北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練 專(zhuān)題1.33 特殊平行四邊形中考真題專(zhuān)練（培優(yōu)篇）（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）

專(zhuān)題1.33特殊平行四邊形中考真題專(zhuān)練（培優(yōu)篇）（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．（2022·海南·中考真題）如圖，菱形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，垂直交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，若，則菱形的邊長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．2．（2021·湖南衡陽(yáng)·中考真題）如圖，矩形紙片，點(diǎn)M、N分別在矩形的邊、上，將矩形紙片沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接，交于點(diǎn)Q，連接．下列結(jié)論：①四邊形是菱形；②點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，；③的面積S的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③3．（2021·黑龍江綏化·中考真題）如圖所示，在矩形紙片中，，點(diǎn)分別是矩形的邊上的動(dòng)點(diǎn)，將該紙片沿直線(xiàn)折疊．使點(diǎn)落在矩形邊上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)，點(diǎn)落在處，連接與交于點(diǎn)．則下列結(jié)論成立的是（

）①；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)；③的面積的取值范圍是；④當(dāng)時(shí)，．A．①③ B．③④ C．②③ D．②④4．（2021·貴州黔西·中考真題）如圖，在正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．6．（2022·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形是菱形；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．18．（2021·安徽·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，過(guò)菱形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心O分別作邊AB，BC的垂線(xiàn)，交各邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．10．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形；第二次，順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形；…如此反復(fù)操作下去，則第n次操作后，得到四邊形的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2022·湖北宜昌·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，連接，，，若，，，矩形的面積為_(kāi)_______．12．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______；當(dāng)線(xiàn)段CP'的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______13．（2021·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在菱形中，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，、分別為、中點(diǎn)，，，則_____．14．（2021·遼寧盤(pán)錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，AD＝，點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)．以DP為折痕將△DAP翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'．連結(jié)AA'，AA'交PD于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，連結(jié)AQ，MQ，則AQ＋MQ的最小值是________15．（2021·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形中，連接，過(guò)點(diǎn)C作平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)E，且交于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)C作平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H，且交于點(diǎn)G，連接，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)________．16．（2021·浙江杭州·中考真題）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，把沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，連接，．若，則_____度．17．（2021·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，G為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)H，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．18．（2021·云南·中考真題）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，的平分線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)D．若的一條邊長(zhǎng)為6，則點(diǎn)D到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_________．三、解答題19．（2022·安徽·中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，連接DE．(1)如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；(2)如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線(xiàn)段AC．（?。┣蟆螩ED的大??；（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．20．（2022·福建·中考真題）已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．（2022·海南·中考真題）如圖1，矩形中，，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)將沿直線(xiàn)折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長(zhǎng)的最小值；③如圖2，交于點(diǎn)H，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．22．（2021·甘肅蘭州·中考真題）已知正方形，，為平面內(nèi)兩點(diǎn)．【探究建?！浚?）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)．求證：；【類(lèi)比應(yīng)用】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時(shí)，，，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)．猜想并證明線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系；【拓展遷移】（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時(shí)，，，，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)，與交于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．23．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上（不與重合），連接．將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．連接．（1）求證：①的面積；②；（2）如圖2，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，求的取值范圍．24．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問(wèn)四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形的對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)．猜想：與有什么關(guān)系？并證明你的猜想．（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)，，．已知，，求的長(zhǎng)．參考答案1．B【分析】過(guò)C作CM⊥AB延長(zhǎng)線(xiàn)于M，根據(jù)設(shè)，由菱形的性質(zhì)表示出BC=4x，BM=3x，根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可．解：過(guò)C作CM⊥AB延長(zhǎng)線(xiàn)于M，∵∴設(shè)∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)∴∵菱形∴，CE∥AB∵⊥，CM⊥AB∴四邊形EFMC是矩形∴，∴BM=3x在Rt△BCM中，∴，解得或（舍去）∴故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在本題的靈活運(yùn)用．屬于拔高題．2．C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，證明出，，通過(guò)等量代換，得到PM=CN，則由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得到結(jié)論正確；用勾股定理，，由菱形的性質(zhì)對(duì)角線(xiàn)互相垂直，再用勾股定理求出；當(dāng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，最小面積，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，S最大為，得出答案．解：①如圖1，∵，∴，∵折疊，∴，NC=NP∴，∴，∴PM=CN，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴平行四邊形為菱形，故①正確，符合題意；②當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，如圖2所示設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，，∴，又∵四邊形為菱形，∴，且，∴∴，故②錯(cuò)誤，不符合題意．③當(dāng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，如圖3所示：此時(shí)，最短，四邊形的面積最小，則S最小為，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，最長(zhǎng)，四邊形的面積最大，則S最大為，∴，故③正確，符合題意．故答案為：①③．故選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、折疊問(wèn)題、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理與性質(zhì)定理、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．3．D【分析】①根據(jù)題意可知四邊形BFGE為菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，則BG=2AB=6，又因?yàn)辄c(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以3<BG<．從而判斷①不正確；②如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，再利用勾股定理求解即可；③當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，的面積有最小值，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)的面積有最大值．故<<．④因?yàn)?，則EG=BF=6-=．根據(jù)勾股定理可得ME=，從而可求出△MEG的面積．解：①根據(jù)題意可知四邊形BFGE為菱形，∴EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，則BG=2AB=6，又∵點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴3<BG<．故①錯(cuò)誤；②如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，則EH=AB=3，在Rt△ABE中即解得：AE=，∴BF=DE=6-=．∴HF=-=．在Rt△EFH中=；故②正確；③當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖所示，的面積有最小值==，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)的面積有最大值==．故<<．故③錯(cuò)誤．④因?yàn)?，則EG=BF=6-=．根據(jù)勾股定理可得ME=，∴．故④正確．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)找到臨界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到

AB=BC=CD=AD，

∠B＝∠BCD＝90°，得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；求得∠CGD＝90°，根據(jù)垂直的定義得到

CE⊥DF，故②正確；延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)

于H，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義得到AE=BE，根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AH=AD，由AG是斜邊的中線(xiàn)，得到，

求得∠ADG＝∠AGD，根據(jù)余角的性質(zhì)得到

∠AGE＝∠CDF，故③正確．解：四邊形是正方形，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，在與中，，，，，故①正確；，，，，故②正確；，如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，是斜邊的中線(xiàn)，，，，，．故③正確；故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．C【分析】連接CF、CG、AE，證可得，當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，即得最小值；解：如圖，連接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴當(dāng)時(shí)，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值為，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．6．A【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，從而可得AD=BC=，最后求得AE的長(zhǎng)．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，∴BC=EC，在△BFC與△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形中的折疊問(wèn)題．7．A【分析】通過(guò)判定為等邊三角形求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線(xiàn)的性質(zhì)判斷④．解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又，，，是等邊三角形，，，，即，故①正確；在平行四邊形中，，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平行四邊形是菱形，故③正確；，在中，，，故②正確；在平行四邊形中，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故④正確；綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．8．A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的長(zhǎng)，即可求出該四邊形的周長(zhǎng)．解：∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的對(duì)邊平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因?yàn)镺點(diǎn)是菱形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，∴O點(diǎn)到各邊的距離相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四邊形EFGH是矩形；設(shè)OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，，如圖，連接AC，則AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，可得三角形ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE=∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為EF+FG+GH+HE=,故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，要求學(xué)生在理解相關(guān)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)應(yīng)用，能分析并綜合運(yùn)用相關(guān)條件完成線(xiàn)段關(guān)系的轉(zhuǎn)換，考查了學(xué)生的綜合分析與應(yīng)用的能力．9．A【分析】取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知E點(diǎn)、G點(diǎn)關(guān)于對(duì)角線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)，即有PE=PG，則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PE+PF=PG+PF最小，再證明四邊形AGFD是平行四邊形，即可求得FG=AD．解：取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，連接PG，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，且邊長(zhǎng)為2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E點(diǎn)、G點(diǎn)分別為AD、AB的中點(diǎn)，∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)E、點(diǎn)G關(guān)于對(duì)角線(xiàn)AC軸對(duì)稱(chēng)，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PE+PF=PG+PF最小，且為線(xiàn)段FG，如下圖，G、P、F三點(diǎn)共線(xiàn)，連接FG，∵F點(diǎn)是DC中點(diǎn)，G點(diǎn)為AB中點(diǎn)，∴，∵在菱形ABCD中，，∴，∴四邊形AGFD是平行四邊形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值為2，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，找到E點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．10．A【分析】利用中位線(xiàn)、菱形、矩形的性質(zhì)可知，每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半，由此可解．解：如圖，連接AC，BD，，．∵四邊形ABCD是矩形，∴，，．∵，，，分別是矩形四個(gè)邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是菱形，∵，，∴四邊形的面積為：．同理，由中位線(xiàn)的性質(zhì)可知，，，，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴四邊形的面積為：．∴每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半，∴四邊形的面積是．故選:A．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及中位線(xiàn)的性質(zhì)，證明四邊形是菱形，四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．11．48【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線(xiàn)等于斜邊的一半得出相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)，利用勾股定理逆定理判定，再結(jié)合即可得出結(jié)論．解：在矩形中，，在矩形中，，分別是，的中點(diǎn)，，是的中位線(xiàn)，即，在中，是的中點(diǎn)，，是斜邊上的中線(xiàn)，即，，在中，是的中點(diǎn)，，是斜邊上的中線(xiàn)，即，，在中，，，，即，是直角三角形，且，過(guò)作于，如圖所示：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查矩形面積，涉及到中位線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半、矩形的性質(zhì)、勾股定理逆定理、三角形等面積法等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)表示是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．

120°##120度

75°##75度【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角知△BPP′為等邊三角形，得到∠PP′B=60°；當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；將線(xiàn)段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再證明△ABP為等腰直角三角形，進(jìn)而得到∠EP′B=∠APB=45°，最后當(dāng)CP′⊥EF于H時(shí)，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°．解：由線(xiàn)段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BP'可知，△BPP′為等邊三角形，∴∠PP′B=60°，當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；將線(xiàn)段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，連接BE，設(shè)EP′交BC于G點(diǎn)，如下圖所示：則∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，∴∠ABP=∠EBP′，且BA=BE，BP=BP′，∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，由點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，∴△EBG于△P′CG均為30°、60°、90°直角三角形，設(shè)EG=x，BC=2y，則BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，又已知AB=BC，∴EP′=AB，又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，∴AB=AP，∴△ABP為等腰直角三角形，∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，當(dāng)CP′⊥EF于H時(shí)，CP′有最小值，此時(shí)∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，故答案為：120°，75°．【點(diǎn)撥】本題考察了三角形全等的判定方法、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．4【分析】連接CG，過(guò)點(diǎn)C作CM

AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形中位線(xiàn)定理可得CG=

2HF=

，由ABCD，得CDM=

A=

60°，設(shè)DM=

x，則CD=

2x，CM=x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得，即可求出x的值，從而解決問(wèn)題．解：如圖，連接CG，過(guò)點(diǎn)C作CM

AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，F(xiàn)、H分別為CE、GE中點(diǎn)，F(xiàn)H是△CEG的中位線(xiàn)，HF=CG，四邊形ABCD是菱形，

ADBC，ABCD，DGE

=E，EHF=

DGE，E=EHF，HF

=

EF

=

CF，CG=

2HF

=，ABCD，CDM=

A

=

60°，設(shè)DM=x，則CD=

2x，CM=x，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，DG=

x，GM=2x，在Rt△CMG中，由勾股定理得：，x=2，AB

=

CD=

2x=

4．故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，勾股定理等知識(shí)，有一定綜合性，作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，利用方程思想是解題的關(guān)鍵．14．【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)T，取AD的中點(diǎn)R，連接BT，QT，RT，RM．想辦法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根據(jù)QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得結(jié)論．解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)T，取AD的中點(diǎn)R，連接BT，QT，RT，RM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，∴RT＝，∵A，A′關(guān)于DP對(duì)稱(chēng)，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，∵M(jìn)T≥RT?RM，∴MT≥4，∴MT的最小值為4，∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，∴QA＋QM≥4，∴QA＋QM的最小值為4．故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出MT的最小值，屬于中考?？碱}型．15．【分析】先證明，可得CE=FE，BF=，同理：CH=GH，DG=，從而得HE=，再利用勾股定理得BD=，進(jìn)而即可求解．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE=∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC=∠BEF=90°，又∵BE=BE，∴，∴CE=FE，BF=同理：CH=GH，DG=，∴HE是的中位線(xiàn)，∴HE=，∵在矩形中，，，∴BD=，∴GF=BF+DG-BD=，∴=．【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線(xiàn)的性質(zhì)，推出HE是的中位線(xiàn)，是解題的關(guān)鍵．16．18【分析】連接MD，設(shè)∠DAF=x，利用折疊與等腰三角形的性質(zhì)，用x的代數(shù)式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可．解：連接MD，設(shè)∠DAF=x根據(jù)矩形的基本性質(zhì)可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x∴∠DMF=2x∵△DCE折疊得到△DFE∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE又MF=AB∴MF=DF∴∠MDF=2x∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°∴∠CDE=∠ACD=x∴∠FDE=∠CDE=x∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°∴x=18°故∠DAF=18°故答案為18．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的折疊問(wèn)題，能夠做出合適的輔助線(xiàn)用∠DAF表示出∠ADC是解題關(guān)鍵．17．【分析】先作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，求出CH和MG的長(zhǎng)，再求出MH的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求解即可．解：如圖,作OK⊥BC，垂足為點(diǎn)K，∵正方形邊長(zhǎng)為4，∴OK=2，KC=2，∴KC=CE，∴CH是△OKE的中位線(xiàn)∴，作GM⊥CD，垂足為點(diǎn)M，∵G點(diǎn)為EF中點(diǎn)，∴GM是△FCE的中位線(xiàn)，∴，，∴，在Rt△MHG中，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、勾股定理等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，得到三角形的中位線(xiàn)，利用三角形中位線(xiàn)定理求出相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)，利用勾股定理解直角三角形等．18．3或或或【分析】將△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分別分AB=BC=6，AC=6，進(jìn)行解答．解：∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，如圖，若∠ABC=90°，則∠ABC的平分線(xiàn)為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，D為對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，當(dāng)AB=BC=6，則DF=BC=3；當(dāng)AC=6，則AB=BC==，∴DF=BC=；如圖，若∠BAC=90°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，∴△BAD≌△BFD（AAS），∴AB=BF，當(dāng)AB=AC=6，則BC=，∴BF=6，CF=，在正方形ABEC中，∠ACB=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=；當(dāng)BC=6，則AB=AC==，同理可得：，綜上：點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離為：3或或或，故答案為：3或或或．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，解題時(shí)要結(jié)合題意畫(huà)出符合題意的圖形，分情況解答．19．(1)見(jiàn)分析(2)（?。?；（ⅱ）見(jiàn)分析【分析】（1）先根據(jù)DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根據(jù)“AAS”證明，得出DE=BC，得出四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形為菱形，得出四邊形BCDE為菱形；（2）（ⅰ）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形三線(xiàn)合一，證明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根據(jù)∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；（ⅱ）連接EF，根據(jù)已知條件和等腰三角形的性質(zhì)，算出，得出，證明，再證明，即可證明結(jié)論．(1)證明：∵DC=BC，CE⊥BD，∴DO=BO，∵，∴，，∴（AAS），∴，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∵CE⊥BD，∴四邊形BCDE為菱形．(2)（?。└鶕?jù)解析（1）可知，BO=DO，∴CE垂直平分BD，∴BE=DE，∵BO=DO，∴∠BEO=∠DEO，∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠DEO，∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，∴．（ⅱ）連接EF，∵EG⊥AC，∴，∴，∵∵AE=AF，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，，∴，，，，∴，，∴（AAS），．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)，得出，得出，是解題的關(guān)鍵．20．(1)見(jiàn)分析(2)，見(jiàn)分析(3)30°【分析】（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論；（2）先證出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，得到，等量代換即可得到結(jié)論；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，證得，得到，設(shè)，，則，得到α+β的關(guān)系即可．解：(1)∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；(2)結(jié)論：．證明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；(3)在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，設(shè)，，則，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，

∴，∴，即∠ADB＝30°．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想，做出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．21．(1)見(jiàn)分析(2)①見(jiàn)分析；；②12,；③，見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再結(jié)合P是的中點(diǎn)證明；（2）①設(shè)，在中，表示出三角形的其他兩邊，再由勾股定理列方程計(jì)算即可；②當(dāng)點(diǎn)恰好位于對(duì)角線(xiàn)上時(shí)，最小，利用勾股定理計(jì)算即可；③過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)M，證明，再由即可得到．(1)解：如圖9-1，在矩形中，，即，∴．∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴．∴．(2)①證明：如圖9-2，在矩形中，，∴．由折疊可知，∴．∴．在矩形中，，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴．由折疊可知，．設(shè)，則．∴．在中，由勾股定理得，∴，∴，即．②解：如圖9-3，由折疊可知，．∴．由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)恰好位于對(duì)角線(xiàn)上時(shí)，最小．連接，在中，，∴，∴，∴．③解：與的數(shù)量關(guān)系是．理由是：如圖9-4，由折疊可知．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)M，∵，∴，∴．∴，∴點(diǎn)H是中點(diǎn)．∵，即，∴．∵，∴．∴．∴．∵點(diǎn)G為中點(diǎn)，點(diǎn)H是中點(diǎn)，∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊問(wèn)題、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明．22．（1）見(jiàn)分析；（2）；理由見(jiàn)分析（3）【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)以及題意證明即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件證明，然后證明為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；（3）先證明，得出為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論．解：（1）∵四邊形是正方形，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，∴,∵，∴，∴,在和中，,∴,∴;（2）∵，四邊形是正方形，∴,,∴,∵，，∴,∴,在和中，,∴,∴,∴為等腰直角三角形，∴,即；（3）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接BD，∵，∵，∴，∵,∴，在和中，,∴,∴，，∵且,∴為等腰直角三角形，∴，在中，,∴,∵是正方對(duì)角線(xiàn)，∴,∵∴,∴為等腰直角三角形，∴,∴在中，,∴．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，熟知性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．23．（1）①見(jiàn)詳解；②見(jiàn)詳解；（2）4≤MN＜【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，證明，即可得到結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，證明，結(jié)合，可得GD=EH，同理：FG=AH，從而得，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，可得∠AMD=90°，