2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《中考壓軸題：圓的綜合應(yīng)用》經(jīng)典題型提升練習(xí)（二）

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《中考壓軸題：圓的綜合應(yīng)用》

經(jīng)典題型提升練習(xí)（二）

1.（D【學(xué)習(xí)心得】

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓

的知識解決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△俶?中，AB^AC,NBAC=90：。是△力比■外一點(diǎn)，且47=47,求N

故C的度數(shù).若以點(diǎn)力為圓心，四為半徑作輔助。4,則點(diǎn)C、〃必在04上，N班C是04

的圓心角，而N8DC是圓周角，從而可容易得到N8ZW=°.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形然必中，NBAD=NBCD=9Q°,N8a=25°,求Nfi4c的數(shù).

（3）【問題拓展】

如圖3,如圖，E,尸是正方形483的邊加上兩個(gè)動點(diǎn)，滿足然=〃尸.連接我交做于

點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)、H.若正方形的邊長為2,則線段力/長度的最小值是.

2.如圖，在△408中，NAOB=90。，）=6,0A8,動點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿著）方向以1

個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)戶從點(diǎn)4出發(fā)，沿著方向也以1個(gè)單位長

度/秒的速度勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（0Vt/5）,以"為圓心，〃長為半徑的。戶

與48、%的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D,連結(jié)切、CO.

(1)當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，求亡的值；

(2)若△4G。是等腰三角形，求t的值；

(3)若。戶與線段0C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求力的取值范圍.

3.為O0的直徑，點(diǎn)C、。為。。上的兩個(gè)點(diǎn)，4。交8c于點(diǎn)尸，點(diǎn)￡在四上，DE交BC

于點(diǎn)G,魚4DGF=NCAB.

(1)如圖1.求證：DE^AB.

(2)如圖2.若4?平分NG48求證：BC=2DE.

圖1圖2圖3

4.問題提出：如圖1,在正方形4仇必中，48=4,點(diǎn)￡為邊8c上一定點(diǎn)，且桀=1,點(diǎn)戶

為圓8上一動點(diǎn)，連接PE,則麗比的最小值為.

問題探究：如圖2,已知在△6%中，B43,8c=9,在8c上取一點(diǎn)。，當(dāng)8。的長為多

少時(shí)，pg%c,說明理由.

0

問題解決：在一次“挑戰(zhàn)自我，勇往直前，用實(shí)力闖關(guān)”的活動中，最后一關(guān)的示意圖

如圖3,活動區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅螢?3,已知在平行四邊形為83中，AD=16m,48=24%

NDAB=60°,點(diǎn)、G、￡分別在48、CD上,且4G=12m,CE=4m,點(diǎn)尸為邊緲上一動點(diǎn)，

點(diǎn)。為平行四邊形48緲內(nèi)部一動點(diǎn)，且.點(diǎn)￡為沖關(guān)起點(diǎn)，參賽者沿上坡

路線從點(diǎn)￡沖到點(diǎn)尸，又從點(diǎn)尸沖到點(diǎn)兒再沿下坡路線從點(diǎn)夕快速滑到終點(diǎn)8,若上坡

的平均速度為匕下坡的平均速度為3匕求沖關(guān)者沖關(guān)的最短時(shí)間（用含〃的式子表示）.

圖3

5.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，力（-2,0）,8（8,0）,以為直徑的。附交y軸于

C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)P是仄而的中點(diǎn)，連結(jié)CP.

（1）①求弦切的長；

②求。的長.

（2）如圖②，設(shè)。是施上一點(diǎn)，連結(jié)。ROA,OB,若戶6仁4,求。1-08的值.

（3）如圖③，過點(diǎn)的作x軸的垂線/,在第一象限?！ㄉ先∫稽c(diǎn)/V（在直線/的右側(cè)），

在x軸上取一點(diǎn)G（在點(diǎn)"的右側(cè)），使陰U/VG,過“，〃兩點(diǎn)的。口交直線/于另一點(diǎn)

E,作EF〃NG交.50、千點(diǎn)、F,求）的

長

6.如圖，點(diǎn)4(8,0),點(diǎn)8分別在x軸，y軸上，直線與x軸，y軸分別相交于

點(diǎn)。，8兩點(diǎn)，C在△408的外接圓上，且C(4,8).

(1)①直接寫出b=.

②求證：當(dāng)〃=暫時(shí)，放是。。，的切線.

(2)如圖1,若點(diǎn)。是優(yōu)弧氤上的一點(diǎn)(不與8,C重合)，求sinN3"C的值.

(3)如圖2,在(1)的條件下，當(dāng)戶點(diǎn)在。。上運(yùn)動時(shí)，過。作。0,0于0,求線段

力的最小值.

圖1圖2

7.在平面直角坐標(biāo)系x勿中，對于點(diǎn)Q(a,6)和正實(shí)數(shù)〃，給出如下定義：當(dāng)％才+6>0

時(shí)，以點(diǎn)戶為圓心，桁2+。為半徑的圓，稱為點(diǎn)夕的“火倍雅圓”

例如，在圖1中，點(diǎn)。(1,1)的“1倍雅圓”是以點(diǎn)戶為圓心，2為半徑的圓.

1111

(1)在點(diǎn)耳(3,1),P2(1,-2)中，存在1倍雅圓”的點(diǎn)是.該點(diǎn)的1

倍雅圓”的半徑為.

(2)如圖2,點(diǎn)"是y軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)〃在第一象限內(nèi)，且滿足N〃加U30°,

試判斷直線加與點(diǎn)"的“2倍雅圓”的位置關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,已知點(diǎn)4(0,3),5(-1,0),將直線四繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到

直線/.

①當(dāng)點(diǎn)C在直線/上運(yùn)動時(shí)，若始終存在點(diǎn)C的以倍雅圓”，求〃的取值范圍；

②點(diǎn)〃是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)。的“1倍雅圓”的半徑為R,是否存在以點(diǎn)。為圓心，楞^

為半徑的圓與直線/有且只有1個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明

8.如圖，48是。。的直徑，。是。。上一點(diǎn)，。是弧4C的中點(diǎn)，￡為勿延長線上一點(diǎn)，且

乙CAE=2乙C、4C與被交于點(diǎn)〃，與如交于點(diǎn)尸.

(1)求證：AELAB-,

(2)求證：Df^=FH'FC-,

(3)若DH=9,tan6^-,求半徑力的長.

4

9.實(shí)踐探究:

(1)如圖1,P是。。外的一點(diǎn)，求作。。上一點(diǎn)4使得〃最短，并說明理由.

(2)如圖2,正方形的邊長是9,點(diǎn)￡在邊四上，AE=3,動點(diǎn)尸在邊8c上，且

不與點(diǎn)&C重合，將△叱沿中折疊，得到連接第'，求△第'尸周長的最小

值.

問題解決：

(3)如圖3,某小區(qū)一角落如四邊形所示，N4=N為90°,Z67=60°,CD=BC

=60/7；,一條小路柳的長為15米，點(diǎn)〃、點(diǎn)4分別在48邊和初邊上.現(xiàn)在準(zhǔn)備在小路

利的中點(diǎn)處修一個(gè)涼亭匕在CD,8c邊上分別修建涼亭尸和￡,如果想在三個(gè)涼亭之間

修建筆直的小路/召PF,EF,為了快捷和節(jié)約成本，要使線段/當(dāng)PF,)之和最短，試

求陽所)的最小值.并說明理由.

10.如圖，/4C是四邊形48CZ?外接圓。的直徑，AB=BC,NDAC=30°,延長/IC到日吏得綏

=CD,作射線口交80的延長線于尸，BF交AD千G.

(1)求證：△?(坐是等腰三角形；

(2)求證：)與。0相切；

(3)若40=2,求△尸G。的周長.

參考答案

1.解：(1)如圖1,?.YQ/4C,AD^AC,

???以點(diǎn)力為圓心，點(diǎn)瓜C、。必在上，

?..N外C是。4的圓心角，而N8DC是圓周角，

/.ZBDC^—ZBAC^45°,

2

故答案是：45；

(2)如圖2,取劭的中點(diǎn)。，連接力0、CO.

BAg/BCD=QG,

.?.點(diǎn)AB、C、。共圓，

NBDC=ZBAC,

?：4BDC=25",

:.NBAC=25°,

(3)如圖3,在正方形中，AB=AD=CD,ZBAD=2CDA,AADG=Z.CDG,

在△力維和△仇才中，

'AB=CD

<ZBAD=ZCDA,

AE=DF

:.△ABE9XDCF〈SAS),

，N1=N2,

在△47G和△緲G中，

'AD=CD

'ZADG=ZCDG,

DG=DG

:AAD皓/\CDG(SAS'),

N2=N3,

/.Z1=Z3,

■:NBA田■43=4BAD=90°,

：.41+NBA件=90°,

；.NAH8=18Q°-90°=90°,

取四的中點(diǎn)4連接仍、OD,

則OH=AO=^AB=1,

22==

在中，OD=A/AO+ADV12+22=VB>

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，0小DH>OD,

...當(dāng)0、D、〃三點(diǎn)共線時(shí)，力/的長度最小，

最小值=⑺-砂泥-1.

（解法二：可以理解為點(diǎn)〃是在RtZXMB,四直徑的半圓篇上運(yùn)動當(dāng)0、H、〃三點(diǎn)共線

時(shí)，?！ㄩL度最?。?/p>

2.解：(1)-：OA=6,08=8,ZAOB=90°

AB=2222

-'-7OAOB=7G+8=1。,

由題意知：OQ=AP=t,

AC=21,

.?YC是。P的直徑，

???N物=90°,

/.CD//OB,

:、△ACD^AABO、

.AC_AD

"AB=AO1

AD—■—+,

5°

當(dāng)。與。重合時(shí)，Al>OQ=OA,

?亨+￡=6,

…毀.

11

(2)(I)若W=4。，則2t=6-t得：t=2.

(II)若AC=QC,貝1]4?=①，即：些X2=6-t，

5

解得：t哈.

(III)若AQ=QC,則”=恭，

由(1)知，/\ACD^/\ABO,

.ACCD

"AB=BO'

CD=—,

5

即：(6-t)2=(當(dāng))2+(6-t-零)2,

解得：t[匕2=0(舍去)，

14

(注：第(III)情況，連接。R利用△〃/“△力無可得：磐岑即：!聾。則更簡

AOAB610

單).

綜上所述，滿足條件的方的值為2或駕或9.

174

(3)當(dāng)0c與。。相切時(shí),

此時(shí)N初=90°,

OQ=AP=t,

AQ=6-t,AC=2t,

Z.A=Z/4,ZQCA=Z0,

△4吵△480,

AQ_AC

AB'AO'

6-t2t

106

18

13,

當(dāng)0<tW后時(shí)，。。與0c只有一個(gè)交點(diǎn),

XO

當(dāng)0c_L"時(shí),

此時(shí)。與〃重合，

由（1）可知：t=*,

，當(dāng)■1|vtW5時(shí)，。尸與0C只有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)，。戶與0C只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為：OVtW或察<長5.

XOJLX

3.（1）證明：如圖1,為。。的直徑，

???/478=90°,

:?/CAB"CBA=9G,

’:乙DGF=/CAB,4DGF=4BGE,

???4BGE=4CAB,

：.ZBGB-ZCBA=9Q°,

：.ZGEB=90°,

??DE1AB；

（2）證明：如圖2,連接OD交BC于H,連接做,

4?平分NO!昆

?'-S=BD>

\ODA-BG,BH=CH,

'：DELAB、0D=0B,

*'?S&QQ(j=^~ODXBH=OBXDE、

：.BH=DE,

；.BC=2DE.

(3)解：如圖3,作/7?J-48于凡0S_L4?于S,

??"。平分/)昆

CAD=/BAD、

設(shè)N)，=x,

/.ZFB0=9Q°-2x,

'：ZAF0=45°,

：.ZFOB=45°+x,

???/*=180°-(90°-2x)-(45°+x)=45°+x,

???4F0B=NOFB,

.\BF=BO=OA,

■:匕FRB=/ACB=9N,NFBR=NABC,

：?4BFRs/\BAC,

■,■-B--F-—FR,

ABAC

'/AC=8,

.1_FR

:.FR=4,

:?CF=FR=4,

尸=22

?,.44+2=4^/5,

設(shè)so=t,

???N〃P=45°,

FS=0S=t,

?「tanZCAF=tav\Z"S=堂■工^

ACAS

:、AS=2t、

AF=31=4

.t=W5

3_

0F=揚(yáng)=4A

3

4.解：問題提出：如圖1,

圖1

.?.四邊形力成》是正方形，

:?BC=CD=*40=90°,

?：BE=1,

???宏=4-1=3,

22=

:?DE=VCD4CEV42+32=5>

YPAPE^DE、

:.P步P峪5,

，2開展的最小值為5.

故答案為5.

問題探究：如圖2,結(jié)論：當(dāng)劭=1時(shí)，PD=NPC.

BD

圖2

■PB=3,BD=1,BC=9,

.P§=BD*BG,

PB=BD

■BC-PB'

:2PBA4CBP,

./XPBD^/\CBP,

PD=PB=_3

■CP-CB-?'

、.pg工PC.

問題解決：如圖3中，延長四到T,使得81=成?，連接打，在cr上截取or=C￡連接

FK,過點(diǎn)K作A7L87"于//,取/C的中點(diǎn)J,連接/V,在JG上取一點(diǎn)0,使得園=2,連

接PQ,QK.

AJQG5........方……、T

...四邊形四必是平行四邊形,

:.AD〃BC,

：.NCBT=NDAB=60°,

?：BC=BT、

??.△第7是等邊三角形，

BC=CT=AD'=16/77,

?:CK=CE=Am、

：.KT=CT-CE=\2（加）,

YKHLCT、

?,?N袖=90°,

VZr=60°,

AZ7767=30°,

:.T4三KT=6（OT）,K4MHT=t>M（加,

：.BH=BT-77^16-6=10（加，

在RtA0A7/中，OK=VKH2+QH2=7（6^）2+262=28（加，

':aAPG=9Q°,AG=12m,AJ=JG,

.'.PJ=-^AG^b（m）,

■:Jg2m,㈤=6+12=18（加,

：.Pj=JQ*JB,

.PJ=JB

".TQP.T'

?:/PJg/BJP、

.PQ=PJ=1

"BPB.T3'

:.Pg±PB,

?.?沖關(guān)者沖關(guān)的時(shí)間=在￡+什所+廣陽+3*=工（CK+FP^PCf）,

V

:?淤FRP4風(fēng)

沖關(guān)者沖關(guān)的最短時(shí)間為假.

V

5.解：(1)①如圖①中，

'：A(-2,0),8(8,0),

OA=2^08=8,

AB.LCD.

OC=2-OD,

OOOD=OA?OB,

.,.^=16,

'：000,

：?0C=4、

：,CD=2OC=B.

②如圖①中，連接掰過點(diǎn)。作oa必/交/w的延長線于"

AP=PB-

：.PMLAB,

：.ZOMH=COM=9Q°,

r.四邊形M必是矩形，

：.OM^CH^3,0XMH=A、P4M*MHA+5=0、

在中，PC^VPH2-K)M2=V92+32=3VW-

(2)如圖②中，在線段縱上取一點(diǎn)隊(duì)使得。仁08,連接8勿

F8是直徑，

:.NAQB=APB=qG,

QW=QB,

N渤=45。,BW=?BQ,

'?■PA=PB>

：.PA=PB,

N/8Q45°,AB=?BP,

ABM_

:./ABH/WBQ、=

PB~BQ

/ABW=NPBQ,

:?XAB琳clXPBQ'

.AVAB后

*'PQ=PB="2,

■:PQ=A,

??J仁4我，

：,0A-QB=QA-冊=4作=4我.

(3)如圖③中，連接紈FM.FG,設(shè)爐交朋于J

,:EF〃GN,

"MNG=/MJF、

/.NMNF+4FNG=NJE㈱■4JME,

Y4JEM=NMNF,

：.2JME=/FNG、

'：ZEMG=90°,

：.NJM日■NJMG=9G,

,:NM=NG,

：?4NMG=4NGM,

：.4FNG"NGM=9C,

:.FNLMG、

:、FN"EM,

」MEF=/EFN、

?二MF=俞

二MN=命

：.EF=MN=5.

圖②

圖①

6.解:(1)①作C邑Lx軸于點(diǎn)￡,則點(diǎn)￡(4,0),即點(diǎn)￡是外的中點(diǎn)，故然過0',

?：208=90：故點(diǎn)0'在48上，故彼與外交于點(diǎn)0',

過點(diǎn)0'作。'尸JLy軸交于點(diǎn)尸，連接0'0,

圖1

設(shè)圓O'的半徑為r,在RtZ^O'。尸中，則00'2=0戶+0'產(chǎn)，即?=42+(8-r)2,解得

r=5,

故0F=8-r=3,OB=20F=6,故點(diǎn)8(0,6),則6=6；

故答案為6；

②點(diǎn)8(0,6),仁言，則直線劭的表達(dá)式為尸梟6,

Oo

令y=0,即■|■A+6=0,解得x=-￡,故點(diǎn)0),

???點(diǎn)4B、。的坐標(biāo)分別為(8,0)、(0,6)、(--1,0),

則但62+62=1。，同理可得：加=與，劭=與，

貝I"加=4#+a兀故△>!劭為直角三角形，故N4劭=90°,

..?故是。?！那芯€；

(2)如圖2,連接8C、AC,

圖2

,??四是直徑,故N4390°,

貝ijRt△ABC中，AB=10,BC=4^+（6-8））V5，

則sinZBAC=-^-=2^

AB5

A

故sinN8%=上^；

5

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在。上運(yùn)動時(shí)，RtaC00的斜邊0C不變，

故。點(diǎn)在以0C為直徑的圓G上，此時(shí)線段。。最小值即為射線AG與圓G相交的離點(diǎn)。近

的交點(diǎn)，

圖3

此時(shí)的DQ=DG-圓G的半徑=〃G-^CO,

Q

?.?點(diǎn)。(-￡?,0)、而點(diǎn)G為。C的中點(diǎn)，故點(diǎn)G(2,4),

則^^)2+42=同理宓=4粕，

故線段加最小值=〃G-—CO=

22

7.解：(1)對于鳥(3,1),圓的半徑為〃才+6=1X32+1=10>0,故符合題意;

對于8(1,-2),圓的半徑為角2+6=1乂12-2=-1<0,故不符合題意；

故答案為10；

(2)如圖1,過點(diǎn)"作W±ON干點(diǎn)、0,

圖1

則點(diǎn)"(0,加(加>0),則圓的半徑/=1X0+勿=勿,

則Rt△他。中，NMOgNMON=30°,

.,.MO——OM^—m<m,

22

，直線削與點(diǎn)”的“2倍雅圓”的位置關(guān)系為相交；

(3)①過點(diǎn)8作直線/于點(diǎn)E,過點(diǎn)F作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G,交過點(diǎn)4與x

軸的平行線于點(diǎn)F,

設(shè)點(diǎn)E(x,y),

將直線四繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線/,則N)3=45°,故EA=EB,

?：ZFEA^ZFAE=90°,NGE班/陶=90°,

:./FAE=/GEB、

'：/AFE=』EGB=9Q°,EA=EB,

:.△AFEQXEGB(加5),

EF—BG,EXFA,即3-y—-1-x,y--x,

解得：x=-2,y=2,故點(diǎn)￡(-2,2)；

(?

設(shè)直線/的表達(dá)式為尸始仇貝.卜十，解得卜而，

Jk+b]b=3

故直線/的表達(dá)式為尸沙3,

設(shè)點(diǎn)C(x,-1^3),

.?.始終存在點(diǎn)C的“火倍雅圓”時(shí)，則圓的半徑廠=〃?+//3>0恒成立，

二〃>0且△<()成立，即為>0且4=(-y)2-4X3A<0,

解得：k>—

48

②存在，理由:

如圖2,過點(diǎn)。作如，/于點(diǎn)

由點(diǎn)48的坐標(biāo)同理可得，直線的表達(dá)式為y=3/3,

設(shè)點(diǎn)。(x,3/3),

22=

由點(diǎn)A。的坐標(biāo)得，AD=^y(x_Q)+(3X+3-3)Violxl，則HD=-^AD=Ix\,

乙N

■|（盧2）2,則伸；=泥|盧2|,

貝I]R=ka+b=—X+3A+3=

4

假設(shè)存在以點(diǎn)。為圓心，楞;為半徑的圓與直線/有且只有1個(gè)交點(diǎn)，

貝ljDH=停=旄1/2|=Y^|x|,

解得：x=-4±2^/^,

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（-4-2我，-9-6我）或（-4+2b,-9+6亞）.

8.解：（1）是標(biāo)的中點(diǎn)，

：.OEA.AC,

：?/AFE=9G,

???/日/日尸=90°,

,:乙AOE=24C、4CAE=24C、

:、上CAE=4AOE、

；?N&NAOE=90°,

???N￡40=90°,

：.AE±AB；

(2)-：OD=OB,

:?/B=/FDH、

???NG=N8,

：.4C=4FDH、

'：/DFH=NCFD、

:.△DFHsRCFD、

,DF=CF

…而一而

:、DF=FWCF：

(3)連接4?,在RtZ\4W中,

,/乙DAC=乙C、

3

...tanN%6*=tana—,

4

VP//=9,

???47=12,

,o

在RtZ\8"中，'."tan^tanC^一,

4

.._3

..siv\pB------,

5

「?48=20,

：.OA=—AB=\Q.

9.解：(1)如圖1,連接戶0,交。。于點(diǎn)4則此時(shí)以最短，

理由是：在。。上任意取一個(gè)不同于點(diǎn)4的點(diǎn)4,連接"‘、PA',

圖1

則有OA'+PA'>0P.

由"="'得到：0A,+PA'>0A^PA,即%>以，

二線段以是點(diǎn)夕到。。上各點(diǎn)的距離中最短的線段;

(2)如圖2,由折疊得：BF=B'F、BE=EB''

，△第'F局長=CXB'RB'C=CRBRB'C=BC+B'C,

?；8C為定值，

???8C長度取最小值時(shí)，△g'尸周長有最小值，

圖3

當(dāng)￡、B\C三點(diǎn)共線時(shí)，如圖3,9C最小,

?：AE=3,AB=BC=9,

：.BE=EB'=6,

由勾股定理得：^=762+92=3V^31

:ZB，尸的周長=9+3萬-6=3+3萬，

即△C8'