7.1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（課件）-高二數(shù)學(xué)（選擇性）

7.1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理第7章

計(jì)數(shù)原理教師xxx蘇教版（2019）

選擇性必修第二冊(cè)

用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？分析:因?yàn)榇髮懹⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26+10=36個(gè)不同的號(hào)碼.

問題引入從甲地到乙地，可以乘火車或乘汽車或乘輪船.其中，火車有4班,汽車有2班，輪船有3班.那么從甲地到乙地共有多少種不同的方法?分析:從甲地到乙地可以乘火車（4班）、乘汽車（2班）、乘輪船（3班），所以從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的方法.

問題引入思考：你能說出上述兩個(gè)問題有什么共同特征嗎？回答：要完成上述兩件事情（給座位編號(hào)、從甲地到乙地），都有不同的方案（每種方案包含多種方法）可以獨(dú)立完成需求.思考：你能舉出生活中類似的例子嗎？一個(gè)班學(xué)生站成一排照相，有多少不同的站法.學(xué)校食堂打菜，總共5個(gè)菜，每人選3個(gè)不同的菜，有多少種不同的選擇.問題引入一、分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：

每類中的任意一種方法都能獨(dú)立完成這件事情.N=m+n

種不同的方法探究新知(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能獨(dú)立完成這件事.(

)×√探究新知例題1

在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？典型例題例題講解

解：這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆]有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)

N=5+4=9典型例題思考：如果完成一件事有三類不同方案，每類方案中又分別有m,n,k種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？答：N=m+n+k思考：如果完成一件事有n類不同方案.在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有多少種不同的方法？答：N=m1+m2+……+mn探究新知用前6個(gè)大寫英文字母和1～9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，...，A9，B1，B2，...的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？思考：該問題與前一個(gè)問題有什么區(qū)別？答：該問題中，要完成編號(hào)，既要有大寫英文字母，又要有阿拉伯?dāng)?shù)字，只有兩者同時(shí)存在，才能完成座位編號(hào)；上一問題中，只要有英文字母或者數(shù)字中的一個(gè)即可完成座位編號(hào).探究新知字母

數(shù)字

得到的號(hào)碼A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9

解析:由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6×9＝54種不同的號(hào)碼.探究新知思考：你能說出上述問題有什么特征嗎？答：要完成上述事情，既要找出大寫英文字母又要找到阿拉伯?dāng)?shù)字，然后結(jié)合這兩步才能將這件事最終完成.探究新知完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事情.二、分步乘法計(jì)數(shù)原理N=m×n種不同的方法探究新知(1)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(

)(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(

)×√探究新知例題2某班有男生30名，女生24名，從中選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？解：第一步，從30名男生中選出1名，有30種不同選法；第二步，從24名女生中選出1名，有24種不同選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種不同的選法．典型例題例題3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?解：從書架上任取1本書，有三種方案：第一種方案從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第二種方案從第2層取1本文藝書，有3種方法；第三種方案從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4+3+2=9種.典型例題(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?解：分3步完成：第1步，從第1層取,1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步，從第,2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第,3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2=24種.典型例題兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵詞分類分步區(qū)別每類方法都能獨(dú)立完成這件事各步都完成，才能完成這件事各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨(dú)立”確保不重復(fù)聯(lián)系都是用來解決關(guān)于完成一件事的不同方法種數(shù)的問題探究新知能力形成點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理例1

(1)滿足a,b∈{-1,0,1,2},且使關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)根的有序數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)為(

)A.14 B.13

C.12

D.9B由于a,b∈{-1,0,1,2},則①當(dāng)a=0時(shí),有

為方程的實(shí)根,則b=-1,0,1,2,有4種;②當(dāng)a≠0時(shí),∵方程有實(shí)根,∴Δ=4-4ab≥0.∴ab≤1.(*)當(dāng)a=-1時(shí),滿足(*)式的b=-1,0,1,2,有4種;當(dāng)a=1時(shí),滿足(*)式的b=-1,0,1,有3種;當(dāng)a=2時(shí),滿足(*)式的b=-1,0,有2種.故由分類加法計(jì)數(shù)原理,滿足條件的有序數(shù)對(duì)(a,b)共有4+4+3+2=13(個(gè)).探究新知(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽子又被傳遞給甲,則不同的傳遞方法共有

種.6甲第一次傳遞給乙時(shí),滿足條件的傳遞方法有3種,如圖.

同理,甲第一次傳遞給丙時(shí),滿足條件的傳遞方法也有3種.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有3+3=6(種)不同的傳遞方法.探究新知解題心得利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程

探究新知對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)把甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng),要求每人參加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外兩名志愿者前面,則不同的安排方案共有(

)A.20種 B.30種C.40種 D.60種A將甲安排在周一,則在周二至周五中任選兩天安排乙、丙,共有4×3=12(種)安排方案.將甲安排在周二,則在周三至周五中任選兩天安排乙、丙,共有3×2=6(種)安排方案.將甲安排在周三,則乙、丙只能安排在周四和周五兩天,共有2種安排方案.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有12+6+2=20(種)不同的安排方案.探究新知(2)小王同學(xué)在書店發(fā)現(xiàn)三本想買的書,若他決定至少買一本,則購(gòu)買方式有

種.

7只買一本,購(gòu)買方式有3種;只買兩本,購(gòu)買方式有3種;三本全買,購(gòu)買方式有1種.故購(gòu)買方式共有3+3+1=7(種).探究新知能力形成點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理例2

(1)從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù),則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為(

)A.56 B.54

C.53 D.52D從8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共組成8×7=56(個(gè))對(duì)數(shù)值,但在這56個(gè)對(duì)數(shù)值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,故滿足條件的對(duì)數(shù)值共有56-4=52(個(gè)).探究新知(2)從集合{1,2,3,4,…,10}中,選出5個(gè)數(shù)組成子集,使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11,則這樣的子集個(gè)數(shù)為(

)A.32 B.34

C.36 D.38A把集合中的數(shù)分成5組:{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6}.因?yàn)檫x出的5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11,所以從每組中任選一個(gè)數(shù)即可,故共可組成2×2×2×2×2=32(個(gè))這樣的子集.探究新知解題心得1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的,并且分步必須滿足:完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的,只有各個(gè)步驟都完成了,才算完成這件事.2.分步必須滿足的兩個(gè)條件:一是各步驟相互獨(dú)立,互不干擾;二是步與步之間確保連續(xù),逐步完成.探究新知對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)有5盆菊花,其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆,現(xiàn)把它們擺放成一排,要求2盆黃菊花必須相鄰,2盆白菊花不能相鄰,則這5盆花不同的擺放種數(shù)是(

)A.12 B.24 C.36

D.48B第一步,擺放2盆黃菊花和1盆紅菊花,因?yàn)?盆黃菊花必須相鄰,所以將2盆黃菊花看成一個(gè)整體,與1盆紅菊花擺放成一排,有2×2=4(種)擺放方法.第二步,擺放2盆白菊花,因?yàn)?盆白菊花不能相鄰,所以將2盆白菊花插空擺入,有3×2=6(種)擺放方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,這5盆花不同的擺放種數(shù)為4×6=24.探究新知(2)在運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽中,8名男運(yùn)動(dòng)員參加100m決賽.其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上,則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有

種.

2880第一步,安排甲、乙、丙三人,因?yàn)榧?、乙、丙三人必須在奇?shù)號(hào)跑道上,奇數(shù)號(hào)跑道有4條,所以有4×3×2=24(種)安排方式.第二步,安排另外五人,有5×4×3×2×1=120(種)安排方式.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的安排方式共有24×120=2880(種).能力形成點(diǎn)3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3

(1)某校在暑假組織社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),將8名高一年級(jí)學(xué)生平均分配給甲、乙兩家公司,其中2名英語成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生不能分給同一個(gè)公司;另3名有電腦特長(zhǎng)的學(xué)生也不能分給同一個(gè)公司,則不同的分配方案有(

)A.36種 B.38種 C.108種

D.114種A由題意可得,有2類分配方案.第1類方案:甲公司要2名電腦特長(zhǎng)學(xué)生,有3種情況;要1名英語成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生,有2種情況;再?gòu)氖Ｏ碌?人中選一人,有3種情況,故共有3×2×3=18(種)分配方案.第2類方案:甲公司要1名電腦特長(zhǎng)學(xué)生,有3種情況;要1名英語成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生,有2種情況;再?gòu)氖Ｏ碌?人中選2人,有3種情況,故共有3×2×3=18(種)分配方案.由分類加法計(jì)數(shù)原理,可得不同的分配方案共有18+18=36(種).故選A.(2)如圖,用5種不同顏色的染料給A,B,C,D四個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色,要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能使用同一種顏色,則不同的涂色方法的種數(shù)是(

)A.120

B.140

C.240 D.260D依題意,第一步,涂A區(qū)域,有5種涂色方法.第二步,涂B區(qū)域,有4種涂色方法.第三步,涂C,D區(qū)域,若C區(qū)域與A區(qū)域所涂顏色相同,則C區(qū)域有1種涂色方法,D區(qū)域有4種涂色方法;若C區(qū)域與A區(qū)域所涂顏色不同,則C區(qū)域有3種涂色方法,D區(qū)域有3種涂色方法.故不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×3)=260(種).故選D.探究新知解題心得綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí),一般是先分類再分步.分類后分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),在計(jì)算每一類時(shí)可能要分步,在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理.探究新知對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有(

)A.144個(gè) B.120個(gè)

C.96個(gè) D.72個(gè)B探究新知(2)如圖,將5種不同的花卉種植在A,B,C,D四個(gè)區(qū)域中,每個(gè)區(qū)域種植一種花卉,且相鄰區(qū)域種植的花卉不同,則不同的種植方法種數(shù)是(

)A.420 B.180

C.64 D.25B先種植A,B,C三個(gè)區(qū)域,因?yàn)锳,B,C三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰,所以種植方法有5×4×3=60(種);再種植D區(qū)域,因?yàn)镈區(qū)域與B,C兩個(gè)區(qū)域相鄰,所以種植方法有3種.故不同的種植方法有60×3=180(種).1．有A，B兩種類