山東省日照市2024屆高三上學期12月校際聯合考試數學試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省日照市2024屆高三上學期12月校際聯合考試數學試題一?單項選擇題1.若集合，，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對集合：，解得；對集合：，解得，故可得.故選：D.2.已知復數（為虛數單位），則的虛部為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得:，的虛部為.故選：C.3.已知雙曲線（，）的兩條漸近線互相垂直，焦距為，則該雙曲線的實軸長為（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗因為兩條漸近線互相垂直，故可得，又因為焦距為，故可得，結合，解得，故實軸長.故選：B.4.已知角的終邊上有一點，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗角的終邊上有一點，根據三角函數定義得，所以.故選：C5.已知函數是定義在上的奇函數，且，當時，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗定義在上的奇函數，由，得，則函數是以4為周期的周期函數，又當時，，所以.故選：D.6.直三棱柱的各個頂點都在同一球面上，若，則此球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，三角形的外心是，外接圓半徑，在中，，，可得，由正弦定理，，可得外接圓半徑，設球心為，連接，，，在中，求得球半徑，此球的表面積為．故選：B．7.若過可作的兩條切線，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設切點為，切線的斜率，則切線方程為：，把點代入可得，化為：，則此方程有大于0的兩個實數根．則，即，則，故選：A．8.已知實數，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據題意，設直線：恒過原點，點，那么點到直線的距離為：，因為，所以，且直線的斜率，當直線的斜率不存在時，，所以，當時，，所以，即，因為，所以.故選：A.二?多項選擇題9.已知，則（）A.有最大值 B.有最小值C.有最小值 D.有最小值4〖答案〗ABD〖解析〗由，對于A中，由，可得，可得，當且僅當時，等號成立，所以有最大值，所以A正確；對于B中，由，因為有最大值，所以，當且僅當時，等號成立，所以有最小值，所以B正確；對于C中，由，當且僅當時，等號成立，所以有最大值，所以C不正確；對于D中，由，當且僅當時，等號成立，所以有最小值，所以D正確；故選：ABD.10.已知數列中，則（）A.的前10項和為B.的前100項和為100C.的前項和D.的最小項為〖答案〗BC〖解析〗A.易知，則，，，兩式相減得，，，則，故錯誤；B.易知，則其前100項和為，故正確；C.，故正確；D.易知，令，則，當且僅當，即，時，等號成立，而，當時，，當時，，所以的最小項為，故錯誤；故選：BC11.已知函數且，則（）A.當時，恒成立B.當時，有且僅有1個零點C.當時，沒有零點D.存在，使得存在三個極值點〖答案〗AB〖解析〗A選項，當時，要證明，即證明，即證明，即證明，設，，所以當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以.所以A選項正確.B選項，當時，單調遞減，，所以存在唯一零點，所以B選項正確.C選項，當時，由得，，，當時，由A選項的分析可知，，因此由兩個零點，所以C選項錯誤.D選項，，令得，兩邊同時取對數得，設，，令得，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以最多有兩個零點，所以最多有兩個極值點，所以D選項錯誤.故選：AB.12.已知正方體的棱長為，是空間中任意一點，下列正確的是（）A.若是棱動點，則異面直線與所成角的正切值范圍是B.若在線段上運動，則的最小值為C.若在半圓弧上運動，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為D.若過點的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對A，如圖所示，由于，可知即為異面直線與所成角，設連接，設，則在中，，故A正確；對于B，將三角形與四邊形沿展開到同一個平面上，如圖所示，由圖可知，線段的長度即為的最小值，中，，故B錯誤；對于C，如圖當為半圓弧的中點時，三棱錐的體積最大，此時，三棱錐的外接球球心是的中點，連結，則半徑的長為，其表面積為，故C正確；對于D，平面α與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，只需與過同一頂點所成的角相等即可，如圖，，則平面與正方體過點A的三條棱所成的角相等，當點分別為棱的中點，連結，可得平面平行于平面，且為正六邊形，此時該截面是最大截面，由于正方體的棱長為1，所以正六邊形的邊長為，則面積為，故D正確.故選：ACD.三?填空題13.設函數，則__________.〖答案〗-1〖解析〗因為，所以故〖答案〗為：-1.14.在平行四邊形ABCD中，＝6，＝5，則＝____________.〖答案〗〖解析〗由題設，則，所以，而，則，則，故.故〖答案〗為：.15.已知數列滿足：，，且，，其中.則___________，若，則使得成立的最小正整數為___________.〖答案〗〖解析〗，，，又，，；可猜想：；當時，成立；假設當時，成立，那么當時，，，，；綜上所述：當時，；，，解得：，使得成立的最小正整數為.故〖答案〗為：；.16.某公園有一個坐落在水平地面上的大型石雕，如圖是該石雕的直觀圖.已知該石雕是正方體截去一個三棱錐后剩余部分，是該石雕與地面的接觸面，其中是該石雕所在正方體的一個頂點.某興趣小組通過測量的三邊長度，來計算該正方體石雕的相關數據.已知測得，則該石雕最高點到地面的距離為__________.〖答案〗〖解析〗如圖，補齊為正方體，設，，，則，解得，，，即該石雕所在正方體棱長為.以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，所以，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，可得，所以點到平面的距離為，即該石雕最高點到地面的距離為.故〖答案〗為：.四?解答題17.函數的部分圖象如圖所示.（1）求函數的〖解析〗式；（2）將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，求函數在上的值域.解：（1）觀察圖象可得，函數的周期，解得，即，由，得，即，，而，則，所以函數的〖解析〗式是.（2）將的圖象向左平移個單位長度，可得到函數的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，則，當時，，則，所以，因此在上的值域為.18.如圖，凸四邊形中，.（1）若，求的長；（2）若該四邊形有外接圓，求的最大值.解：（1）在中，由，得，則，在中，由余弦定理得，所以.（2）由四邊形有外接圓，得，令此圓直徑為，由正弦定理得，又，則，而，因此，設，則，在中，由正弦定理，得，則，在中，同理得，因此，由，得，則當，即時，取得最大值1，所以的最大值是.19.已知平面四邊形，，，，現將沿邊折起，使得平面平面，此時，點為線段的中點，點在線段上．（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的平面角的余弦值．（1）證明：因為，，所以為等邊三角形，因為為的中點，所以．取的中點，連接，，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面．（2）解：由（1）知，平面，故為與平面所成的角，∴，∴，又平面，平面，所以，，，∴，∴，即為線段的中點．取的中點為，連接，因為為線段的中點，所以，，又平面，所以平面，平面．所以，過點作，垂足為，連接，，，平面，所以平面．平面，所以，所以為二面角的平面角．在等邊三角形中，，由（1）知，平面，平面．所以，在中，，由，即，解得．因為平面，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值為．20.已知函數，.（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）令，若，函數有兩個零點，求實數的取值范圍.解：（1）函數的定義域為當時，令得，解得，令得，解得，所以函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為（2），由得①當時，，函數在上單調遞增，所以，即，函數在上沒有零點.②當時，時，，時，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增因為，所以函數在有兩個零點只需解得，綜上所述，實數的取值范圍為.21.某高科技企業(yè)研制出一種型號為A的精密數控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價值逐年減少（以投產一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價值的第一年）.若第1年A型車床創(chuàng)造的價值是250萬元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價值減少30萬元；從第7年開始，每年A型車床創(chuàng)造的價值是上一年價值的50%.現用（）表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價值.（1）求數列的通項公式；（2）記為數列的前n項的和，，企業(yè)經過成本核算，若萬元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床，試問該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？解：（1）題意得構成首項，公差的等差數列.故（萬元）.構成首頂，公比的等比數列，故萬元.于是，（萬元）.（2）由（1）得是單調遞減數列，于是，數列也是單調遞減數列.當時單調遞減，（萬元）.所以（萬元）；當時，（萬元）；當時，（萬元）.所以，當時，恒有.故該企業(yè)需要在第12年年初更換A型車床.22.已知拋物線的焦點為F，為其準線l與x軸的交點，過點E作直線與拋物線C在第一象限交于點A，B，且．（1）求的值；（2）設圓，過點A作圓M的兩條切線分別交拋物線C于點P，Q，求面積的最大值．解：（1）由題意得，所以拋物線C的方程為．由得．過B作于點，過A作于點，，且，由拋物線定義知，，所以，即．（2）設點，所以，所以，解得，所