江蘇省2024屆高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)模擬卷（二）(含解析)

江蘇省2024屆高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)模擬卷（二）一、單選題1．某校高一年級(jí)15個(gè)班參加朗誦比賽的得分如下：858788898990919192939393949698則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為（

）A．90 B．91 C．90.5 D．922．已知圓C：及點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．直線與圓C始終有兩個(gè)交點(diǎn)B．若M是圓C上任一點(diǎn)，則|MQ|的取值范圍為C．若點(diǎn)在圓C上，則直線PQ的斜率為D．圓C與軸相切3．已知向量滿足與垂直，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．34．高一（1）班有8名身高都不相同的同學(xué)去參加紅歌合唱，他們站成前后對(duì)齊的2排，每排4人，則前排的同學(xué)都比后排對(duì)應(yīng)的同學(xué)矮的概率為（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，記，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和為（）A． B． C． D．6．已知球的直徑，，，是球球面上的三點(diǎn)，是等邊三角形，且，則三棱錐的體積為（

）.A． B． C． D．7．已知，且，則可能為（

）A． B． C． D．8．已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，當(dāng)，若關(guān)于x的不等式f(x+m)>f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．(-1,0)∪(0,+∞)

B．C． D．(2,+∞)二、多選題9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（

）

A．在上單調(diào)遞增B．在上有4個(gè)零點(diǎn)C．D．將的圖象向右平移個(gè)單位，可得的圖象10．若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（

）A． B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．11．某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為40cm的正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，則（

）A．該幾何體的頂點(diǎn)數(shù)為12B．該幾何體的棱數(shù)為24C．該幾何體的表面積為D．該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項(xiàng)三、填空題12．已知單位向量滿足，則.13．定義兩個(gè)點(diǎn)集S、T之間的距離集為，其中表示兩點(diǎn)P、Q之間的距離，已知k、，，，若，則t的值為.14．已知，過點(diǎn)傾斜角為的直線交于、兩點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），過點(diǎn)作軸，垂足為，現(xiàn)將所在平面以軸為翻折軸向紙面外翻折，使得，則幾何體外接球的表面積為．四、解答題15．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．16．我們平時(shí)常用的視力表叫做對(duì)數(shù)視力表，視力呈現(xiàn)為4.8，4.9，5.0，5.1．視力為正常視力．否則就是近視．某地區(qū)對(duì)學(xué)生視力與學(xué)習(xí)成績進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽查了100名近視學(xué)生的成績，得到頻率分布直方圖：(1)能否據(jù)此判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與視力狀況相關(guān)；（不需說明理由）(2)估計(jì)該地區(qū)近視學(xué)生學(xué)習(xí)成績的第85百分位數(shù)；（精確到0.1）(3)已知該地區(qū)學(xué)生的近視率為54%，學(xué)生成績的優(yōu)秀率為36%（成績分為優(yōu)秀），從該地區(qū)學(xué)生中任選一人，若此人的成績?yōu)閮?yōu)秀，求此人近視的概率．（以樣本中的頻率作為相應(yīng)的概率）17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)在截面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使平面，并說明理由．18．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點(diǎn)；(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．19．已知函數(shù)．(1)證明曲線在處的切線過原點(diǎn)；(2)討論的單調(diào)性；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：1．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意，，故這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為從小到大第6，7位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：C2．B【分析】根據(jù)題意分別求出圓心，半徑，由直線過定點(diǎn)可對(duì)A判斷；利用圓外一點(diǎn)到圓上距離知識(shí)可對(duì)B判斷；由在圓上可求得，即可對(duì)C判斷；根據(jù)圓心到軸的距離從而可對(duì)D判斷.【詳解】依題意，圓C：，圓心，半徑，對(duì)于A，直線恒過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓C外，則過點(diǎn)的直線與圓C可能相離，故A不正確；對(duì)于B，，點(diǎn)Q在圓C外，由得：，故B正確.對(duì)于C，點(diǎn)在圓C上，則，解得，而點(diǎn)，則直線PQ的斜率為，故C不正確；對(duì)于D，點(diǎn)到x軸距離為7，大于圓C的半徑，則圓C與軸相離，即圓C與x軸不相切，故D不正確；故選：B3．C【分析】向量垂直則數(shù)量積為零，由此求出，求，利用平方法轉(zhuǎn)化為數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算．【詳解】由與垂直，得，則，所以1，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：C4．D【分析】因?yàn)?名同學(xué)，所以任選兩人，身高都不同，只需將抽取的兩人安排到一組，高的同學(xué)站后即可.【詳解】名身高都不相同的同學(xué)站在8個(gè)不同的位置有種站法，將8名同學(xué)分為4組，每組2人，則有種分法，4組人有種站法，故所求概率.故選：D.5．C【分析】利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C6．B【分析】求得三棱錐的底面積和高，由此計(jì)算出三棱錐的體積.【詳解】設(shè)球心為，等邊三角形截面小圓的圓心為（也是等邊三角形的中心）.由于是等邊三角形，，所以平面，在面的投影即，也即等邊三角形的中心，且平面，則.因?yàn)槭侵睆剑?所以，.由于是等邊三角形的中心，所以，所以等邊三角形的高，.所以三棱錐的體積為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查與幾何體外接球有關(guān)的計(jì)算，屬于難題.7．B【分析】由得，化簡后可求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求出.【詳解】由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，②?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，③?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B8．B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，然后作出函數(shù)的圖象，對(duì)進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解即可．【詳解】若，，則，，則，是奇函數(shù)，，則，，，若，，則，，則，則，，，作出函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，的圖象向左平移，如圖，當(dāng)?shù)膱D象與在相切時(shí)，，此時(shí)對(duì)應(yīng)直線斜率，由，即，得．此時(shí)，又切點(diǎn)在直線上，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.當(dāng)時(shí)，的圖象向右平移，如圖，顯然不等式不恒成立.綜上的取值范圍是，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，求出函數(shù)的解析式以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．9．ABC【分析】結(jié)合圖象，得到函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，以及圖象變化判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由圖知，，所以或，又，所以，所以，又因?yàn)閳D象過，且為下降零點(diǎn)，所以，，故,結(jié)合圖象，即，所以，所以，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，，結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，在上單調(diào)遞增，故A正確；、對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，其中，結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，在上有4個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，即，即或，結(jié)合圖象可知，，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，將的圖象向右平移個(gè)單位，得，而，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.10．BCD【分析】對(duì)于A，令,可得；對(duì)于B，令，可得，即可判斷；對(duì)于C，令得，再令即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)條件可得,繼而，進(jìn)一步分析可得函數(shù)周期為4，分析求值即可.【詳解】對(duì)于A，令，則，因?yàn)椋?，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，則，故B正確；對(duì)于C，令得，，所以，令得，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，由得，又，所以，則，，所以，則函數(shù)的周期為，又，，則，，則，所以，故D正確，故選：BCD.11．ABD【分析】對(duì)于A，該幾何體的頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，由正方體有12條棱即可判斷；對(duì)于B，由該幾何體有6個(gè)面為正方形即可判斷；對(duì)于C，該幾何體的棱長為，根據(jù)正三角形及正方形的面積公式求解即可判斷；對(duì)于D，原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm，原正方體外接球的半徑為，該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為，根據(jù)球的表面積公式及等差中項(xiàng)的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，該幾何體的頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，正方體有12條棱，所以該幾何體的頂點(diǎn)數(shù)為12，故A正確；對(duì)于B，由題意知，該幾何體有6個(gè)面為正方形，故該幾何體的棱數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，該幾何體的棱長為，該幾何體有6個(gè)面為正方形，8個(gè)面為等邊三角形，所以該幾何體的表面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm，內(nèi)切球表面積為.原正方體外接球的半徑為，外接球表面積為.由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為，所以該幾何體外接球的表面積為.因?yàn)椋栽搸缀误w外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項(xiàng)，故D正確.故選:ABD.12．【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知可得，再由運(yùn)算律求即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則，故.故答案為：13．【分析】集合表示雙曲線上支的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，，故直線與漸近線平行，在漸近線下方，即，且與漸近線的距離為，計(jì)算得到答案.【詳解】，即，，故集合表示雙曲線上支的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，，故直線與漸近線平行，在漸近線下方，即，且與漸近線的距離為.雙曲線的漸近線為，不妨取，則，即，平行線的距離，故或（舍去）.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查了集合的新定義，直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)條件得到直線與漸近線平行，在漸近線下方，且與漸近線的距離為是解題的關(guān)鍵.14．【分析】翻折前，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后以以原坐標(biāo)原點(diǎn)為原點(diǎn)，原縱軸的負(fù)半軸所在直線為軸，直線所在直線為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線作軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心為，根據(jù)球心的性質(zhì)可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)未知數(shù)的值，可得出球心的坐標(biāo)，可求得球的半徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】翻折前，設(shè)點(diǎn)、，則，直線的方程為，聯(lián)立可得或，即點(diǎn)、，易知點(diǎn)，翻折后，以原坐標(biāo)原點(diǎn)為原點(diǎn)，原縱軸的負(fù)半軸所在直線為軸，直線所在直線為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線作軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)四棱錐的外接球球心為，由題意可得，解得，所以，球心為，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和分析求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意可得，則，即，解得，所以.（2）因?yàn)椋瑒t，且，即數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．16．(1)不能據(jù)此判斷(2)(3)0.72【分析】（1）由題干無法得出各成績層次近視率的情況即可判斷結(jié)果；（2）先估算出第85百分位數(shù)所在的組別，再運(yùn)用所占比率即可算得結(jié)果；（3）明確此題為條件概率，需要求積事件的概率，而這可以用乘法公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求得.【詳解】（1）因從題干頻率分布直方圖不可以看到，不同成績層次的同學(xué)近視率的情況，故不能據(jù)此判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與視力狀況相關(guān)；（2）由頻率分布直方圖可知，成績90分以下所占比例為，因此第85百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，可以估計(jì)該地區(qū)近視學(xué)生的學(xué)習(xí)成績的第85百分位數(shù)約為；（3）設(shè)“該地區(qū)近視學(xué)生”，“該地區(qū)優(yōu)秀學(xué)生”，由頻率分布直方圖可得,,，所以.即若此人的成績?yōu)閮?yōu)秀，則此人近視的概率為0.72.17．(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由題意可建立相應(yīng)空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量計(jì)算即可得；（2）假設(shè)存在，可設(shè)，，，，結(jié)合空間向量解出、，可得其與假設(shè)矛盾，故不存在.【詳解】（1）由平面，、平面，故、，又底面為正方形，故，即、、兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，可取，因?yàn)?，所以與平面所成角的正弦值為；

（2）假設(shè)截面內(nèi)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，，，，有，，，所以，因?yàn)槠矫妫?，所以，解得，這與假設(shè)矛盾，所以不存在點(diǎn)，使平面．18．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解出即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用，建立方程，解出后驗(yàn)證即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理得到條件，利用進(jìn)行計(jì)算，換元法求值域即可.【詳解】（1）由題設(shè)得，解得，所以的方程為；（2）由題意可設(shè)，設(shè)，，由，整理得，．由韋達(dá)定理得，，由得，即，整理得，因?yàn)?，得，解得或，時(shí)，直線過定點(diǎn)，不合題意，舍去；時(shí)，滿足，所以直線過定點(diǎn)．（3））由（2）得直線，所以，由，整