北師大版數(shù)學(xué)必修5課后習(xí)題模塊綜合測評

模塊綜合測評(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于()A.8 B.10 C.12 D.14解析:因?yàn)镾3=3a1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a6=a1+(61)d=2+5×答案:C2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,則此三角形的最大邊長為()A.52 B.53 C.25 D.35解析:依題意,知三角形的最大邊為b.由于A=30°,根據(jù)正弦定理,得bsinB=asinA,所以答案:A3.在△ABC中,若AB=5,AC=5,且cosC=910,則BC為(A.4 B.5 C.4或5 D.3解析:設(shè)BC=x,由余弦定理得,5=x2+252×5·x·910,即x29x+20=0,解得x=4或x=5答案:C4.已知數(shù)列{an}滿足an+1an=2n(n∈N+),a1=3,則ann的最小值為(A.0 B.231 C.52解析:an=(anan1)+(an1an2)+…+(a2a1)+a1=2(n1)+2(n2)+…+2×1+3=n2n+3,所以ann=n1+3n≥52,當(dāng)且僅當(dāng)n=答案:C5.若在△ABC中,sinB·sinC=cos2A2,則△ABC的形狀為(A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形解析:由sinB·sinC=cos2A2可得2sinB·sinC=2cos2A2=1+cos即2sinB·sinC=1cos(B+C)=1cosBcosC+sinBsinC,所以sinBsinC+cosBcosC=1,即cos(BC)=1,又π<BC<π.所以BC=0,即B=C.答案:C6.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sk+2Sk=24,則k=()A.8 B.7 C.6 D.5解析:因?yàn)镾k+2Sk=24,所以ak+1+ak+2=24,所以a1+kd+a1+(k+1)d=24,所以2a1+(2k+1)d=24.又因?yàn)閍1=1,d=2,所以k=5.答案:D7.已知a,b,c,d成等比數(shù)列,且曲線y=x22x+3的頂點(diǎn)是(b,c),則ad等于()A.3 B.2 C.1 D.2解析:因?yàn)閥=x22x+3的頂點(diǎn)為(1,2),所以b=1,c=2.又因?yàn)閍,b,c,d成等比數(shù)列,所以a=12,d=4,所以ad=2答案:B8.(2017天津高考)設(shè)變量x,y滿足約束條件2x+y≥0,x+2A.23 B.1 C.3解析:由約束條件可得可行域如圖陰影部分所示.目標(biāo)函數(shù)z=x+y可化為y=x+z.作直線l0:y=x,平行移動(dòng)直線y=x,當(dāng)直線過點(diǎn)A(0,3)時(shí),z取得最大值,最大值為3.故選D.答案:D9.若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3A.(1,3) B.(∞,3)C.(∞,1)∪(2,+∞) D.(∞,+∞)解析:因?yàn)?x2+6x+3=2x+所以原不等式?2x2+2mx+m<4x2+6x+3?2x2+(62m)x+(3m)>0,x∈R恒成立?Δ=(62m)28(3m)<0,解得1<m<3.答案:A10.已知x,y都是正數(shù),且x+y=1,則4x+2+1A.1315 B.2 C.9解析:由題意知,x+2>0,y+1>0,(x+2)+(y+1)=4,則4x+2+1y+1=14[(x+2)+(y+1)]·4x+2+1y+1=答案:C11.已知a>0,x,y滿足約束條件x≥1,x+y≤3,y≥a(A.14 B.C.1 D.2解析:由題意作出x≥1,作直線2x+y=1,因?yàn)橹本€2x+y=1與直線x=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),結(jié)合題意知直線y=a(x3)過點(diǎn)(1,1),代入得a=12,所以a=1答案:B12.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194083已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2k=a2k1+(1)k,a2k+1=a2k+2k(k∈N+),則{an}的前60項(xiàng)的和S60=()A.231154 B.231124C.23294 D.232124解析:由題意,得a2=a11=0,a4=a3+1,a6=a51,…,a60=a59+1,所以S奇=S偶.又a2k1=a2k2+2k1(k≥2),代入a2k=a2k1+(1)k,得a2k=a2k2+2k1+(1)k(k≥2),所以a2=0,a4=a2+21+(1)2,a6=a4+22+(1)3,a8=a6+23+(1)4,…,a2k=a2k2+2k1+(1)k,所以a2k=2+22+…+2k1+(1)2+(1)3+…+(1)k=2k2+1-(-1)k-12=2k3+(-1)k-12,所以S偶=(2+22+23+…+229+230)32×30=2(1-230答案:C二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知函數(shù)f(x)=x-1x,x≥2,x,x<2,若使不等式解析:當(dāng)x≥2時(shí),由x1x<83化簡得,3x28解得13<x<3,所以2≤x<3當(dāng)x<2時(shí),x<83,所以x<2.所以x<3答案:{x|x<3}14.在△ABC中,若BC=2,A=2π3,則AB·解析:由余弦定理得BC2=AB2+AC22AB·AC·cosA≥2AB·AC+AB·AC=3AB·AC,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí),取等號(hào),所以AB·AC≤43,所以AB·AC=AB·AC·cosA≥23,則(AB·答案:215.已知函數(shù)f(x)=ax22(a>0,且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)A(m,n),則不等式組mx+ny+2≥0解析:函數(shù)f(x)=ax22(a>0,且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)A(2,1),即m=22x-y+2≥0,8x-y-4≤0,x≥0,y≥0,答案:216.設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列,若a2013和a2014是方程4x28x+3=0的兩根,則a2015+a2016=.

解析:因?yàn)閍2013和a2014是方程4x28x+3=0的兩根,而方程的兩個(gè)根是x1=12,x2=3又{an}的公比q>1,所以a2013=12,a2014=32,所以q=所以a2015+a2016=a2013q2+a2014q2=(a2013+a2014)q2=12+32×3答案:18三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值.解(1)因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b.由正弦定理得,sinA+sinC=2sinB.因?yàn)閟inB=sin[π(A+C)]=sin(A+C),所以sinA+sinC=2sin(A+C).(2)因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac.由余弦定理得,cosB=a2當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立.所以cosB的最小值為1218.(本小題滿分12分)已知關(guān)于x的不等式x+2m>1+(1)當(dāng)m>0時(shí),解這個(gè)不等式;(2)若此不等式的解集為{x|x>5},試求實(shí)數(shù)m的值.解(1)原不等式可化為m(x+2)>m2+x5,(m1)x>m22m5,若0<m<1,不等式的解集為xx若m=1,則不等式的解集為R;若m>1,則不等式的解集為xx(2)由題意和(1)知,m>1,且滿足xx>m2于是m2-2m-519.(本小題滿分12分)(2016浙江高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)證明:A=2B;(2)若△ABC的面積S=a24,求角A(1)證明由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(AB).又A,B∈(0,π),故0<AB<π,所以,B=π(AB)或B=AB,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)解由S=a24得12故有sinBsinC=12sin2B=sinBcos因sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=π2當(dāng)B+C=π2時(shí),A=π當(dāng)CB=π2時(shí),A=π綜上,A=π2或A=π20.(本小題滿分12分)已知在等差數(shù)列{an}中,a1,a2,a5成等比數(shù)列,且a2,a3+2,a6成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)定義:nP1+P2+…+Pn為n個(gè)正數(shù)P1,P2,…,Pn(①若數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為1an(n∈N+),求數(shù)列{bn}②求1b1·b2解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意有(解得a1=1,d=2,所以a(2)①由題意有nb所以b1+b2+…+bn=n·(2n1),①b1+b2+…+bn1=(n1)·[2(n1)1],n≥2.②由①②得bn=4n3(n≥2),又b1=1也符合,所以bn=4n3(n∈N+).②因?yàn)?=14所以1b1·b=1=1421.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194084(本小題滿分12分)如圖,設(shè)矩形ABCD(AB>AD)的周長為24,把它沿著AC折起來,AB折過去后,交DC于P,設(shè)AB=x.(1)如何用x來表示DP?(2)如何用x來表示△ADP的面積?(3)能否根據(jù)△ADP的面積表達(dá)式的特征來求此面積的最大值?解(1)因?yàn)锳B=x,所以AD=12x.又DP=PB',在△ADP中,AP=AB'PB'=ABDP=xDP,由勾股定理得(12x)2+DP2=(xDP)2,解得DP=1272x(2)△ADP的面積S=12AD·DP=12(12x)·12-72(3)能.因?yàn)閤>0,12x>0,x>12x,即6<x<12,所以6x+432x≥26x·432所以S=1086x+432x當(dāng)且僅當(dāng)6x=432x,即x=62時(shí),等號(hào)成立所以S有最大值,為108722.22.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194085(本小題滿分12分)(2017江蘇高考)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足:ank+ank+1+…+an1+an+1+…+an+k1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列.證明(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則an=a1+(n1)d,從而,當(dāng)n≥4時(shí),ank+an+k=a1+(nk1)d+a1+(n+k1)d=2a1+2(n1)d=2an,k=1,2,3,所以an3+an2+an1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”.(2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,因此,當(dāng)n≥3時(shí),an2+an1+an+1+an+2