遼寧省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題得，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題知拋物線,所以，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：A.3.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，故C項(xiàng)正確，故選：C.4.如圖，在四面體中，點(diǎn)為底面三角形的重心，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則在基底下的有序?qū)崝?shù)組為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中點(diǎn)，連接.由重心的性質(zhì)可知，且三點(diǎn)共線.因?yàn)?，所?所以在基底下的有序?qū)崝?shù)組為.故選：5.已知終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，故.又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故D項(xiàng)正確.故選:D.6.設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)，則.由橢圓定義可得，則在中，由余弦定理得:即，解得，則.在中，由余弦定理得又，所以，所以離心率.故選：A.7.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若為線段的中點(diǎn)，且，則該半正多面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.令正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以，所以，解得，則正方體的棱長(zhǎng)為.令該半正多面體外接球的半徑為，即，則外接球的表面積為.故C項(xiàng)正確.故選：C.8.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的〖答案〗是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)，在費(fèi)馬問(wèn)題中，所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知在中，，是的角平分線，交于，滿足若為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，，由是的角平分線，交于，設(shè)到兩邊的距離為，則，故.已知的三個(gè)內(nèi)角均小于，則點(diǎn)與的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角，所以.，所以，所以.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在單調(diào)遞減，且，則下列選項(xiàng)滿足的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，且，所以，且在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，所以；當(dāng)時(shí)，由，可得，所以.綜上，的解集為.故選:.10.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)是圖像的對(duì)稱中心B.直線是圖像的對(duì)稱軸C.的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖像D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗ABD〖解析〗由題意可知，解得，所以，解得.將代入中，得，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以.對(duì)于A項(xiàng)，，所以點(diǎn)是圖像的對(duì)稱中心，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，所以直線是圖像對(duì)稱軸，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖像，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D項(xiàng)正確.故選：ABD11.已知直線截圓所得的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)在圓上，且直線過(guò)定點(diǎn)，若，為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)坐標(biāo)為B.當(dāng)直線與直線平行時(shí)，C.動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓D.的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)橹本€，可化為，由，解得，所以過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)直線與直線平行時(shí)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率也為時(shí)，則，解得：，此時(shí)，即與直線平行，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，圓心到直線的距離為，則，解得，設(shè)的中點(diǎn)為，，為的中點(diǎn)，，點(diǎn)在圓上，，，，即，化簡(jiǎn)可得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)到圓心的距離為，在圓內(nèi)，的取值范圍為，取值范圍為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12.在一個(gè)圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.平面B.在圓錐的側(cè)面上，點(diǎn)A到的中點(diǎn)的最短距離為C.二面角的余弦值為D.記直線與過(guò)點(diǎn)的平面所成角為，當(dāng)時(shí)，平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓或部分橢圓〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，假設(shè)平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，由題意得不與平行，所以假設(shè)不成立，則不平行平面，故項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于項(xiàng)，將側(cè)面鋪平展開(kāi)得，因?yàn)?，所以，故，，底面圓周長(zhǎng)，所以，則，所以點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離為，在等邊三角形中，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，，則，所以，所以，同理，又，所以四面體為正四面體，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，⊥，則即為二面角的大小，其中，由余弦定理得，即二面角的余弦值為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)圓錐的軸截面頂角，則，由題意得，因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)遞減，故，此時(shí)平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓或部分橢圓，D正確.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，若，則的坐標(biāo)是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋O(shè)則，所以，則，即.故〖答案〗為：14.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).令，作出與的大致圖像如圖所示，由圖可知，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在對(duì)稱軸，則的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，且，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)不存在對(duì)稱軸，所以，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不成立，即，故〖答案〗為：.16.如圖，已知直線是之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)到的距離分別為是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿足，則面積的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗由，得.取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，有，則.設(shè)，由于，，而，則，由，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的面積的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求的方程；（2）求的角平分線所在直線的方程.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，解得.因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以，所以.（2）由（1）知，所以直線的方程為，又，所以直線的方程為，即.由拋物線的圖形知，的角平分線所在直線的斜率為正數(shù).設(shè)為的角平分線所在直線上任一點(diǎn)，則有，若，得，其斜率為負(fù)，不合題意，舍去.所以，即，所以的角平分線所在直線的方程為.18.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.（1）求的方程；（2）過(guò)作直線與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的方程.解：（1）由已知得，離心率，得，則的方程為.（2）由題可知，若面積存在，則斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為顯然存在，，聯(lián)立消去得，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以顯然成立，且，因?yàn)?，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以直線的方程為或.19.如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，且面.（1）求證：四點(diǎn)共面，并確定點(diǎn)位置；（2）求異面直線與之間的距離；（3）作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)的截面（不需說(shuō)明理由，直接注明點(diǎn)的位置），并求出該截面的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)槊婷?，面面，所以，所以四點(diǎn)共面.又，所以為中點(diǎn).（2）連接，因?yàn)槊婷?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以面，又面，所?所以線段即為異面直線與之間的距離，易得，即異面直線與之間的距離為.（3）如圖，在線段上分別取點(diǎn)，使得，連接點(diǎn)，則四邊形即為所求.又，所以該截面的周長(zhǎng)為.20.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若，點(diǎn)在線段上且滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.解：（1）由題得，由正弦定理得，又由，可得，所以，即，因?yàn)?，可得，所以，即，因?yàn)椋?，所以，故，?）在中，由正弦定理得，即，解得，則，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以?dāng)時(shí)，取到最小值.21.如圖①，在矩形中，為邊的中點(diǎn).將沿翻折至，連接，得到四棱錐（如圖②），為棱的中點(diǎn).（1）求證：面，并求的長(zhǎng)；（2）若，棱上存在動(dòng)點(diǎn)（除端點(diǎn)外），求直線與面所成角的正弦值的取值范圍.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，如下圖，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且.又且，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?在中，，所以.（2）取的中點(diǎn)，連接，易得.在中，，且，則，即.因?yàn)槊?，所以?取的中點(diǎn)，連接，則，以為原點(diǎn)，方向分別為軸的正方向，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則有，所以.因?yàn)椋O(shè)平面的一個(gè)法向量，則取，可得.設(shè)與平面所成角為，則.設(shè)，所以，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，所?即與平面所成角的正弦值的取值范圍為.22.已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)不與漸近線平行的動(dòng)直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，試探究：在焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸上是