陜西省銅川市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省銅川市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）第I卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則=（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因為或，所以.故選：C.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗充分性：若，則；必要性：若則，則，得，或，故不滿足必要性綜上“”是“”充分不必要條件，故選：A.3.在2023年3月12日馬來西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來自中國的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績打破了“解三階魔方平均用時最短”吉尼斯世界紀(jì)錄稱號.如圖，一個三階魔方由27個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了之后，表面積增加了（）A.54 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，轉(zhuǎn)動了后，此時魔方相對原來魔方多出了16個小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，設(shè)直角邊，則斜邊為，則有，得到，由幾何關(guān)系得：陰影部分的面積為，所以增加的面積為.故選：C.4.已知的展開式中第9項為常數(shù)項，則展開式中的各項系數(shù)之和為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以，則,令，可得，所以展開式中的各項系數(shù)之和為．故選：A.5.函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：因為，即，所以，所以函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除；當(dāng)時，，即，因此，故排除A.故選:D.方法二：由方法一，知函數(shù)奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除；又，所以排除A.故選：D.6.在中，，.則（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗在中，由及正弦定理得，而，則，顯然，，解得，所以.故選：C7.過直線l：上一點P作圓M：的兩條切線，切點分別是A，B，則四邊形MAPB的面積最小值是（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗圓M：的圓心到直線l：的距離，故的最小值是3，又因為，則，故的面積的最小值是，故四邊形MAPB的面積的最小值是.故選：D.8.北京時間2023年2月10日0時16分，經(jīng)過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍?鄧清明?張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的聲強級（單位：）與聲強（單位：）滿足關(guān)系式：.若某人交談時的聲強級約為，且火箭發(fā)射時的聲強與此人交談時的聲強的比值約為，則火箭發(fā)射時的聲強級約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)人交談時的聲強為，則火箭發(fā)射時的聲強為，且，得，則火箭發(fā)射時的聲強約為，將其代入中，得，故火箭發(fā)射時的聲強級約為，故選:C.9.已知函數(shù)圖象一個對稱中心是，點在的圖象上，下列說法錯誤的是（）A. B.直線是圖象的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞減 D.是奇函數(shù)〖答案〗B〖解析〗因為點在的圖象上，所以.又，所以.因為圖象的一個對稱中心是，所以，，則，.又，所以，則，A正確.，則直線不是圖象一條對稱軸，B不正確.當(dāng)時，，單調(diào)遞減，C正確.，是奇函數(shù)，D正確.故選：B.10.在中，是邊上的點，滿足，在線段上（不含端點），且，則的最小值為（）A. B. C. D.8〖答案〗B〖解析〗因為是邊上的點，滿足，則，所以，，因為在線段上（不含端點），則存在實數(shù)，使得，所以，，又因為，且、不共線，則，故，因為，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：B.11.古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為，，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為②若，則③存在點，使得④的最小值為A.①③ B.②④ C.②③ D.①④〖答案〗D〖解析〗對于①：由，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故①正確；對于②：由定義可知，由余弦定理可得：，整理得，則，故②錯誤；對于③：設(shè)，，，由于，，則不存在點，使得，故③錯誤；對于④：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故④正確；故選：D.12.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A.. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗易知是偶函數(shù)，，當(dāng)時，因為，所以.令，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增.構(gòu)造函數(shù)，則.令，得，令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以，所以，所以，所以，即.故選:.第II卷（非選擇題）二、填空題13.已知有三個性質(zhì)：①最小正周期為2；②；③無零點．寫出一個同時具有性質(zhì)①②③，且定義域為的函數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗的定義域為，最小正周期為，，因為，所以，所以無零點．綜上，函數(shù)符合題意．故〖答案〗為：.14.構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國教育一直以來努力的方向，銅川市第一中學(xué)積極響應(yīng)黨的號召，開展各項有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動。如圖所示的是該校高三（1）、（2）班兩個班級在某次活動中的德智體美勞的評價得分對照圖（得分越高，說明該項教育越好），則下列結(jié)論正確的是__________.實線：高三（1）班的數(shù)據(jù)虛線：高三（2）班的數(shù)據(jù)①高三（2）班五項評價得分的極差為1.②除體育外，高三（1）班的各項評價得分均高于高三（2）班對應(yīng)的得分.③高三（1）班五項評價得分的平均數(shù)比高三（2）班五項評價得分的平均數(shù)要高.④各項評價得分中，這兩個班的體育得分相差最大.〖答案〗①③〖解析〗高三（1）班德智體美勞各項得分依次為9.5，9.5，9，9.5，9.25，高三（2）班德智體美勞各項得分依次為9.5，9，9.5，9，8.5，對于①，高三（2）班極差為，①正確；對于②，兩班的德育分相等，②錯誤；對于③，高三（1）班的平均數(shù)為，（2）班的平均數(shù)為，故③正確；對于④，兩班的體育分相差，而兩班的勞育得分相差，④錯誤，故〖答案〗為：①③15.2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標(biāo)為__________．〖答案〗〖解析〗由題可知在的同側(cè)，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得即．將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設(shè)將軍在河邊飲馬的地點為，則即為與的交點，，解得，所以．故〖答案〗為：16.A，B，C，D是球的球面上四點，，球心是的中點，四面體的體積為，則球的表面積為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知為球的直徑，設(shè)到面的距離為，易知等邊的面積為，所以，則球心到面的距離為1，設(shè)面，易知為等邊的外心，所以，故.故〖答案〗為：.三、解答題17.從①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并解答下列問題.已知為數(shù)列的前項和，，，且________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.解：（1）由，，當(dāng)時，，兩式相減得，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為.選①，由，，成等差數(shù)列，可得，即，解得，所以.選②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，所以.選③，由，得，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時，，記前項和中的奇數(shù)項之和為，則.當(dāng)為偶數(shù)時，，記前項和中的偶數(shù)項之和為，則，故.18.如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點．（1）證明：；（2）若點到平面的距離為，求平面與平面的夾角的正弦值．（1）證明：連接,因為四邊形為正方形，所以．在直三棱柱中，平面平面，由得，又平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，．設(shè)為平面ABD的一個法向量，則，即，得，令，則，故，由題意，，解得，所以，．設(shè)為平面BCD的一個法向量，則，即，令，則，，即，平面ABC的一個法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以，所以平面和平面的夾角的正弦值為．19.概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當(dāng)屬由兩位俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個非負(fù)隨機變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標(biāo)所對應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有（1）根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量成立．（2）某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實可信．解：（1）法一：對非負(fù)離散型隨機變量及正數(shù)使用馬爾科夫不等式，有．法二：設(shè)的分布列為其中，記，則對任意，.（2）設(shè)在100名患者中治愈的人數(shù)為．假設(shè)藥企關(guān)于此新藥有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實的，那么在此假設(shè)下，．由切比雪夫不等式，有．即在假設(shè)下，100名患者中治愈人數(shù)不超過60人的概率不超過0.04，此概率很小，據(jù)此我們有理由推斷藥廠的宣傳內(nèi)容不可信．20.已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知過右焦點的直線與交于兩點，在軸上是否存在一個定點，使？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）因為，所以.所以橢圓的方程為.因為點在橢圓上，所以，解得，所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）存在定點，使.理由如下：由（1）知，，則點.設(shè)在軸上存在定點，使成立.當(dāng)直線斜率為時，直線右焦點的直線即軸與交于長軸兩端點，若，則，或當(dāng)直線斜率不為時，設(shè)直線的方程為，.由消去并整理，得，則.因為，所以，所以，即.所以，即，恒成立，即對，恒成立，則，即.又點滿足條件.綜上所述，故存在定點，使.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，令，若為的極大值點，證明：.（1）解：函數(shù)的定義域為，①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由，得，由，得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：當(dāng)時，，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，且當(dāng)；又當(dāng)；故當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極大值，故，且，所以，，又在單調(diào)遞減，所以.選考題【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為上的動點，點滿足，設(shè)點的軌跡為曲線，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）直