2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷

2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷

試題數(shù)：21,總分：150

1.（填空題，4分）已知z=2+i（其中i為虛數(shù)單位），則5=

2.（填空題，4分）已知集合八=（-1,2）,集合B=（1,3）,則AnB=_.

3.（填空題，4分）不等式濘<0的解集為

4.（填空題，4分）若tana=3,貝!!tan（a+4-）=_.

5.（填空題，4分）設(shè)函數(shù)f（x）=x3的反函數(shù)為fi（x）,貝HF1（27）=_.

6.（填空題，4分）在（x3+［）12的展開式中，則含f項(xiàng)的系數(shù)為

7.（填空題，5分）若關(guān)于x,y的方程組2有無窮多解，則實(shí)數(shù)m的值為_.

8.（填空題，5分）已知在^ABC中，zA=pAB=2,AC=3,則AABC的外接圓半徑為_.

9.（填空題，5分）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134

大的數(shù)字個(gè)數(shù)為用數(shù)字作答）

10.（填空題，5分）在AABC中，ZA=9O°,AB=AC=2,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC

上，則而?麗的最小值為

2

11.（填空題，5分）已知Pi（xi,yD,P23,y2）兩點(diǎn)均在雙曲線一^-y=l（a>0）

的右支上，若xiX2>yiy2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

12.（填空題，5分）已知函數(shù)y=f（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對稱，且當(dāng)

xG（0,1］時(shí)，f（x）=lnx,若將方程f（x）=x+l的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為xi,X2,

X3,....Xn，則（Xn1-Xn）=—.

7118+

13.（單選題，5分）下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）

_1

A.y=%-2

B.y=xi

1

C.y=%3

1

D.y=%2

14.（單選題，5分）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+c

B.a+c>b+d

C.ac>bd

D.ad>bc

15.（單選題，5分）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四

棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂

直的次數(shù)為（）

A.0

B.2

C.4

D.12

16.（單選題，5分）已知等比數(shù)列｛a。｝的前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為「，則下列選項(xiàng)判斷正

確的是（）

A.若S2022>S2021，則數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列

B.若T2022>T2021，則數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列｛Sn｝是遞增數(shù)列，則32022>32021

D.若數(shù)列｛Tn｝是遞增數(shù)列，貝Ua2022>a202i

17.（問答題，14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為0、01，AA1為圓柱的母線，

底面半徑長為1.

（1）若AA1=4,M為AA1的中點(diǎn)，求直線M01與上底面所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函

數(shù)值表示）

（2）若圓柱過001的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積.

18.（問答題，14分）已知在數(shù)列｛aj中，az=l,其前n項(xiàng)和為Sn.

（1）若｛aj是等比數(shù)列，S2=3,求Sn：

71T8

（2）若｛aj是等差數(shù)列，S2n>n,求其公差d的取值范圍.

19.（問答題，14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪

架空線入地工程的建設(shè).如圖是一處要架空線入地的矩形地塊ABCD,AB=30m,

AD=15m.為保護(hù)D處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以D為圓心、DA為半徑的四分之一圓的

地塊為歷史古跡封閉區(qū).若空線入線口為AB邊上的點(diǎn)E,出線口為CD邊上的點(diǎn)F,施工要

求EF與封閉區(qū)邊界相切，EF右側(cè)的四邊形地塊BCFE將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū).（計(jì)算長度精

確到0.1m,計(jì)算面積精確到0.01m2）

（1）若NADE=20。，求EF的長；

（2）當(dāng)入線口E在AB上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

丫2

20.（問答題，16分）已知橢圓r：a+W=l（a>l）,A、B兩點(diǎn)分別為r的左頂點(diǎn)、下頂

點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)均在直線1：x=a上，且C在第一象限.

（1）設(shè)F是橢圓廠的右焦點(diǎn)，且NAFB=g求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1,請判斷直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否在橢圓「上，

并說明理由；

（3）設(shè)直線AD、BC分別交橢圓「于點(diǎn)P、點(diǎn)Q,若P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，求|CD|的最小值.

21.(問答題，18分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,現(xiàn)有兩種對f(x)變換的操作：(p變換:

f(x)-f(x-t);3變換：|f(x+t)-f(x)I，其中t為大于0的常數(shù).

(1)設(shè)f(x)=2x,t=l,g(x)為f(x)做(P變換后的結(jié)果，解方程：g(x)=2；

(2)設(shè)f(x)=x2,h(x)為f(x)做3變換后的結(jié)果，解不等式：f(x)>h(x)；

(3)設(shè)f(x)在(-co,0)上單調(diào)遞增，f(x)先做<p變換后得到u(x),u(x)再做3變

換后得到hl(x)；f(X)先做3變換后得到V(X),V(X)再做(P變換后得到h2(X).若

hl(x)=h2(x)恒成立，證明：函數(shù)f(X)在R上單調(diào)遞增.

2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

試題數(shù)：21,總分：150

1.(填空題，4分)已知z=2+i(其中i為虛數(shù)單位)，則5=_.

【正確答案】：

【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

【解答】：解：?；z=2+i,

：.z=2-i.

故答案為：2-i.

【點(diǎn)評】：本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.(填空題，4分)已知集合人=(-1,2),集合B=(1,3),則AClB=_.

【正確答案】：[1](1,2)

【解析】：利用交集定義直接求解.

【解答】：解：???集合人=(-1,2),集合B=(1,3),

?,.AnB=(1,2).

故答案為：(1,2).

【點(diǎn)評】：本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.(填空題，4分)不等式曰<0的解集為

X

【正確答案】：[1](0,1)

【解析】：把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解.

【解答】：解：由題意得X(x-1)<0,

解得0<xVl,

故不等式的解集(0,1).

故答案為：(0,1).

【點(diǎn)評】：本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.(填空題，4分)若tana=3,則tan(a+-)=—.

4

【正確答案】：[1]-2

【解析】：由兩角和的正切公式直接求解即可.

【解答】：解：若tana=3,

,.n

tana+tan-3+1c

則tan(a+-)_______________4----------=-Z.

41-tanatavP-1-3X1

4

故答案為：-2.

【點(diǎn)評】：本題主要考查兩角和的正切公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.(填空題，4分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3的反函數(shù)為Fi(x),則Fi(27)=_.

【正確答案】：[1]3

【解析】：直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值.

【解答】：解：函數(shù)f(x)=x3的反函數(shù)為fi(x),

整理得/T(X)=W；

所以fi(27)=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】：本題考查的知識要點(diǎn)：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維

能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.(填空題，4分)在(X3+9)12的展開式中，則含1項(xiàng)的系數(shù)為

XX4

【正確答案】：[1]66

【解析】：求出展開式的通項(xiàng)公式，令x的次數(shù)為-4,求出k的值即可.

【解答】：解：展開式的通項(xiàng)公式為Tk+i=Cg(x3)12-k(1)k=c右x36-4k,由36-4k=-4,得

4k=40,

得k=10,

即Tn=C卷x-4=W即含2項(xiàng)的系數(shù)為66,

故答案為：66.

【點(diǎn)評】：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出通項(xiàng)公式，利用x的次數(shù)建立方

程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

7.（填空題，5分）若關(guān)于x,y的方程組有無窮多解，則實(shí)數(shù)m的值為_.

\J1TX十Jioy-O

【正確答案】：[1]4

【解析】：根據(jù)題意，分析可得直線x+my=2和mx+16y=8平行，由此求出m的值，即可

得答案.

【解答】：解：根據(jù)題意，若關(guān)于x,y的方程組2有無窮多解，

J（mx+16y=8

則直線x+my=2和mx+16y=8重合，則有l(wèi)xl6=mxm,即m2=16,解可得m=±4,

當(dāng)m=4時(shí)，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，

當(dāng)m=-4時(shí)，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，

故m=4.

故答案為：4

【點(diǎn)評】：本題考查直線與方程的關(guān)系，注意轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.（填空題，5分）己知在AABC中，ZA=|,AB=2,AC=3,則4ABC的外接圓半徑為_.

【正確答案】“呼

【解析】：直接利用正弦定理余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】：解：在AABC中，zA=pAB=2,AC=3,

利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB?AC?cosA,整理得BC=V7,

所以巴=2R,解得R=字.

sinA3

故答案為：軍.

【點(diǎn)評】：本題考查的知識要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維

能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.（填空題，5分）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134

大的數(shù)字個(gè)數(shù)為_.（用數(shù)字作答）

【正確答案】：[1]17

【解析】：根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案.

【解答】：解：根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時(shí)，有2A3』12種情況，即有12個(gè)符合題意的四位數(shù)，

當(dāng)其千位數(shù)字為2時(shí)，有6種情況，其中最小的為2134,則有6-1=5個(gè)比2134大的四位數(shù),

故有12+5=17個(gè)比2134大的四位數(shù)，

故答案為：17.

【點(diǎn)評】：本題考查排列組合的應(yīng)用，注意分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.(填空題，5分)在^ABC中，z.A=90°,AB=AC=2,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC

上，則麗?麗的最小值為

【正確答案】：[I]-?

【解析】：建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出而?麗=2x2-3x,再利用二次

函數(shù)求最值即可.

【解答】：解：建立平面直角坐標(biāo)系如下，

貝IB(2,0),C(0,2),M(1,0),

直線BC的方程為9+9=1,即x+y=2,

點(diǎn)P在直線上，設(shè)P(x,2-x),

MP=(x-1,2-x),CP=(x,-x),

MP?CP=x(x-1)-x(2-x)=2x2-3x=2(%-I)-,

???麗.加的最小值為

故答案為：-J.

o

【點(diǎn)評】：本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.

11.(填空題，5分)已知Pi(xi，力)，P2(X2,y2)兩點(diǎn)均在雙曲線r：叁曠=1(a>0)

的右支上，若xiX2>y】y2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為—.

【正確答案】：口］口，+8)

【解析】：取P2的對稱點(diǎn)P3(x2,-y2),結(jié)合x*2>yiy2，可得碉?西>0,然后可得漸

近線夾角NMONW90。，代入漸近線斜率計(jì)算即可求得.

【解答】：解：設(shè)P2的對稱點(diǎn)P3(x2,-y2)仍在雙曲線右支，由xiX2>yiy2,

得xiX2-yiy2>0，即OP；?OP；>0恒成立，

???ZP1OP3恒為銳角，即4MoNS90。，

??.其中一條漸近線y=；x的斜率|<1,

之1,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為［1,+8).

故答案為：［1,+8).

【點(diǎn)評】：本題考查了雙曲線的性質(zhì)，是中檔題.

12.(填空題，5分)已知函數(shù)y=f(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對稱，且當(dāng)

xG(0,1］時(shí)，f(x)=lnx,若將方程f(x)=x+l的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為xi，x2,

X3,X,則(Xn+1-Xn)=—.

nn->oo

【正確答案】：口］2

【解析】：f(X)是周期為4的周期函數(shù)，作出圖象，(Xn+1-Xn)的幾何意義是兩條漸近

71T8

線之間的距離，由此能求出結(jié)果.

【解答】：解：?.?函數(shù)y=f(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對稱，且當(dāng)xe(0,

1］時(shí)，f(x)=lnx,

??.f(x)是周期為4的周期函數(shù)，圖象如圖：

將方程f（x）=x+l的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為Xl,X2,X3,

則（Xn+「Xn）的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2,

71T8

**,（Xn+1-Xn）—2.

n->oo

故答案為：2.

【點(diǎn)評】：本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖象、極限的幾何意義等基礎(chǔ)知識,

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

13.（單選題，5分）下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）

A.y=x~2

B.y=X'1

i

C.y=%3

i

D.y=xi

【正確答案】：c

【解析】：化分?jǐn)?shù)指數(shù)幕為根式，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域得答案.

11

【解答】：解：y=,定義域?yàn)閧x|x>0},

y=x-1=,定義域?yàn)閧x|xHO},

y=x3=l/x,定義域?yàn)镽>

y=xi=\fx,定義域?yàn)閧x|x20}.

二定義域?yàn)镽的是y=戶.

故選：C.

【點(diǎn)評】：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題.

14.（單選題，5分）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（)

A.a+d>b+c

B.a+c>b+d

C.ac>bd

D.ad>bc

【正確答案】：B

【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

【解答】：解：對于A,令a=2,b=l,c=-l,d=-2,滿足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A

錯誤，

對于B,va>b>c>d,即a>b,c>d,

???由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故B正確，

對于C,令a=2,b=l,c=-l,d=-2,滿足a>b>c>d,但ac=bd,故C錯誤，

對于D,令a=2,b=l,c=-l,d=-2,滿足a>b>c>d,但ad<bc,故D錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】：本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

15.（單選題，5分）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四

棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂

直的次數(shù)為（）

A.0

B.2

C.4

D.12

【正確答案】：B

【解析】：3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直.

【解答】：解：3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直,

,.每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），

相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為2,

故選：B.

【點(diǎn)評】：本題考查兩條異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，

考查推理論證能力，是中檔題.

16.（單選題，5分）已知等比數(shù)列｛a。｝的前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為「，則下列選項(xiàng)判斷正

確的是（）

A.若S2022>S2021，則數(shù)列⑶｝是遞增數(shù)列

B.若T2022>T202V則數(shù)列⑶｝是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列｛Sn｝是遞增數(shù)列，則a2022>a2021

D.若數(shù)列｛Tn｝是遞增數(shù)列，則a2022>a2021

【正確答案】：D

【解析】：反例判斷A；反例判斷B；構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷C；推出數(shù)列

公比以及數(shù)列項(xiàng)的范圍，即可判斷D.

【解答】：解:如果數(shù)列由=-1,公比為-2,滿足S2022>S2021，但是數(shù)列｛而｝不是遞增數(shù)列，

所以A不正確；

如果數(shù)列a1=l,公比為彳，滿足T2022>T2021，但是數(shù)列｛an｝不是遞增數(shù)列，所以B不正確；

如果數(shù)列ai=l,公比為］Sn=—f^=2（1-玄）,數(shù)列國｝是遞增數(shù)列，但是a2022V2021，

2

所以C不正確；

數(shù)列｛Tn｝是遞增數(shù)列，可知Tn>Tmi，可得an>l,所以q?l,可得a20222a2021正確，所以D

正確；

故選：D.

【點(diǎn)評】：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

17.（問答題，14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為0、Oi，AAi為圓柱的母線，

底面半徑長為1.

（1）若AA】=4,M為AAi的中點(diǎn)，求直線MOi與上底面所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函

數(shù)值表示）

（2）若圓柱過OOi的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積.

o7A

【正確答案】：

【解析】：（1）轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解；（2）用圓柱體積和側(cè)面積公式求解.

【解答】：解：（1）因?yàn)锳Ai為圓柱的母線，所以AAi垂直于上底面，

所以NMOiAi是直線MOi與上底面所成角，tan/MOiAi=碧=：=2,

01A11

所以4M0iAi=arctan2.

（2）因?yàn)閳A柱過001的截面為正方形，所以AA1=2,

所以圓柱的體積為V=Trr2h=TT?l2?2=2TT,

圓柱的側(cè)面積為S=2Ttrh=2TT?l?2=4TT.

【點(diǎn)評】：本題考查了直線與平面成角問題，考查了圓柱的體積與側(cè)面積計(jì)算問題，屬于中檔

題.

18.（問答題，14分）已知在數(shù)列｛aj中，a2=l,其前n項(xiàng)和為S2

（1）若｛aj是等比數(shù)列，S=3,求Sn；

271T8

（2）若｛a,J是等差數(shù)列，S2n>n,求其公差d的取值范圍.

【正確答案】：

【解析】：（1）由已知求得等比數(shù)列的公比，再求出前n項(xiàng)和，求極限得答案;

（2）求出等差數(shù)列的前2n項(xiàng)和，代入S2n>n,對n分類分析得答案.

【解答】：解：（1）在等比數(shù)列｛aj中，a2=l,S2=3,則ai=2,

松比q=?則%=華聲=4（1一幼,

???Sn=lim4（1-：）=4；

n-*0071T8X乙/

（2）若｛aj是等差數(shù)列，

則S+a2;-i"2n—/）>,

s2n==2dn2+Q3cnn

即（3-2n）d<l,當(dāng)n=l時(shí)，d<l；

當(dāng)n22時(shí)，d2―--恒成立，r--—€[-1,0）,?1?d>0.

3-2n3-2nL

綜上所述，de[O,1].

【點(diǎn)評】：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項(xiàng)和，考查數(shù)列極限的求法，考查數(shù)列的函數(shù)

特性及應(yīng)用，是中檔題.

19.（問答題，14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪

架空線入地工程的建設(shè).如圖是一處要架空線入地的矩形地塊ABCD,AB=30m,

AD=15m.為保護(hù)D處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以D為圓心、DA為半徑的四分之一圓的

地塊為歷史古跡封閉區(qū).若空線入線口為AB邊上的點(diǎn)E,出線口為CD邊上的點(diǎn)F,施工要

求EF與封閉區(qū)邊界相切，EF右側(cè)的四邊形地塊BCFE將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū).（計(jì)算長度精

確到0.1m,計(jì)算面積精確到0.01m2）

（1）若4ADE=20。，求EF的長；

（2）當(dāng)入線口E在AB上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

AEB

【正確答案】：

【解析】：（1）作DHLEF,然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義表示出EF,

（2）設(shè)4ADE=。，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可表示AE,FH,然后表示出面積，結(jié)合同角基本

關(guān)系進(jìn)行化簡，再由基本不等式可求.

【解答】：解：(1)作DH_LEF,垂足為H,

則EF=EH+HF=15tan200+15tan50°*23.3m；

(2)設(shè)NADE=e,則AE=15tanE,FH=15tan(90°-26),

S四邊；BADEF=2SAADE+SADFH=2X-X15xl5tan0+-x15x15tan(90°—20),

=—(3Otan0+15cot2e)=—(30tan9+15x1+taw'e)=—(3tan6+-L-)

222tan04VtaneJ3

當(dāng)且僅當(dāng)3tan8=,即tan8=半時(shí)取等號，止匕時(shí)AE=15tan8=5V5,最大面積為450?

tanO3

江為255.14m2.

2

【點(diǎn)評】：本題主要考查了利用基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問題抽

象出數(shù)學(xué)問題，屬于中檔題.

丫2

20.（問答題，16分）已知橢圓「：a+y2=l（a>l）,A、B兩點(diǎn)分別為r的左頂點(diǎn)、下頂

點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)均在直線1：x=a上，且C在第一象限.

（1）設(shè)F是橢圓r的右焦點(diǎn)，且ZAFB=,求r的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1,請判斷直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否在橢圓「上，

并說明理由；

（3）設(shè)直線AD、BC分別交橢圓「于點(diǎn)P、點(diǎn)Q,若P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，求|CD|的最小值.

【正確答案】：

【解析】：(1)根據(jù)條件可得tan4AFB=L解出c,利用a?=b2+c2,求得a,即可求得答

C

案；

(2)分別表示出此時(shí)直線BC、直線AD的方程，求出其交點(diǎn)，驗(yàn)證即可；

(3)設(shè)P(acosO,sin0),Q(-acosQ,-sin0).表示出直線BP、直線AQ方程，解出C、D

坐標(biāo)，表示出|CD|,再利用基本不等式即可求出答案.

【解答】：解：(1)由題可得B(0,-1),F(c,0),

因?yàn)镹AFB=2,所以tanz_AFB=2=L=tan三=更，解得c=V5,

6cc63

一v-2

所以a2=l+(V3)2=4,故「的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+y2=l；

(2)直線AD與直線BC的交點(diǎn)在橢圓上，

由題可得此時(shí)A(-a,0),B(0,-1),C(a,2),D(a,1),

￡，白，滿足駕+(丁=1,

則直線BC：y=^x-l,直線AD：y=^x+1,交點(diǎn)為

故直線AD與直線BC的交點(diǎn)在橢圓上；

(3)B(0,-1),P(acos0,sin0),則直線BP：丫=k詈x-1,所以C(a,叼等-1),

acosdcosd

A(-a,0),Q(-acos0,-sin0),則直線AQ：y=------(x+a),所以D(a,——)，

JacosG-acos6-l

22.ee

sin6+l2sin0_2sin^cos^+sin^cos^4Astn-cos-

所以|CD|=-

COS0cos-—cos^-sin^-2sin2-

設(shè)tang=t,則|CD|=2(-+-)-2,

21—tt

因?yàn)镠檢系，所以士+法系=4

則|CD|N6,即|CD|的最小值為6.

【點(diǎn)評】：本題考查直線與橢圓的綜合，涉及橢圓方程的求解，直線交點(diǎn)求解，基本不等式的

應(yīng)用，屬于中檔題.

21.(問答題，18分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,現(xiàn)有兩種對f(x)變換的操作：＜p變換:

f(x)-f(x-t)；3變換：|f(x+t)-f(x)I，其中t為大于0的常數(shù).

(1)設(shè)f(x)=2x,t=l,g(x)為f(x)做cp變換后的結(jié)果，解方程：g(x)=2；

(2)設(shè)f(x)=X2,h(x)為f(x)做3變換后的結(jié)果，解不等式：f(x)＞h(x);

(3)設(shè)f(