6.2.2組合及組合數(shù)（原卷版）

6.2.2組合及組合數(shù)考法一組合的判斷【例1】（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)校考期中）下列四個問題屬于組合問題的是（

）A．從名志愿者中選出人分別參加導(dǎo)游和翻譯的工作B．從、、、這個數(shù)字中選取個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)C．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動會開幕式D．從全班同學(xué)中選出名同學(xué)分別擔(dān)任班長、副班長【一隅三反】1．（2023春·山西晉中·高二?？计谥校┫铝袉栴}中不是組合問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9個不同點(diǎn)，它們中任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條直線C．集合的含有三個元素的子集有多少個D．從高二（6）班的50名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法2．（2023春·高二單元測試）（多選）下列是組合問題的是（

）A．平面上有5個點(diǎn)，其中任意三個點(diǎn)不共線，這5個點(diǎn)最多可確定多少條直線？B．10支球隊以單循環(huán)進(jìn)行比賽（每兩隊比賽一次），共進(jìn)行多少場次？C．從10個人中選出3個為代表去開會，有多少種選法？D．從10個人中選出3個為不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）下面問題中，是組合問題的是（

）A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選5個數(shù)組成集合4．（2023秋·高二課時練習(xí)）判斷下列問題分別是排列問題還是組合問題：(1)從10名學(xué)生中任選5名去參觀一個展覽會，求有多少種不同的選法；(2)從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中，每次任取2個不同的數(shù)作為一個點(diǎn)的坐標(biāo)，求所有不同點(diǎn)的個數(shù)；(3)一個黃袋中裝有四張分別寫有1、3、5、7的卡片，另一個紅袋中裝有四張分別寫有2、8、16、32的卡片．從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，問這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和有多少種；(4)有四本不同的書要分別送給四個人，每人一本，問一共有多少種不同的送法．考法二組合數(shù)的計算【例21】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)（4）【例22】（2023秋·高二課時練習(xí)）解關(guān)于正整數(shù)x的方程：(1)；(2)．【例23】（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校?）已知、為正整數(shù)，，求證：：（2）已知、為正整數(shù)，求證：；（3）、為正整數(shù)，，求證：．【一隅三反】1．（2022春·江蘇鹽城·高二濱海縣五汛中學(xué)?？计谥校┫铝兴膫€命題中，假命題為（

）A． B．C． D．2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二?？计谀┯嬎?1)(2)3．（2023·陜西西安）解方程：(1)；(2)；(3)，求．4．（2023春·山西運(yùn)城·高二?？茧A段練習(xí)）解下列不等式：(1)；(2)．（3）（4）5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）（1）求證：；（2）求證：；（3）若m、n、r均為正整數(shù)，試證明：．考法三組合的實(shí)際應(yīng)用【例3】（2023春·廣東江門·高二校考期中）（多選）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，則下列說法錯誤的是（

）A．若任意選擇三門課程，則選法總數(shù)為B．若物理和化學(xué)至少選一門，則選法總數(shù)為C．若物理和歷史不能同時選，則選法總數(shù)為D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時選，則選法總數(shù)為【一隅三反】1．（2023秋·高二課時練習(xí)）（多選）某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4個參加社會公益活動，若選出的4人中既有男生又有女生，則（

）A．若選1男3女，有4種選法 B．若選2男2女，有18種選法C．若選3男1女，有12種選法 D．共有36種不同的選法2．（2022春·福建·高二福建師大附中?？计谥校ǘ噙x）新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有考生必考：“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可結(jié)合自身特長興趣在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科．下列說法正確的是（

）A．若任意選科，選法總數(shù)為B．若化學(xué)必選，選法總數(shù)為C．若政治和地理至多選一門，選法總數(shù)為D．若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為3．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）扶貧結(jié)對中，5名媽媽各帶一名孩子到農(nóng)村幫扶和體驗(yàn)生活（5個孩子中有3男2女）.村委會需要安排1名媽媽帶3個孩子去完成某項任務(wù)，且至少要選1個女孩，王林（男）和他的媽媽始終在一起，李臺（男）和他的媽媽有且僅有一人前往.則可選的方案的種數(shù)是（

）A．12 B．24 C．36 D．484．（2023春·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習(xí)）（多選）在某城市中，兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng)，甲隨機(jī)沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從地出發(fā)到地，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有41條C．若甲途經(jīng)地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經(jīng)地，且不經(jīng)過地，則不同的路徑共有8條考法四分組分配【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書.（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有種不同的分配方式；（2）甲?乙?丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有種不同的分配方式；（3）平均分成三份，每份2本，有種不同的分配方式；（4）平均分配給甲?乙?丙三人，每人2本，有種不同的分配方式；（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有種不同的分配方式；（6）甲?乙?丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有種不同的分配方式；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有種不同的分配方式.【一隅三反】1．（2023秋·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）為了保證疫情“社會面清零”，某鎮(zhèn)醫(yī)院派三名醫(yī)生到不同的四個學(xué)校進(jìn)行核酸檢測，每個醫(yī)生至少去一個學(xué)校且至多去兩個學(xué)校，每個學(xué)校只安排一位醫(yī)生，所有不同的分法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種2．（2023·安徽）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大學(xué)生分別做冰球、冰壺和短道速滑三個比賽項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人，學(xué)生甲被單獨(dú)安排到冰球比賽項目做志愿者的概率為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考期中）2022年10月16日中國共產(chǎn)黨二十大報告中指出“我們經(jīng)過接續(xù)奮斗，實(shí)現(xiàn)了小康這個中華民族的千年夢想，打贏人類歷史上規(guī)模最大的脫貧攻堅戰(zhàn)，歷史性地解決絕對貧困問題，為全球減貧事業(yè)作出了重大貢獻(xiàn)”，為進(jìn)一步了解和鞏固脫貧攻堅成果，某縣選派7名工作人員到A，B，C三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行調(diào)研活動，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少去1人，恰有兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)所派人數(shù)相同，則不同的安排方式共有（

）A．1176 B．2352 C．1722 D．13024．（2023安徽）有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6個小球和標(biāo)號為1，2，3，4的4個盒.（1）從6個小球中選出4個放入4個盒中，每盒只放1個小球.①求奇數(shù)號盒只放奇數(shù)號小球的不同放法種數(shù)；②求奇數(shù)號小球必須放在奇數(shù)號盒中的不同放法種數(shù).（2）若不許空盒且將6個小球都放入4個盒中，求所有不同的放法種數(shù).5.（2023新疆）（1）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有多少種放法；（2）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有一個盒子空，共有多少種放法；（3）10個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子不空，共有多少種放法；（4）4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有兩個盒子空，共有多少種放法？考法五排列組合綜合運(yùn)用【例51】（2022春·河北·高二唐山一中校聯(lián)考期中）從名男同學(xué)中選出人，名女同學(xué)中選出人．（此題結(jié)果用數(shù)字作答）(1)共有多少種不同的選法；(2)若把已選出的人排成一排．①若選出的名男同學(xué)必須相鄰，共有多少種不同的排法；②若選出的名男同學(xué)不相鄰，共有多少種不同的排法；③若兩個男生至少有一人排在兩端，共有多少種不同的排法；④指定一人為甲，一人為乙，若甲不站在排頭，乙不站在排尾，共有多少種不同的排法．【例52】（2023春·安徽·高二巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）（1）用五種不同的顏色給下圖中的四塊區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域顏色不同，則一共有多少種不同的涂色方法？（2）記正方體中兩條平行的棱為一對“平行棱”，現(xiàn)從正方體所有棱中任取4條，要求至少得到2對“平行棱”，則一共有多少種不同的取法？【一隅三反】1．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）將個不同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（2）將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（注：要寫出算式，結(jié)果用數(shù)字表示）2．（2023春·浙江·高二杭州市蕭山區(qū)第五高級中學(xué)校聯(lián)考期中）盒子中有個不同的白球和個不同的黑球.(1)若將這些小球取出后排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，共有多少種不同的排法？(2)隨機(jī)一次性摸出個球，使得摸出的三個球中至少有個黑球，共有多少種不同的摸球結(jié)果？(3)將這些小球分別放入另外三個不同的盒子，使得每個盒子至少一個球，共有多少種不同的放法？（注：要寫出算式，結(jié)果用數(shù)字表示）3（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，用四種不同的顏色給三棱柱的六個頂點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色．(1)若每個底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？(2)若每條棱的兩個端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高二?？计谥校?/p>

）A．35 B．56 C．70 D．842．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）近期多所學(xué)校發(fā)布了2023年強(qiáng)基計劃招生簡章，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，要報考復(fù)旦大學(xué)、南京大學(xué)、東南大學(xué)三所學(xué)校，每位同學(xué)只能報考其中的一所學(xué)校，且每所學(xué)校至少有一名同學(xué)報考，則不同的報考方法共有多少種（

）A．18 B．36 C．72 D．123．（2023春·云南保山·高二統(tǒng)考期中）“五一”假期將至，騰沖又將迎來今年的新一輪旅游熱潮．騰沖某旅行社適時推出了“火山熱?！?、“和順古鎮(zhèn)”、“疊水河畔”、“濕地荷韻”和“佤寨風(fēng)光”共五條旅游線路可供旅客選擇，其中“火山熱?！本€路只剩下一個名額，其余線路名額充足．現(xiàn)甲、乙、丙、丁四人前去報名，每人只選擇其中一條線路，四人選完后，恰好選擇了三條不同的線路．則他們報名的情況總共有（

）A．720種 B．360種 C．320種 D．288種4．（2023秋·新疆烏魯木齊）第十四屆全國人民代表大會于3月5日至13日在北京召開，政府工作報告總結(jié)了過去五年的巨大成就，繪就出未來五年的美好藍(lán)圖，既鼓舞人心，又催人奮進(jìn).為學(xué)習(xí)貫徹會議精神，現(xiàn)組織4名宣講員宣講會議精神，分配到3個社區(qū)，每個宣講員只分配到1個社區(qū)，每個社區(qū)至少分配1名宣講員，則不同的分配方案共有（

）A．72 B．12 C．36 D．245．（2023春·廣西南寧·高二賓陽中學(xué)校聯(lián)考期末）某中學(xué)舉行全區(qū)教研活動，有10名志愿者參加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，則教研活動當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（

）A． B．C． D．6．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考期末）“五一”假期期間，某旅游景區(qū)為加強(qiáng)游客的安全工作，決定增派甲、乙、丙、丁四位工作人員到、、三景點(diǎn)進(jìn)行安全防護(hù)宣傳，增派的每位工作人員必須到一個景點(diǎn)，且只能到一個景點(diǎn)做安全防護(hù)宣傳，每個景點(diǎn)至少增派一位工作人員.因工作需要，乙不能去景點(diǎn)，甲和乙不能同去一個景點(diǎn)，則不同的安排方法數(shù)為（

）A．20 B．30 C．42 D．607．（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．360種 B．264種 C．192種 D．144種8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)從給出的5種不同的顏色中最多可以選擇4種不同的顏色給這5個區(qū)域涂色；要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個區(qū)域只涂一種顏色．則不同的涂色方案有（

）種A．120 B．240 C．300 D．360多選題9．（2023春·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學(xué)?？计谥校楹霌P(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則()A．課程“射”“御”排在前兩周，共有24種排法B．某學(xué)生從中選5門，共有6種選法C．課程“禮”“書”“數(shù)”排在后三周，共有36種排法D．課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法10（2023春·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）第24屆冬奧會于2022年2月4日在中國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．甲，乙等5名志愿者計劃到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花樣滑冰4個比賽區(qū)從事志愿者活動，則下列說法正確的有（

）A．若短道速滑賽區(qū)必須安排2人，其余各安排1人，則有60種不同的方案B．若每個比賽區(qū)至少安排1人，則有480種不同的方案C．安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有48種不同的站法D．已知這5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中間，則有40種不同的站法11．（2023春·重慶·高二校聯(lián)考期中）距離高考不到1天時，國家教育部發(fā)布了《中國高考報告》，年的高考對各科都有重大的調(diào)整，為讓高二的學(xué)生各科的調(diào)整有所了解，某學(xué)校擬在一周內(nèi)組織數(shù)學(xué)、英語、語文、物理、化學(xué)的位該學(xué)科的骨干教師進(jìn)行“中國高考報告”的相應(yīng)學(xué)科講座，每天一科，連續(xù)天.則下列結(jié)論正確的是（

）A．從五位教師中選兩位的不同選法共有種B．?dāng)?shù)學(xué)不排在第一天的不同排法共有種C．?dāng)?shù)學(xué)、英語、語文排在都不相鄰的三天的不同排法共有種D．物理要排在化學(xué)的前面（可以不相鄰）的排法共有種12．（2023春·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）要從候選的位男同學(xué)、位女同學(xué)中選出位同學(xué)站成一排主持“慶?！逅摹嗄旯?jié)”文藝匯演，要求至少要有位男同學(xué)，若兩位男生均被選上，則這兩位男同學(xué)站位不能相鄰，那么（

）A．若位男同學(xué)同時被選中，則不同的站位方式有種B．若位男同學(xué)中恰有一位被選中，則不同的站位方式有種C．若女同學(xué)乙不能站兩邊，則不同的站位方式有種D．若男同學(xué)甲必須被選中，則不同的站位方式有種三、填空題13．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．如果某重卦中恰有2個陰爻，則該重卦可以有種．14．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）平潭城關(guān)中學(xué)校團(tuán)委準(zhǔn)備開展高三“喊樓”活動，決定從學(xué)生會文娛部的3名男生和2名女生中，隨機(jī)選取2人負(fù)責(zé)活動的主持工作，則恰好選中一名男生和一名女生的概率為．15．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）唐宋八大家，又稱唐宋散文八大家，是中國唐代韓愈、柳宗元，宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽修八位散文家的合稱，其中江西獨(dú)占三家，分別是：王安石、曾鞏、歐陽修，他們掀起的古文革新浪潮，使詩文發(fā)展的陳舊面貌煥然一新.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校決定從唐宋八大家中挑選五位，于某周末開展他們的散文賞析課，五位散文家的散文賞析課各安排一節(jié)，連排五節(jié).若在來自江西的三位散文家中至少選出兩人，且他們的散文賞析課互不相鄰，則不同的排課方法共有種.（用數(shù)字作答）16．（2022春·北京大興·高二統(tǒng)考期中）在涂色本的某頁上畫有排成一行的6條未涂色的魚，小明用紅?藍(lán)兩種顏色給這些魚涂色，每條魚只能涂一種顏色.有如下結(jié)論：①若恰有2條魚被涂成了紅色，則不同的涂色方法有15種；②若恰有2條不相鄰的魚被涂成了紅色，則不同的涂色方法有10種；③若涂色后，既有紅色魚又有藍(lán)色魚，則不同的涂色方法有63種.則正確結(jié)論的序號是.四．解答題17．（2022春·北京·高二?？计谥校?名男生和3名女生中各選2人，(1)共有多少種不同的選法？(2)如果男生甲與女生乙至少要有1人被選中，那么有多少種不同選法？(3)選出的4人參加百米接力賽，男生甲和女生乙同時被選中參賽，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少種不同的安排方法？（用數(shù)字作答）18．（2023春·天津河西·高二統(tǒng)考期中）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加、、三個智力競賽項目，每個人都要報名且只能參加一個項目．(1)共有多少種不同的報名