2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸納與達標檢測第59講離散型隨機變量及其分布列（講）（原卷版）

第59講離散型隨機變量及其分布列思維導圖知識梳理1．離散型隨機變量的分布列(1)隨著試驗結果變化而變化的變量叫做隨機變量．所有取值可以一一列出的隨機變量叫做離散型隨機變量．(2)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．2．兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機變量X服從兩點分布．其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．3．超幾何分布一般地，設有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)．X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一個隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布．題型歸納題型1離散型隨機變量分布列的性質(zhì)【例11】設X是一個離散型隨機變量，其分布列為X－101Peq\f(1,3)2－3qq2則q的值為()A．1B.eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C.eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6) D.eq\f(3,2)＋eq\f(\r(33),6)【例12】已知隨機變量X的分布規(guī)律為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3)，則P(X＝2)＝________.【跟蹤訓練11】離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))的值為________．【跟蹤訓練12】設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機變量Y＝2X＋1的分布列；(2)求隨機變量η＝|X－1|的分布列；(3)求隨機變量ξ＝X2的分布列．【名師指導】離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)的應用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關參數(shù)的取值范圍或值；(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結果是否正確.題型2超幾何分布【例21】某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列．【跟蹤訓練21】某大學生志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列．【跟蹤訓練22】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．【名師指導】1．隨機變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗是不放回地抽取n次；(2)隨機變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．2．求超幾何分布的分布列的步驟第一步，驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；第三步，用表格的形式列出分布列．題型3求離散型隨機變量的分布列【例31】已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列．【跟蹤訓練31】有編號為1,2,3，…，n的n個學生，入座編號為1,2,3，…，n的n個座位，每個學生規(guī)定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，已知X＝2時，共有6種坐法．(1)求n的值；(2)求隨機變量X的分布列．【跟蹤訓練32】甲、乙兩人為了響應政府“節(jié)能減排”的號召，決定各購置一輛純電動汽車．經(jīng)了解目前市場上銷售的主流純電動汽車，按行駛里程數(shù)R(單位：公里)可分為三類車型：A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲從A，B，C三類車型中挑選，乙從B，C兩類車型中挑選，甲、乙二人選擇各類車型的概率如表：車型概率人ABC甲eq\f(1,5)pq乙eq\f(1,4)eq\f(3,4)若甲、乙都選C類車