異面直線所成的角求法課件

異面直線所成的角求法課件contents目錄引入向量法求解異面直線所成角幾何法求解異面直線所成角坐標(biāo)法求解異面直線所成角實(shí)際應(yīng)用與拓展總結(jié)與回顧01引入不在同一個(gè)平面上的兩條直線稱為異面直線。定義平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。判定定理異面直線的定義過空間任意一點(diǎn)引兩條異面直線的公垂線，它們所夾的銳角（或直角）叫做這兩條異面直線所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°]，若兩條異面直線互相垂直，則說它們所成的角是90°；若兩條異面直線所成的角是銳角或直角，則就按照銳角或直角來度量。異面直線所成角的概念范圍定義在三維空間中，很多幾何體都是由異面直線構(gòu)成的，求解異面直線所成的角有助于我們更好地理解和分析這些幾何體的性質(zhì)和特點(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用通過學(xué)習(xí)求解異面直線所成的角，可以培養(yǎng)我們的空間想象能力和邏輯思維能力，更好地理解和應(yīng)用三維空間中的幾何知識(shí)。拓展思維求解異面直線所成角的意義02向量法求解異面直線所成角點(diǎn)積定義兩個(gè)向量之間的點(diǎn)積等于其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在該向量上的投影的模的乘積。夾角與點(diǎn)積關(guān)系兩向量夾角越小，點(diǎn)積越大；反之，夾角越大，點(diǎn)積越小。當(dāng)兩向量垂直時(shí)，點(diǎn)積為零。向量點(diǎn)積與夾角關(guān)系選取異面直線上的兩個(gè)非零向量；計(jì)算這兩個(gè)向量的點(diǎn)積；利用點(diǎn)積公式求出兩向量之間的夾角；根據(jù)夾角判斷異面直線所成的角是銳角還是鈍角。01020304利用向量點(diǎn)積求解異面直線所成角步驟例1：已知兩異面直線上的向量分別為$\vec{a}=(1,2,3)$和$\vec=(2,1,0)$，求異面直線所成的角。解：首先計(jì)算$\vec{a}$和$\vec$的點(diǎn)積，$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times1+3\times0=4$；然后求出$\vec{a}$和$\vec$的模，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$，$|\vec|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；典型例題解析最后利用點(diǎn)積公式求出夾角$\cos{\theta}=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}=\frac{4}{\sqrt{14}\times\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{70}}$，根據(jù)夾角判斷異面直線所成的角為銳角。例2：已知兩異面直線上的向量分別為$\vec{c}=(1,1,1)$和$\vecuuz55pm=(1,-1,0)$，求異面直線所成的角。解：首先計(jì)算$\vec{c}$和$\vecilifidr$的點(diǎn)積，$\vec{c}\cdot\vecxctsmqj=1\times1+1\times(-1)+1\times0=0$；由于點(diǎn)積為零，說明兩向量垂直，因此異面直線所成的角為$90^\circ$。典型例題解析03幾何法求解異面直線所成角平行線間距離兩平行線間的距離是一個(gè)定值，等于其中一條直線上任取一點(diǎn)到另一條直線的垂線段長(zhǎng)度。夾角關(guān)系兩異面直線分別與第三條直線相交，所得到的兩個(gè)夾角相等或互補(bǔ)。因此，可以通過求解其中一個(gè)夾角來得到異面直線所成的角。平行線間距離與夾角關(guān)系在其中一條直線上任取一點(diǎn)，作另一條直線的平行線，得到兩平行線；計(jì)算兩平行線間的距離；利用已知的平行線間距離和其中一條直線與第三條直線所成的角，通過三角函數(shù)求解異面直線所成的角。利用平行線間距離求解異面直線所成角步驟例1已知兩異面直線a、b分別與直線c相交于點(diǎn)A、B，且AB=6，AC=4，BD=3，CD=5，求異面直線a、b所成的角。解析過點(diǎn)A作AE平行于直線b，交CD于點(diǎn)E。根據(jù)平行線性質(zhì)可知，角CAE即為異面直線a、b所成的角。利用已知條件計(jì)算得到AE=3，CE=2，然后在三角形CAE中應(yīng)用余弦定理求解得到角CAE的大小。例2已知兩異面直線l1、l2分別與平面α相交于點(diǎn)A、B，且線段AB的長(zhǎng)度為8，點(diǎn)C、D分別在直線l1、l2上，且CD=6。求異面直線l1、l2所成的角。解析過點(diǎn)A作AE平行于直線l2，交CD于點(diǎn)E。根據(jù)平行線性質(zhì)可知，角CAE即為異面直線l1、l2所成的角。利用已知條件計(jì)算得到AE=4.8，然后在三角形CAE中應(yīng)用正弦定理求解得到角CAE的大小。01020304典型例題解析04坐標(biāo)法求解異面直線所成角確定坐標(biāo)軸方向根據(jù)異面直線的方向，選擇相互垂直的方向作為坐標(biāo)軸方向，確保異面直線分別與坐標(biāo)軸平行或垂直。建立空間直角坐標(biāo)系根據(jù)所選原點(diǎn)和坐標(biāo)軸方向，建立空間直角坐標(biāo)系，為后續(xù)計(jì)算提供基礎(chǔ)。選擇合適點(diǎn)作為原點(diǎn)通常選取異面直線上的公共點(diǎn)或易于計(jì)算的點(diǎn)作為原點(diǎn)。建立空間直角坐標(biāo)系03計(jì)算兩向量夾角根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩向量，再利用向量夾角公式計(jì)算兩向量之間的夾角，即為異面直線所成的角。01確定異面直線方程根據(jù)已知條件，確定異面直線的方程，一般可表示為兩個(gè)平面的交線或兩個(gè)向量的方向。02求出異面直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)在異面直線上分別選取兩點(diǎn)，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)。利用坐標(biāo)運(yùn)算求解異面直線所成角步驟已知兩平面方程，求兩平面交線所成的角。首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出交線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，最后計(jì)算兩向量夾角即可。例題一已知兩向量方向，求兩異面直線所成的角。同樣需要建立空間直角坐標(biāo)系，確定兩向量的坐標(biāo)表示，然后計(jì)算兩向量夾角。例題二典型例題解析05實(shí)際應(yīng)用與拓展建筑設(shè)計(jì)在建筑設(shè)計(jì)中，需要確定不同墻面或者柱子的夾角，以確保結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和美觀性。異面直線所成角的求解方法可以幫助建筑師精確計(jì)算這些角度，從而設(shè)計(jì)出符合要求的建筑。機(jī)器人路徑規(guī)劃在機(jī)器人路徑規(guī)劃中，需要考慮到機(jī)器人移動(dòng)過程中可能遇到的各種障礙物。異面直線所成角的求解方法可以幫助規(guī)劃者計(jì)算出機(jī)器人與障礙物之間的夾角，從而規(guī)劃出更加合理的路徑，避免機(jī)器人與障礙物發(fā)生碰撞。航空航天在航空航天領(lǐng)域，需要精確計(jì)算航天器或者衛(wèi)星的軌道角度，以確保其能夠準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道。異面直線所成角的求解方法可以幫助工程師計(jì)算出航天器或者衛(wèi)星與地球或者其他天體的夾角，從而設(shè)計(jì)出更加精確的軌道。異面直線所成角在實(shí)際問題中的應(yīng)用向量法向量法是求解空間幾何角的一種常用方法。通過向量的點(diǎn)積和叉積運(yùn)算，可以求解出兩個(gè)向量之間的夾角，從而得到空間幾何角的大小。三角函數(shù)法三角函數(shù)法也是求解空間幾何角的一種常用方法。通過構(gòu)造直角三角形或者利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可以求解出空間幾何角的大小。這種方法通常適用于一些比較簡(jiǎn)單的空間幾何圖形。拓展：其他空間幾何角的求解方法06總結(jié)與回顧求異面直線所成角的方法：平移法、向量法。異面直線的定義：不在同一平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線。異面直線所成角的概念：過空間任意一點(diǎn)引兩條分別與兩條異面直線平行的直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面直線所成的角。本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)總結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我已經(jīng)掌握了異面直線的定義、異面直線所成角的概念以及求異面直線所成角的方法。知識(shí)點(diǎn)掌握情況在求異面直線所成角的過程中，我運(yùn)用了平移法和向量法，但在運(yùn)用過程中還存在一些問題，需要繼續(xù)加強(qiáng)練習(xí)。學(xué)習(xí)方法反思我認(rèn)為自己在本節(jié)課中表現(xiàn)出了積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，認(rèn)真