復變函數(shù)柯西積分總結(jié)

復變函數(shù)的積分能力要求會通過轉(zhuǎn)化成兩個實變函數(shù)第一型曲線積分的方法來計算復變函數(shù)的積分。知道復變函數(shù)積分的四條性質(zhì)，特別注意前三條線性性質(zhì)。知道在什么時候可以用實變函數(shù)中的牛頓——萊布尼茨公式計算復變函數(shù)積分。會用柯西積分公式和高階導數(shù)公式(n=1,2,……)計算積分。會用復合閉路原理和閉路變形原理簡化積分計算。會判定一個復變函數(shù)是不是某一區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。會用偏積分法和不定積分法求共軛調(diào)和函數(shù)。重點知識點講解一、復變函數(shù)積分的基本計算法復變函數(shù)的積分是轉(zhuǎn)化成實變函數(shù)的第一型曲線積分來計算的，因此我們要先回顧第一型曲線積分的計算步驟。例題：沿計算積分的值第一步：化參數(shù)積分路徑是一條拋物線，它在復平面上的方程是，則。第二步：把原積分式中的x、y和dz都代掉。注意積分上下限的變化。積分的性質(zhì)最重要的是積分的線性性質(zhì)（書P74性質(zhì)前三條），第四條估值不等式能力要求稍高。用性質(zhì)、定理計算積分、定理回顧柯西-古薩基本定理如果函數(shù)在單連通域B內(nèi)處處解析，那么函數(shù)沿B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零。關(guān)鍵詞：處處解析封閉曲線積分為零注意：該定理中的C可以不是簡單曲線。閉路變形原理在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)不解析的點。關(guān)鍵詞：解析函數(shù)連續(xù)變形不經(jīng)過不解析點基本定理的推廣——復合閉路定理設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡單閉曲線，C1，C2，……，Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以C，C1，C2，……，Cn為邊界的區(qū)域全含于D。如果在D內(nèi)解析，那么i)，其中C及Ck均取正方向；ii)積分路徑為C及Ck所組成的符合閉路，C取逆時針，Ck取順時針。復合閉路定理告訴了我們被積函數(shù)在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)存在奇點的情況下積分的計算方法：圍繞每個奇點畫一個小圓作為積分路徑，把原積分拆成多個積分的和。雖然書上那一部分要求我們用73頁上的那個結(jié)果，但其實我們完全可以用后面的柯西積分公式和高階導數(shù)公式來解決，那是更具一般性的。柯西積分公式如果在區(qū)域D內(nèi)處處解析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，為C內(nèi)的任一點，那么關(guān)鍵詞：處處解析正向簡單閉曲線柯西積分公式的功效是把一個復變函數(shù)的積分和它在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)一點的函數(shù)值聯(lián)系起來了。不僅如此，它還給出了解析函數(shù)的一個積分表達式，從而在相關(guān)的證明問題中能有所作為。高階導數(shù)公式解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為：(n=1,2,……)其中C為在函數(shù)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部全含于D。關(guān)鍵詞：解析函數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系調(diào)和函數(shù)的定義如果二元實變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)并且滿足拉普拉斯方程，那么稱為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。注意：調(diào)和函數(shù)要放在一個區(qū)域里討論。定理任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，它的實部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。注意：該定理的逆命題不成立，即在D內(nèi)實部虛部都是調(diào)和函數(shù)的一個復變函數(shù)不一定在D內(nèi)解析。共軛調(diào)和函數(shù)定義設(shè)為區(qū)域D內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，使在D內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)稱為的共軛調(diào)和函數(shù)。該定理說明：區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)。注意這句話的次序不可顛倒！接下來重點講共軛調(diào)和函數(shù)的兩種求法。偏積分法求解過程（以知v求u為例）：求出和由柯西-黎曼方程中的得到，這就是偏積分。當然，也可以用，對y求偏積分。代入，確定。求積分過程中出現(xiàn)的常數(shù)c則要根據(jù)題給信息確定。不定積分法求解過程：根據(jù)復變函數(shù)在某一點處的導數(shù)公式（見P42）寫出的導數(shù)表達式。把它還原成z的函數(shù)，得到