成都市高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精成都市2017級(jí)高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理科)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1。復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則的虛部為（)A。 B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為。故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題。2.設(shè)全集集合，則（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又,所以。故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.3.某中學(xué)有高中生人,初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個(gè)容量為的樣本。若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可?！驹斀狻坑深}意，,解得。故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B。C. D.【答案】D【解析】【分析】只需利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即可?！驹斀狻坑梢阎?，故切線的斜率為，所以切線方程為，即.故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點(diǎn)處的切線與過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，是一道基礎(chǔ)題。5.已知銳角滿足則（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用代入計(jì)算即可【詳解】由已知，，因?yàn)殇J角，所以，，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題。6。函數(shù)在的圖象大致為（)A。 B。C. D.【答案】B【解析】【分析】由可排除選項(xiàng)C、D；再由可排除選項(xiàng)A?！驹斀狻恳?yàn)椋蕿槠婧瘮?shù)，排除C、D；又，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問題，在做這類題時(shí)，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等，是一道基礎(chǔ)題。7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為(）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán)。【詳解】第一次循環(huán)：;第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán),輸出的為。故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.8.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為（）A。 B.C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】,將看成一個(gè)整體，結(jié)合的對(duì)稱性即可得到答案.【詳解】由已知，,令，得。故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱性的問題，在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí),一般采用整體法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道容易題.9.如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率。故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.10。在正方體中,點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A。 B. C. D。【答案】B【解析】【分析】作出圖形，設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、，連接、、，取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，推導(dǎo)出，由線面平行的性質(zhì)定理可得出，可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),同理可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值?！驹斀狻咳缦聢D所示:設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、，連接、、，取的中點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，四邊形為正方形，、分別為、的中點(diǎn)，則且，四邊形為平行四邊形，且,且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得,若平面，則平面，又平面，則平面，此時(shí)，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形,可得,為的中點(diǎn)，同理可證為的中點(diǎn),,，因此，。故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查線段長度比值的計(jì)算,涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點(diǎn)位置，考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.11。已知為圓的一條直徑，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式組則的取值范圍為(）A. B.C。 D.【答案】D【解析】【分析】首先將轉(zhuǎn)化為，只需求出的取值范圍即可,而表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與圓心距離,數(shù)形結(jié)合即可得到答案?！驹斀狻孔鞒隹尚杏蛉鐖D所示設(shè)圓心為，則，過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題,涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，是一道中檔題。12.已知函數(shù)，。若存在,使得成立，則的最大值為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，，由可得出，，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得出，由此可得出，可得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】，，由于，則,同理可知，，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)恒成立,所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，,則,，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí),，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，。故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及指對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，有一定的難度.第Ⅱ卷（共90分)二、填空題（每題5分,滿分20分，將答案填在答題紙上）13.的展開式中的系數(shù)為________________．【答案】【解析】【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項(xiàng)可得出結(jié)果。【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，因此，的展開式中的系數(shù)為。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，涉及二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知，則的面積為___________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理先算出c，再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得，即,解得,故的面積。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.15。已知各棱長都相等的直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）所有頂點(diǎn)都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為___________．【答案】【解析】【分析】只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程,解方程即可解決?！驹斀狻坑梢阎?，，解得，如圖所示,設(shè)底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，，故,即,解得，故三棱柱的側(cè)面積為。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題。16.經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)。設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為。則的值是________________．【答案】【解析】【分析】作出圖形，設(shè)點(diǎn),則、,設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得出，利用斜率公式得出,進(jìn)而可得出,可得出，由此可求得的值?！驹斀狻吭O(shè)點(diǎn),則、，設(shè)點(diǎn),則，兩式相減得，即,即，由斜率公式得，,,故,因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解,涉及了點(diǎn)差法與斜率公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題。三、解答題（本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)17。已知是遞增的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）?！窘馕觥俊痉治觥浚á瘢┰O(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ）求得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得。【詳解】(Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為,由題意及，知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列，,,即,解得或(舍去）,.數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（Ⅱ)，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面,為的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：平面平面；(Ⅱ）若,求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ)?！窘馕觥俊痉治觥浚á?由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進(jìn)而可推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】(Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面,又平面,平面平面;（Ⅱ)取的中點(diǎn),連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在中，，，，、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量，,，由，得，令，則，，。設(shè)平面的一個(gè)法向量,，,由，得，取,得，，得.,二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為。【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題。19.某動(dòng)漫影視制作公司長期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品,獲得市場和廣大觀眾的一致好評(píng)，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號(hào)線性相關(guān)).年份年份代號(hào)年利潤（單位：億元）(Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司年（年份代號(hào)記為）的年利潤；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤的實(shí)際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤的估計(jì)值時(shí)，稱該年為級(jí)利潤年，否則稱為級(jí)利潤年。將(Ⅰ）中預(yù)測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實(shí)際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級(jí)利潤年的概率。參考公式：，.【答案】（Ⅰ），該公司年年利潤的預(yù)測值為億元；（Ⅱ)?！窘馕觥俊痉治觥浚á?求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求得和的值,進(jìn)而可求得關(guān)于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程，可得出該公司年年利潤的估計(jì)值;(Ⅱ)利用（Ⅰ）中的回歸直線方程計(jì)算出從年至年這年被評(píng)為級(jí)利潤年的年數(shù)，然后利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率?！驹斀狻?Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算可得,，，又，，，關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得(億元），該公司年的年利潤的預(yù)測值為億元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知年至年的年利潤的估計(jì)值分別為、、、、、、、（單位：億元），其中實(shí)際利潤大于相應(yīng)估計(jì)值的有年。故這年中被評(píng)為級(jí)利潤年的有年，評(píng)為級(jí)利潤年的有年。記“從年至年這年的年利潤中隨機(jī)抽取年，恰有年為級(jí)利潤年”的概率為，?！军c(diǎn)睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時(shí)也考查了古典概型概率的計(jì)算，涉及組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20。已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且.（Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與圓相交于、兩點(diǎn),求的取值范圍。【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用勾股定理結(jié)合條件求得和，利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)而可得出，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長公式求出，利用幾何法求得直線截圓所得弦長，可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍?！驹斀狻?Ⅰ）在橢圓上，，，，,,，又，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)、,聯(lián)立消去，得，，則，,設(shè)圓的圓心到直線的距離為，則.，，，，的取值范圍為。【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中弦長之積的取值范圍的求解，涉及韋達(dá)定理與弦長公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力，屬于中等題。21.已知函數(shù)，其中。（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ)設(shè).若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ)。【解析】【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;（Ⅱ）由題意可知在上恒成立，分和兩種情況討論，在時(shí)，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立;在時(shí)，經(jīng)過分析得出,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出在上恒成立，由此得出，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，.令，解得（舍去)，。當(dāng)時(shí),，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增。因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ)由題意,可知在上恒成立.(i）若，，，,構(gòu)造函數(shù)，，則，，，.又，在上恒成立。所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，在上恒成立.(ii）若,構(gòu)造函數(shù)，。，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增。恒成立，即，，即。由題意，知在上恒成立。在上恒成立。由（Ⅰ)可知，又，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，,不合題意,,即.此時(shí)構(gòu)造函數(shù)，.,，，，恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立。綜上,實(shí)數(shù)的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，本題的難點(diǎn)在于不斷構(gòu)造新函數(shù)來求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題。請(qǐng)考生在第22,23題中任選擇一題作答，如果多做,則按所做的第一題記分.作答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑。22。在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求直線的直角