微積分高等數(shù)學(xué)課件

微積分高等數(shù)學(xué)課件2024-01-24微積分基本概念微分學(xué)基礎(chǔ)積分學(xué)基礎(chǔ)微分中值定理及其應(yīng)用多元函數(shù)微積分學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)與微分方程初步目錄01微積分基本概念古代微積分思想的萌芽01古希臘時(shí)期，阿基米德利用窮竭法計(jì)算面積和體積，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽提出割圓術(shù)，這些都是微積分思想的雛形。17世紀(jì)微積分的建立02牛頓和萊布尼茨在17世紀(jì)分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)，其中牛頓注重物理應(yīng)用，萊布尼茨則更關(guān)注數(shù)學(xué)形式。18-19世紀(jì)微積分的發(fā)展03柯西、魏爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家對(duì)微積分進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)化，建立了實(shí)數(shù)理論和極限理論，使微積分學(xué)成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。微積分的起源與發(fā)展微分微分是研究函數(shù)局部變化率的一種數(shù)學(xué)方法。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，其在點(diǎn)$x_0$處的微分$df(x_0)$定義為$f(x)$在$x_0$處的變化率，即$df(x_0)=lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax)-f(x_0)}{Deltax}$。積分積分是研究函數(shù)全局性質(zhì)的一種數(shù)學(xué)方法。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，其在區(qū)間$[a,b]$上的定積分$int_{a}^f(x)dx$定義為$f(x)$在$[a,b]$上與$x$軸圍成的面積。微分與積分的定義03微分與積分的互逆性微分和積分是互逆的運(yùn)算，即先微分后積分或先積分后微分可以恢復(fù)原函數(shù)。01以直代曲微積分的基本思想之一是以直代曲，即用直線段近似代替曲線段，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。02無(wú)限逼近通過(guò)取極限的方式，使得近似值無(wú)限逼近真實(shí)值，從而得到精確的結(jié)果。微積分的基本思想02微分學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)數(shù)的定義通過(guò)極限概念定義函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，反映函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)包括可導(dǎo)性與連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等。導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線斜率、法線方程等。導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)包括常數(shù)法則、冪函數(shù)法則、指數(shù)函數(shù)法則、對(duì)數(shù)函數(shù)法則、三角函數(shù)法則等。微分的基本法則通過(guò)基本法則推導(dǎo)出的微分公式，如乘積的微分、商的微分等。微分的計(jì)算公式求函數(shù)的極值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求曲線的弧長(zhǎng)等。微分的應(yīng)用微分法則與公式函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)，反映函數(shù)更高階的變化率。高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與一階導(dǎo)數(shù)類似的性質(zhì)，如可導(dǎo)性、連續(xù)性等。判斷函數(shù)的凹凸性、求函數(shù)的拐點(diǎn)、求解某些微分方程等。030201高階導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用03積分學(xué)基礎(chǔ)不定積分的性質(zhì)包括線性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、常數(shù)倍性質(zhì)等。原函數(shù)與不定積分的關(guān)系原函數(shù)是不定積分的結(jié)果，不定積分是求原函數(shù)的過(guò)程。不定積分的定義不定積分是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的過(guò)程，表示了函數(shù)圖像與x軸圍成的面積。不定積分的概念與性質(zhì)定積分的性質(zhì)包括線性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、常數(shù)倍性質(zhì)、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式等。定積分與不定積分的關(guān)系定積分可以通過(guò)不定積分進(jìn)行計(jì)算，但需要注意上下限的確定。定積分的定義定積分是求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的積分值，表示了函數(shù)圖像與x軸圍成的面積。定積分的概念與性質(zhì)包括冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)的積分公式?；镜姆e分公式包括乘積的積分、冪函數(shù)的積分、三角函數(shù)的積分、分式的積分等法則。積分法則如換元法、分部積分法等，用于解決一些特殊函數(shù)的積分問(wèn)題。特殊的積分方法積分法則與公式04微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理是微積分學(xué)中的一組重要定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。微分中值定理的核心思想是，如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值之差與區(qū)間長(zhǎng)度的比值相等。這些定理在解決微積分學(xué)中的許多問(wèn)題，如函數(shù)的單調(diào)性、極值、不等式證明等方面有著廣泛的應(yīng)用。微分中值定理的概述洛必達(dá)法則是求解未定式極限的一種有效方法，適用于分子分母同時(shí)趨于0或無(wú)窮大的情況。使用洛必達(dá)法則時(shí)，需要對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)的極限性質(zhì)求解原極限。洛必達(dá)法則在求解復(fù)雜函數(shù)的極限問(wèn)題時(shí)非常有用，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程并得出正確的結(jié)果。010203洛必達(dá)法則及其應(yīng)用泰勒公式及其應(yīng)用泰勒公式是用多項(xiàng)式逼近一個(gè)函數(shù)的方法，可以將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)表示為一個(gè)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式形式。泰勒公式在求解函數(shù)的極值、拐點(diǎn)、漸近線等問(wèn)題時(shí)非常有用，可以通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分析來(lái)得出原函數(shù)的性質(zhì)。此外，泰勒公式還可以用于數(shù)值計(jì)算中的近似計(jì)算，通過(guò)將函數(shù)展開(kāi)為多項(xiàng)式形式，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程并提高計(jì)算精度。05多元函數(shù)微積分學(xué)010203多元函數(shù)的定義設(shè)$D$為一個(gè)非空的$n$元有序數(shù)組的集合，$f$為某一確定的對(duì)應(yīng)規(guī)則。若對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組$(x1,x2,…,xn)∈D$，通過(guò)對(duì)應(yīng)規(guī)則$f$，都有唯一確定的實(shí)數(shù)$y$與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則$f$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)。多元函數(shù)的表示法二元函數(shù)一般用$z=f(x,y)$表示，三元函數(shù)一般用$u=f(x,y,z)$表示，以此類推。多元函數(shù)的定義域使多元函數(shù)有意義的自變量組合的全體，稱為多元函數(shù)的定義域。多元函數(shù)的基本概念偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)$y$固定在$y0$而$x$在$x0$處有增量$Deltax$時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)的極限存在，那么稱這個(gè)極限為函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$處對(duì)$x$的偏導(dǎo)數(shù)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二全微分的定義如果函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示為$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依賴于$Deltax,Deltay$而僅與$x,y$有關(guān)，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，此時(shí)稱函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$處可微，而$ADeltax+BDeltay$稱為函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$處的全微分。偏導(dǎo)數(shù)與全微分設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$的某鄰域內(nèi)有定義。如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于$(x0,y0)$的任一點(diǎn)$(x,y)$，都有$f(x,y)<f(x0,y0)$（或$f(x,y)>f(x0,y0)$），則稱函數(shù)在點(diǎn)$(x0,y0)$有極大值（或極小值）。多元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在閉區(qū)域$D$上有定義。如果存在點(diǎn)$(x0,y0)inD$，使得對(duì)于任意點(diǎn)$(x,y)inD$，都有$f(x,y)leqf(x0,y0)$（或$f(x,y)geqf(x0,y0)$），則稱函數(shù)在閉區(qū)域$D$上有最大值（或最小值），并且稱$(x0,y0)$是最大值（或最小值）點(diǎn)。多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的極值與最值06無(wú)窮級(jí)數(shù)與微分方程初步無(wú)窮級(jí)數(shù)的定義無(wú)窮級(jí)數(shù)是指由無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加而成的和，即$sum_{n=1}^{infty}a_n=a_1+a_2+a_3+cdots$。收斂與發(fā)散如果無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和序列有極限，則稱該無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，否則稱該無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。絕對(duì)收斂與條件收斂如果無(wú)窮級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂，則稱原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果原級(jí)數(shù)收斂但其絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱原級(jí)數(shù)條件收斂。無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)常微分方程的基本概念如果微分方程中未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱該微分方程為線性微分方程；否則稱為非線性微分方程。線性與非線性微分方程常微分方程是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，且導(dǎo)數(shù)（或微分）的階數(shù)是常數(shù)。常微分方程的定義微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階。微分方程的階可分離變量法形如$frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$的微分方程，可以通過(guò)分離變量法求解，即兩邊同時(shí)積分得到通解。齊次方程法形如$frac{dy}{dx}=frac{f(y)}{g