高中數(shù)學(xué)講義微53 求數(shù)列的通項(xiàng)公式

微專題53求數(shù)列的通項(xiàng)公式

一、基礎(chǔ)知識(shí)一一求通項(xiàng)公式的方法

1、累加(累乘法)

(1)累加法：如果遞推公式形式為：4川一4=/(〃)，則可利用累加法求通項(xiàng)公式

①等號(hào)右邊為關(guān)于〃的表達(dá)式，且能夠進(jìn)行求和

②a,』,。,,的系數(shù)相同，且為作差的形式

例：數(shù)列｛叫滿足：q=l,且1+]-%=2"+1,求見

解：%+|-%=2"+1

4-aa=2"T+l

a2-a,=2'+1

累加可得：a?-a,=2+22+---+2n-'+(n-l)

二----------F〃-1=2"+〃-3

2-1

dfl—2〃+〃—2

(2)累乘法：如果遞推公式形式為：也=/(")，則可利用累加法求通項(xiàng)公式

%

例：已知數(shù)列｛4｝滿足:q=1,且+，求

解：〃。m=(〃+1”“=也=辿

a”〃

.4%a_nn-\2

...............2=..............

%an-2a\〃T"21

an

=>—=nan==〃

2、構(gòu)造輔助數(shù)列：通過對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，變形為相鄰項(xiàng)同構(gòu)的特點(diǎn)，進(jìn)而將相同的結(jié)構(gòu)

視為一個(gè)整體，即構(gòu)造出輔助數(shù)列。通過求出輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可算出原數(shù)列的通項(xiàng)

公式

(1)形如。"=/根,1+4(〃。1，4。0)的形式：通?？蓸?gòu)造出等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式。

例：數(shù)列｛《,｝中，4=1,a“=3a,i+2,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

思路：觀察到凡與。,一有近似3倍的關(guān)系，所以考慮向等比數(shù)列方向構(gòu)造，通過對(duì)/與％_1

分別加上同一個(gè)常數(shù)X,使之具備等比關(guān)系，考慮利用待定系數(shù)法求出X

解:設(shè)4+2=3(*+2)即an=3%+22

對(duì)比a“=3a,-+2,可得2=1

?“”+1=3(%+1)

.?.｛4+1｝是公比為3的等比數(shù)列

.?.a“+l=(q+l>3"T:.4=2-3"T-1

(2)形如a“=pa.i+q",此類問題可先處理q",兩邊同時(shí)除以q",得a=〃4+1,

qq

進(jìn)而構(gòu)造成"="?餐+1,設(shè)仇=&,從而變成/=￡■/“i+i,從而將問題轉(zhuǎn)化為第

q"qqiqnq

(1)個(gè)問題

例：在數(shù)列｛4｝中,q=l,a?=3a?_1+2-3"

n

解：a?=3an.,+2-3

當(dāng)爭(zhēng)+2

4

是公差為2的等差數(shù)列

3"

：.—=^-+(n-\Y2=2n-—

3"3'V'3

2n-|j-3,1

小結(jié)：對(duì)于以上兩個(gè)問題，還有一個(gè)通用的方法：對(duì)于形如a'=pa,1+/(〃)(其中/(〃)為

關(guān)于〃的表達(dá)式），可兩邊同時(shí)除以P",2=冬+/?。設(shè)力=2,即

pnpp"pn

2-勿1=/皿，進(jìn)而只要上⑷可進(jìn)行求和，便可用累加的方法求出或，進(jìn)而求出女。

p"pn

以（i）中的例題為例：

,/a=3a“?+2+2.

n""T3"3"-'⑶

設(shè)"=號(hào)，則

??也-或_產(chǎn)2俱

]_

1-

3

J.一仕丫色

:也

3\3)33\3>

=>?=23"—1

（3）形如：qa,i-pa”=a“a,r,可以考慮兩邊同時(shí)除以1，轉(zhuǎn)化為幺-一2=1的形

anan-\

式，進(jìn)而可設(shè)遞推公式變?yōu)?勿-〃么1=1,轉(zhuǎn)變?yōu)樯厦娴念愋颓蠼?/p>

例：已知在數(shù)列｛an｝中，/H0,%=2,且an+i-an=2an+xan

解：?n+i-%=2??+1??-------=-2

%+ia,,

anan-\an-\2。2

/.累加可得：-------=—2(n—1)

%4

1cc1cc15c

—=2-2〃H——2—2〃H———2〃

anq22

12

----2rl

2

(4)形如p%+2—(〃+4)4用+44,=4，即中間項(xiàng)的系數(shù)與兩邊項(xiàng)的系數(shù)和互為相反數(shù)，

則可根據(jù)兩邊項(xiàng)的系數(shù)對(duì)中間項(xiàng)進(jìn)行拆分，構(gòu)造為：P(a“+2—?！?1)一紙氏+1—%)=左的形

式，將“=%+1-4,進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為上面所述類型進(jìn)行求解

例：已知數(shù)列｛a“｝中，％=1,。2=3,且a”？-2a“+|+a“=4,求a“

解：4+2一為用+4,=4n(4+2一為+J一(4,+i一%)=4

設(shè)b“=a,+i-%,則2+1-d=4,且仇=々一％=2

.??｛〃｝為公差是4的等差數(shù)列

偽,=4+(〃-1)-4=4/2-2

?.?4+「％=4〃―2

4一%=4(〃-1)-2

a2-aA=4x1-2

cin-ciy=4[l+2+.??+(〃-1)]-2(〃-1)

vJ2

=4-2-2(n-l)=2n-4n+2

2

an=2n-4〃+3

4、題目中出現(xiàn)關(guān)于S〃,?！ǖ牡仁剑阂环矫婵赏ㄟ^特殊值法（令〃=1）求出首項(xiàng)，另一方面

可考慮將等式轉(zhuǎn)化為純S,或純a”的遞推式，然后再求出a?的通項(xiàng)公式。

例：已知數(shù)列｛凡｝各項(xiàng)均為正數(shù)，5“二%（竽求凡

解：s.二生用百,「吟上D

兩式相減，可得：S._S.I=:（3+1）_%（?T+1）（“eN*,〃22）

4+%=（4+）（%一%）

?.?a〃>0an-an_｛=\

.?.｛a“｝是公差為1的等差數(shù)列

在S%（%+1）中,令〃=i,可得s=4（4+l）na=1

"22

/.an=4+（“-1）4=n

5、構(gòu)造相減：當(dāng)所給遞推公式無法直接進(jìn)行變形，則可考慮根據(jù)遞推公式的形式再構(gòu)造出下

一組相鄰項(xiàng)的遞推公式，通過兩式相減可構(gòu)造出新的遞推公式，再嘗試解決。尤其是處理遞

推公式一側(cè)有求和特征的問題，這種做法可構(gòu)造出更為簡(jiǎn)單的遞推公式。（詳見例5,例8）

以上面的一個(gè)例子為例：數(shù)列｛4｝中，q=l,an=3a?_,+2,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

解：；a“=3a"T+2①

J=3a“+2②

②—①可得：

4+1一4=3(4一。,1)

，包山-a“}是公比為3的等比數(shù)列%=3%+2=5

/.a2-a}=4

/.an+l-an=(a2—?1)-3〃-=4?3〃一,

=4-3n-2

a2-a\=4-3°

/、3〃T_i

累加后可得：a?-a,=4(l+3+---+3"-2)=4---------=2-3n-'-2

3—1

a?=2-3"i-1

6、先通過數(shù)列前幾項(xiàng)找到數(shù)列特點(diǎn)，從而猜出通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明(詳見數(shù)學(xué)

歸納法)

例1：在數(shù)列｛怎｝中，a,=l,a?=——a,i+2〃x3”-2(〃eN,〃N2),求數(shù)列也｝的通項(xiàng)

公式％

思路：觀察遞推公式中(」一1?〃的特點(diǎn)，兩邊同時(shí)除以〃可得%=」一4?+2X3"2,

1)nn-\

進(jìn)而可將％?視為一個(gè)整體，利用累加法即可得到生的表達(dá)式，從而求出

nn

yi

解：a=-----a_+2nx3n"2

nn-1nx

+2x3"-2即幺—也=2x3”2

nn-1nn-1

則有4■一烏a=2x3""

nn—\

1_。"-2_2x3〃-3

n-1〃一2

a2ay_2

T-T-

累加可得：%一q=2(1+3+…+3"-2)=鼻彳」

即％=4+3"T_]=3"T

n

...4=〃?3"T

?v2

例2：已知在數(shù)列｛a“｝中，q=l,a“=±J,則｛凡｝的通項(xiàng)公式為

2s,一1

思路：在本題中很難直接消去S,，所以考慮/用S“-S“T進(jìn)行表示，求出S.之后再解出4

解：?.?當(dāng)"N2,〃eN*時(shí)，an=S?-S?_,

S._S,I=著yn2S；-S?-2S?Sn_,+5,一=25：,整理可得:

八〃一1

S.「S“=2S,￡r

v￡=2I”-為公差為2的等差數(shù)列

111

—=--------F(?-1)-2=2?-1S,,

Sns12〃一1

11

,n>2

2〃—12〃—3

l,n=1

點(diǎn)評(píng)：在S”％同時(shí)存在的等式中,

例3:數(shù)列｛《,｝滿足4=0,all+l+an=2〃，則%)15

思路：只從所給遞推公式很難進(jìn)行變形,所以考慮再構(gòu)造一個(gè)遞推公式并尋找關(guān)系：即

+4i=22,力wN*),兩式相減可得：an+x-an_x=2,(?>2,HG,從而

可得在｛4｝中，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別可構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，所以

。到5=%+1007t/=2014

答案：2014

33〃4T

例4：己知數(shù)列｛%｝滿足：4=],且％2,〃eN*),則數(shù)列｛a,,｝的通

2an—.\+n-1

項(xiàng)公式為

思路：觀察到遞推公式的分子只有,所以考慮兩邊同取倒數(shù)，再進(jìn)行變形：

3〃—12a“t+〃T2n-1M2M1

=>—---------1------------------=>------=--------1---------------,從而找到同構(gòu)特

2a?_,+/1-1an3413n3〃%a?33a?.,

n

點(diǎn)，并設(shè)為輔助數(shù)列：b“=一,求出｛/?“｝通項(xiàng)公式后即可解出

1,2,,lz,_1-1)｛d—1｝為公比是』的等比數(shù)列

,、(1V-1即”制

2T=(a-1),§J

n九?3"

旦旦+王++盤=％求

例5：已知數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)數(shù)列，

q+2出+2+2

即4sl4S,4S.

解：++---F-S”①

4+2+2ct/｛+/

■+￡+...+￡’2=S"-i(n>2,n^N)②

q+2%+2。〃一1+

①一②可得：

4s

—^=4n4S“=a；9+2a.,n>2

為+2

4s\"En4S]=q(q+2)③，滿足上式

在已知等式中令〃=1,可得：

4S“=a；,+2an④

4S,_|=<,+2a“_1⑤

-a

兩式相減可得：4an=a-+2anLi~2%.1

=2(%+%)=?,"-<i,成_<i=(4,+??-|)

n-\2

「?｛4｝為公差是2的等差數(shù)列，由③可解得：q=2

:.=a]+(〃-l)d=2n

例6：已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且求見

1(1、

思路：所給為S〃,?！ǖ年P(guān)系，先會(huì)想到轉(zhuǎn)為。〃遞推公式，S〃_]=—an_｛+--(/2>2),兩

21an-\J

式相減可得：2an=an+—-an_x———=>+an_x=-----,很難再往下進(jìn)行。從而

4%anan-\

考慮化為S”的遞推式：時(shí)，S“=Us“—S“1+—'—從而應(yīng)｝

n，“?！皀—iC1C*〃n—\'in\

，I3”-3〃-"

為公差是1的等差數(shù)列，可求出S“，進(jìn)而求出a.

11

當(dāng)有T

“22,nS“。=_nS._n—Si“Q+---Q------

2S=S?-S.+—1—nS.+S,1

n/ni—ic*c*〃i

□一

nd〃一1.S“—S,T

???S：—S3=l，｛s；｝為公差是1的等差數(shù)列

I(]、

，S：=S：+(〃—l)在S“=Jan+一中，

2kan)

if11

令〃=1可得：S=—q+—可解得q=1

21a\)

1.S；=n/.Sn=y[n

S—S_1,n>2y/n>2

a=<nn=>a=<

n[S^n=ln=]

小煉有話說：在處理S〃,a〃的式子時(shí)，兩種處理方向如果一個(gè)沒有進(jìn)展，則立刻嘗試另一個(gè)方

向。本題雖然表面來看消去S〃方便，但通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)遞推公式無法再進(jìn)行處理。所以立刻調(diào)

轉(zhuǎn)方向，去得到S〃的式子，迂回一下再求出耳

例7：已知數(shù)列｛4｝滿足(fl?+1-1)(%—1)=3(%—an+l),a]=2,求｛a,,｝的通項(xiàng)公式

解：(4+iT)3〃T)=3[(。.T)-(％T)]

.T)=1=>_J________\__=1

一1>(。“+1-1)3an+l-1a?-l3

1.-—1―是公差為1的等差數(shù)列

4“一113

i3幾+5

-an-i=—7：=>an=—7：

〃+2〃+2

例8：設(shè)數(shù)列｛4｝中，a,=2,an+l=——^,bn=^—^,neN\則數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式為

壯=-----

思路：題目中所給的是的遞推公式，若要求得為，則考慮以。“作為橋梁得到關(guān)于｛2｝的

aa+i+22

遞推b“+i代入a,-1可得

a”+iT4+1

_2%+4

=2=22，所以可得｛4｝為等比數(shù)列，且

q+22"+i

仿==4,從而可得：b,=b\-2'j

q—1

n+,

答案:bn=2

例9：在數(shù)列｛%｝中，/=1,.+"4〃=與Ll〃+]("￡N*),求數(shù)列｛〃〃｝的

%+2a2+3%+

通項(xiàng)4“

解：4+2a,+3a3+....+na?=~~~a?+i(neN,)

1

4+2/+3<Zj++(?-)?n-i=-a?(n>T)

n

na〃+1(C-

n=—r-an+i--an[n>2,neN*)

3〃〃+14+13n

?見=<4用=3

22ann+\

anan-\“3_3〃-2/i-ln-22

an-\〃202nn-\3

%=3〃-2.2

a?=6Z1—1

凡n

2?3'T

〃22,〃wN*)

2-3"-2c

--------,n>2

n

1,n=1

例10：設(shè)數(shù)列｛qj滿足：q=l,%=2,且對(duì)于其中任意三個(gè)連續(xù)的項(xiàng)4T，a〃Me，都有:

,〃+1）磯,求｛?,｝通項(xiàng)公式

思路：由已知條件可得：2〃a〃=（〃一l）a“_]+（〃+1）4什],觀察發(fā)現(xiàn)的系數(shù)和與。〃

相等，所以可將〃拆為（〃一1）%和+從而與配對(duì)，將原遞