(chǔ)課程?職業(yè)發(fā)展課程□教師教育課程類別：?必修□選修課程學(xué)分與學(xué)時(shí)3學(xué)分/48學(xué)時(shí)（課堂講授48學(xué)時(shí)，實(shí)驗(yàn)實(shí)踐0學(xué)時(shí)，自主學(xué)習(xí)0學(xué)時(shí)）先修課程數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)適用專業(yè)金融數(shù)學(xué)開設(shè)學(xué)期第4學(xué)期課程教學(xué)目標(biāo)于任務(wù)《常微分方程概論》是金融數(shù)學(xué)專業(yè)必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，是數(shù)學(xué)分析和線性代數(shù)的后繼課程。在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過程的量與量之間的關(guān)系中，存在大量滿足常微分方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，需要我們通過求解常微分方程來了解未知函數(shù)的性質(zhì)，所以常微分方程是解決實(shí)際問題的重要工具。通過學(xué)習(xí)《常微分方程》，學(xué)生學(xué)習(xí)確定數(shù)學(xué)模型的思想方法，把數(shù)學(xué)理論和方法運(yùn)用到解決實(shí)際問題中去，從而獲得建立簡單常微分方程模型與求解微分方程的知識(shí)。該課程在培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)方面、在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)抽象思維能力方面，及在培養(yǎng)有志于在教育科研部門從事教學(xué)科研工作的應(yīng)用型金融本科人才等方面起著重要作用。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生具備下列能力：1.了解《常微分方程》課程知識(shí)體系、微分方程的發(fā)展歷史和前沿動(dòng)態(tài)；理解微分方程中金融相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)建立和解決確定性數(shù)學(xué)模型的思想方法，把數(shù)學(xué)理論和方法運(yùn)用到解決實(shí)際問題中去；掌握各類常微分方程（組）的基本理論和解法，熟悉理解微分方程的存在唯一性定理。【畢業(yè)要求1】2.使學(xué)生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和簡單的數(shù)學(xué)建模能力。具備有效的學(xué)習(xí)方法與策略，具有一定的發(fā)現(xiàn)、辨析、質(zhì)疑、創(chuàng)新能力，適應(yīng)金融理論和實(shí)踐快速發(fā)展的客觀情況，與時(shí)俱進(jìn)?！井厴I(yè)要求2】3.理解《常微分方程》課程的核心內(nèi)涵，深入體會(huì)其人文素養(yǎng)，了解學(xué)校文化和教育活動(dòng)的育人內(nèi)涵和方法；從而使學(xué)生具備良好的政治素養(yǎng)，熱愛祖國，有理想、有道德，愿為我國社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)服務(wù)；具有良好的專業(yè)素養(yǎng)和科學(xué)文化素養(yǎng)；具有謙虛、好學(xué)、誠實(shí)守信、忍耐、寬容等優(yōu)良品質(zhì)；具有較強(qiáng)的敬業(yè)精神和團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)；具有良好的人際關(guān)系溝通能力；具有高尚的職業(yè)操守、職業(yè)道德和敬業(yè)精神?！井厴I(yè)要求3】二、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配第一章緒論(2學(xué)時(shí))一、本章重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：常微分方程階數(shù)的定義、線性和非線性的定義、簡單的數(shù)學(xué)模型的建立2．教學(xué)難點(diǎn):線性和非線性的定義、簡單的數(shù)學(xué)模型的建立二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.常微分方程模型（1學(xué)時(shí)）人口模型；傳染病模型；另外可補(bǔ)充：經(jīng)濟(jì)管理中的經(jīng)濟(jì)增長模型和供求關(guān)系的價(jià)格均衡模型，綜合國力與經(jīng)濟(jì)調(diào)整模型等。2．基本概念和常微分方程的發(fā)展歷史（1學(xué)時(shí)）常微分方程基本概念：常微分方程和偏微分方程，線性和非線性，解和隱式解，通解和特解，積分曲線和方向場。常微分方程發(fā)展歷史*第二章一階微分方程的初等解法（16學(xué)時(shí)）第一節(jié)變量分離方程與變量變換（4學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：變量分離方程、齊次方程、分式線性方程的解法2．教學(xué)難點(diǎn)：利用變量代換求解可化為變量分離方程的各類方程，通解的完善性。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.變量分離方程（1學(xué)時(shí)）；2.可化為變量分離方程的類型（齊次方程、分式線性方程）（3學(xué)時(shí)）。第二節(jié)線性微分方程與常數(shù)變易法（2學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：線性微分方程的概念和解法；伯努利微分方程的概念和解法。2．教學(xué)難點(diǎn)：常數(shù)變易法、伯努利微分方程通解的完善性。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.線性微分方程（1學(xué)時(shí)）2.伯努利微分方程（1學(xué)時(shí)）第三節(jié)恰當(dāng)微分方程與積分因子（6學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：恰當(dāng)微分方程的判定與求解；積分因子。2．教學(xué)難點(diǎn)：積分因子的求法，通解的完善性。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.恰當(dāng)微分方程（3學(xué)時(shí)）2.積分因子（3學(xué)時(shí)）第四節(jié)一階隱式微分方程與參數(shù)表示（4學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：四種類型的一階隱式微分方程的解法2．教學(xué)難點(diǎn)：四種類型解法的分辨、第四種隱式微分方程通解的完善性。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.可以解出y(或x)的方程（2學(xué)時(shí)）2.不顯含y(或x)的方程（2學(xué)時(shí)）第三章一階微分方程的解的存在定理（4學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：解的存在唯一性定理、微分方程解的近似計(jì)算和誤差估計(jì)2．教學(xué)難點(diǎn)：存在唯一性定理的證明、解的延拓。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.解的存在唯一性定理與逐步逼近法（4學(xué)時(shí)）存在唯一性定理，近似計(jì)算和誤差估計(jì)2.解的延拓第四章高階微分方程（16學(xué)時(shí)）線性微分方程的一般理論（4課時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)、非齊次線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，常數(shù)變易法。2．教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)線性相關(guān)、線性無關(guān)相關(guān)定理的證明、常數(shù)變易法的推導(dǎo)。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.引言、2齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)（2學(xué)時(shí)）3.非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法（2學(xué)時(shí)）第二節(jié)常系數(shù)線性微分方程的解法（10學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的思想、常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程的解法、比較系數(shù)法求解非齊次線性微分方程。2．教學(xué)難點(diǎn)：歐拉方程的解法，比較系數(shù)法求解非齊次線性微分方程，拉普拉斯變換法。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解（2學(xué)時(shí)）2.常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程（4學(xué)時(shí)）3.非齊次線性微分方程比較系數(shù)法與拉普拉斯變換法（4學(xué)時(shí)）第三節(jié)高階性微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法（2學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：方程不顯含x的微分方程的降階、不顯含自變量t的方程的降階。2．教學(xué)難點(diǎn)：不顯含自變量t的方程的降階，齊次線性微分方程的降階。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.可降階的一些方程類型（2學(xué)時(shí)）2.二階線性微分方程的冪級(jí)數(shù)解法第五章線性微分方程組(10學(xué)時(shí))第一節(jié)存在唯一定理（2學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：線性微分方程組相關(guān)記號(hào)和定義，高階線性微分方程和線性微分方程組之間的轉(zhuǎn)化。2．教學(xué)難點(diǎn)：高階線性微分方程和線性微分方程組之間的轉(zhuǎn)化，存在唯一性定理。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.記號(hào)和定義（2學(xué)時(shí)）2.存在唯一性定理第二節(jié)線性微分方程組的一般理論（4學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：齊次線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，非齊次線性微分方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，常數(shù)變易法。2．教學(xué)難點(diǎn)：常數(shù)變易法。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.齊次線性微分方程組（2學(xué)時(shí)）2.非齊次線性微分方程組（2學(xué)時(shí)）第三節(jié)常系數(shù)線性微分方程組（4學(xué)時(shí)）一、本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：矩陣指數(shù)的定義、基解矩陣的計(jì)算公式。2．教學(xué)難點(diǎn)：基解矩陣的計(jì)算。二、主要內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配1.矩陣指數(shù)expA的定義和性質(zhì)（2學(xué)時(shí)）2.基解矩陣的計(jì)算公式（2學(xué)時(shí)）三、教學(xué)方法與手段1.科學(xué)設(shè)置課程教學(xué)模式將微分方程看成一門只講基礎(chǔ)知識(shí)和方程解法的純理論性課程，教學(xué)效果就比較差。應(yīng)結(jié)合新的教學(xué)實(shí)際，結(jié)合金融數(shù)學(xué)的其他課程，適當(dāng)講解相關(guān)模型，如經(jīng)濟(jì)管理中的經(jīng)濟(jì)增長模型和供求關(guān)系的價(jià)格均衡模型，綜合國力與經(jīng)濟(jì)調(diào)整模型。2．合理整合教學(xué)內(nèi)容課本中只有教學(xué)的基本內(nèi)容，教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況特別是按照課程教學(xué)模式的要求，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理安排。首先，對(duì)教材的基本內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)處理，例如，第四章高階微分方程和第五章微分方程組的基礎(chǔ)理論部分是及其相似的，可以把高階微分方程看作微分方程組的特殊。這樣，第五章的許多公式和定理就不必再作詳細(xì)證明了。再次，要結(jié)合教學(xué)模式的設(shè)計(jì)，合理安排教學(xué)模塊。一是理論模塊。有些理論是分散在各章的，應(yīng)注意及時(shí)整理總結(jié)，例如，存在唯一性定理。二是解方程模塊，這是理論模塊的落腳點(diǎn)之一，其內(nèi)容分散在各章中，類型多，內(nèi)容雜，要及時(shí)歸類，并加強(qiáng)訓(xùn)練。以第二章“一階微分方程的初等解法”為例，教師可抓住變量分離方程和恰當(dāng)方程這兩個(gè)中心，浸透化歸思想，即其它幾種類型的方程都可歸結(jié)為這兩種類型的方程。3．采用多樣化教學(xué)手段與教學(xué)方式對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，可以采用“PPT”與“黑板+粉筆”相結(jié)合的教學(xué)手段，且“黑板與粉筆”應(yīng)依然占有較大的使用比例，因?yàn)閿?shù)學(xué)需要一步步推演，而思維有一種“時(shí)滯”現(xiàn)象，這種推演的過程正是學(xué)生思考理解的過程．因此，在教學(xué)中“黑板+粉筆”仍舊是無法替代的，這種教學(xué)方式靈活性強(qiáng)，可隨時(shí)根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行調(diào)整，并能增加師生的交互性，其推導(dǎo)的過程能夠吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生思考?，F(xiàn)有的考核方式并不能反映學(xué)生掌握知識(shí)的真實(shí)情況，由清華大學(xué)和學(xué)堂在線推出的雨課堂能很好地解決這一問題．例如，教師可以布置課前學(xué)習(xí)任務(wù)，及時(shí)地了解學(xué)生預(yù)習(xí)情況，課程進(jìn)行過程中學(xué)生可以發(fā)彈幕提問，隨機(jī)點(diǎn)名可以節(jié)約以前點(diǎn)名占用的時(shí)間，這些使用功能可以讓教師快速有效地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。四、課程考核方式1.作業(yè)成績圍繞課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行作業(yè)的設(shè)計(jì)，每位同學(xué)至少提交3次作業(yè)（每次作業(yè)分設(shè)置100分），并以3次作業(yè)的平均分作為作業(yè)成績（最高100分）。2.課堂表現(xiàn)在課堂發(fā)言、提問等情況，最高100分。3.考勤每曠課一次扣20分，每遲到或者早退一次扣5分，全勤計(jì)100分，全勤計(jì)100分。4.期末考核方式理論閉卷筆試，成績最高100分。5.課程成績課程成績=期末成績70%+作業(yè)成績20%+課堂表現(xiàn)成績5%+考勤5%。五、其他（一