高中數(shù)學北師大版練習第一章1-2第1課時集合間的基本關系

1.2集合的基本關系第1課時集合間的基本關系1．空集沒有子集．()2．空集是任何一個集合的真子集．()3．任一集合必有兩個或兩個以上子集．()4．若B?A，那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B.()5．{a}∈{a，b}．()【解析】1.提示：×.空集有一個子集是空集；2．提示：×.空集沒有真子集；3．提示：×.可舉反例，空集這一個集合就只有自身一個子集；4．提示：√.當x∈B時必有x∈A，則xA時也必有xB；5．提示：×.{a}，{a，b}為兩個集合，應用包含符號表示為{a}?{a，b}．·題組一集合關系的判斷1．集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(x－3,x＋2)＝0))))，則A與B的關系是()A．ABB．A＝BC．A?BD．B?A【解析】選D.因為A＝{－2，3}，B＝{3}，所以B?A.2．已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0<x<1}，則()A．A＝BB．ABC．B?AD．A?B【解析】選C.在數(shù)軸上分別畫出集合A，B，如圖所示，由數(shù)軸知B?A.3．以下關于集合關系的表示，不正確的是()A．?∈{?} B．??{?}C．?∈N* D．??N*【解析】選C.對于A選項，集合中含有空集這一個元素，故A選項正確．空集是任何集合的子集，故B，D兩個選項正確．對于C選項，空集不是正整數(shù)集的元素，C選項錯誤．4．指出下列各對集合之間的關系：(1)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解析】(1)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故A?B.(2)集合B＝{x|x<5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如圖所示，由圖可知A?B.(3)由列舉法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.·題組二子集、真子集個數(shù)問題1．已知A＝{0，1，2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，5))，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則集合M的真子集個數(shù)為()A．15B．16C．31D．32【解析】選A.因為A＝{0，1，2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，5))，M＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝a＋b，a∈A，b∈B))))，所以M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，5，6，7))，即集合M中有4個元素，所以集合M的真子集個數(shù)為24－1＝15.2．集合{a，b，c}的所有子集為________________，其中它的真子集有________個．【解析】集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7個．答案：?，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}73．滿足{3，4}P?{0，1，2，3，4}的集合P有________個．【解析】由題意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三個元素的集合，因此所有滿足題意的集合P為{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}．故有7個．答案：7·題組三利用子集的性質(zhì)求參數(shù)1．已知集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(ax2－3x＋2＝0))))的子集只有兩個，則實數(shù)a的值為()A．eq\f(9,8)B．0C．eq\f(9,8)或0D．無解【解析】選C.由集合A的子集有兩個，則集合A有一個元素，當a＝0時，A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(ax2－3x＋2＝0))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3x＋2＝0))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，符合題意，當a≠0時，ax2－3x＋2＝0有一個解，則Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq\f(9,8)，綜上可得a＝0或a＝eq\f(9,8).2．若集合A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}，且BA，則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【解析】選C.由BA，知x2＝3或x2＝x，解得x＝±eq\r(3)或x＝0或x＝1.當x＝1時，集合A，B都不滿足元素的互異性，故x＝1不合題意．3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且BA，則實數(shù)m的取值范圍是()A．{1，3}B．{0，1，3}C．{1}D．{3}【解析】選B.由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，所以集合A＝{1，3}．①當B＝?時，此時m＝0，滿足BA.②當B≠?時，則m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,m))).因為BA，所以eq\f(3,m)＝1或eq\f(3,m)＝3，解得m＝3或m＝1.綜上可知，所求實數(shù)m的取值集合為{0，1，3}．4．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B?A.求實數(shù)m的取值范圍．【解析】因為B?A，①當B＝?時，m＋1≤2m－1，解得m≥2.②當B≠?時，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2，綜上得m≥－1.易錯點一混淆符號“∈”與“?”的意義(2021·衡水高一檢測)已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x?A}，則下列關于集合A與B的關系正確的是()A．A?BB．ABC．BAD．A∈B【解析】選D.因為x?A，所以x表示集合A的子集，所以B＝{?，{1}，{2}，{1，2}}，則集合A＝{1，2}是集合B中的元素，所以A∈B.【易錯誤區(qū)】本題比較特殊，集合B中的元素是集合，當集合A是集合B的元素時，A與B是屬于關系．易錯點二忽略空集的存在已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．當x∈R時，若沒有元素使x∈A與x∈B同時成立，則實數(shù)m的取值范圍為________．【解析】由題意知x∈R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且沒有元素使x∈A與x∈B同時成立．①若B＝?，則由m＋1>2m－1，得m<2，滿足條件；②若B≠?，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1>5，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,2m－1<－2，))解得m>4.綜上可得，m的取值范圍是m<2或m>4.答案：m<2或m>4【易錯誤區(qū)】忽略B＝?的情況，導致解答時漏掉m<2.eq\a\vs4\al()水平1、2學生用書P6限時30分鐘分值60分戰(zhàn)報得分______一、選擇題(每小題5分，共30分)1．以下六個命題中：0∈{0}；{0}?；0.3Q；0∈N；{a，b}?{b，a}；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－2＝0，x∈Z))是空集．正確的個數(shù)是()A．4B．3C．5D．2【解析】選C.根據(jù)元素與集合間的關系可判定0∈{0}、0∈N正確，0.3Q不正確，根據(jù)集合與集合之間的關系可判定{0}?、{a，b}?{b，a}、{x|x2－2＝0，x∈Z}是空集正確．【變式備選】設集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,3)，n∈Z))))，B＝{x|x＝n＋eq\f(1,2)，n∈Z}，則下列圖形能表示A與B關系的是()【解析】選D.對于集合A，x＝eq\f(n,3)＝eq\f(2n,6)，對于集合B，x＝n＋eq\f(1,2)＝eq\f(6n＋3,6)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3n＋1))＋1,6)，集合A的分子代表偶數(shù)，集合B的分子代表奇數(shù)，則集合A和集合B沒有交集．Ｋ2．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，B＝{x|mx－1＝0}，若B?A，則所有實數(shù)m組成的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，2))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－1，2))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))【解析】選C.因為B?A，若m＝0，則B＝?，此時滿足條件；若m≠0，則B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)))，則eq\f(1,m)＝－1或eq\f(1,m)＝eq\f(1,2)，解得m＝－1或m＝2，綜上，所有實數(shù)m組成的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－1，2)).【變式備選】已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，則實數(shù)m＝()A．3B．2C．2或3D．0或2或3【解析】選D.因為A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(6,m)))，因為B?A，所以2＝eq\f(6,m)，或3＝eq\f(6,m)，或eq\f(6,m)不存在，所以m＝2或m＝3或m＝0.Ｋ3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<6，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為()A．3B．4C．8D．16【解析】選C.A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，B＝{x|0<x<6，x∈N}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))，由A?C?B，則集合C中必有元素1，2，而元素3，4，5可以沒有，可以有1個，或2個，或3個．即滿足條件的集合C為{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，3，5}共8個．【變式備選】設集合Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2x2－5x≤0，x∈N))))，且P?Q，則滿足條件的集合P的個數(shù)是()A．3B．4C．7D．8【解析】選D.Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2x2－5x≤0，x∈N))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(5,2)，x∈N))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2))，所以滿足P?Q的集合P有23＝8個．Ｋ4．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))，則集合A，B間的關系為()A．ABB．ABC．A＝BD．A?B【解析】選B.因為B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，所以BA.5．(多選)若A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＝0))))，B＝{x|ax－6＝0}，且B?A，則實數(shù)a的值可以是()A．0B．1C．2D．3【解析】選ACD.A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＝0))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3))，①當B＝?時，B?A，此時a＝0，②當B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2))時，B?A，此時a×2－6＝0，即a＝3，③當B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3))時，B?A，此時a×3－6＝0，即a＝2，綜上a的值為0或2或3.6．(多選)設A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，若CA，且B?C.則集合C可以是()A．{1，2}B．{1，2，3}C．{1，2，4}D．{1，2，3，4}【解析】選ABC.因為A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，B?C，所以C中至少有元素1，2.又因為CA，所以C＝{1，2}，或{1，2，3}，或{1，2，4}．二、填空題(每小題5分，共20分)7．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．若A?B，則a的取值范圍為________．【解析】若A?B，由圖可知a≥2.答案：a≥28．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|a－1≤x≤2a－1}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】由題意，集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|a－1≤x≤2a－1}，因為B?A，若B＝?，則2a－1<a－1，即a<0時，滿足B?A；若B≠?，則a－1≤2a－1，即a≥0.要使B?A，需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0，,a－1≥－1，,2a－1≤1，))解得0≤a≤1，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a≤1.答案：a≤19．(練情境)如圖反映的是“文學作品”“散文”“小說”“敘事散文”這四個文學概念的關系，請在下面的空格上填入適當?shù)膬?nèi)容：A為________，B為________，C為________，D為________．【解析】由Venn圖可得，B的范圍最大，可知B為“文學作品”，由C，D之間存在包含關系可知，C為“敘事散文”，D為“散文”；剩下A為“小說”．答案：小說文學作品敘事散文散文10．若集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(（k＋2）x2＋2kx＋1＝0))))有且僅有2個子集，則滿足條件的實數(shù)k的個數(shù)是________．【解析】若集合A有且只有2個子集，則方程(k＋2)x2＋2kx＋1＝0有且只有1個實數(shù)根，k＋2＝0，即k＝－2時，方程化為－4x＋1＝0，x＝eq\f(1,4)，符合題意；k＋2≠0，即k≠－2時，只需Δ＝4k2－4(k＋2)＝0，解得k＝－1或k＝2，故滿足條件的k的值有3個．答案：3三、解答題11．(10分)設集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)當x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)；(2)若AB，求m的取值范圍．【解析】化簡集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．(1)因為x∈Z，所以A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8個元素，所以A的非空真子集個數(shù)為28－2＝254(個).(2)①當m－1≥2m＋1，即m≤－2時，B＝??A；②當m>－2時，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，因此，要B?A，則只要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,2m＋1≤5，))即－1≤m≤2.綜上所述m的取值范圍是{m|－1≤m≤2或m≤－2}．1．(金榜原創(chuàng)題)已知集合A＝{2，4，6，8}，B＝{1，2，3，5}，非空集合C是這樣一個集合：其各元素都加2后，就變成A的一個子集；若各元素都減2后，則變?yōu)锽的一個子集，則集合C＝________.【解析】集合A中各元素都減去2，則得集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2，4，6))；集合B中各元素都加上2，則得集合eq\b\